CHAPITRE I

Examen de la théorie empirique : les notions géométriques ne sont le résultat ni do l'expérience brute, ni de Tabstraction, ni de la généralisation. — Eiameu de la théorie idéaliste : les notions géométriques ne sont pas Tœuvre do la pensée pure ; elles supposent une matière, l'espace. — La géométrie à n dimensions. — L'hyperespace. — Interprétation de la géométrie non euclidienne.

Géométrie veut dire mesure de la terre ; Tétymologie du mot , à défaut de témoignages historiques précis, nous apprend que la science de l'étendue fut d'abord un art empirique. Que cet art soit né, comme le raconte Hérodote , du besoin qu'éprouvèrent les Égyptiens de retrouver les limites de leurs champs effacées par les inondations du Nil, ou qu'il y ait, plus vraisemblablement, comme le pense Montucla, « une » certaine géométrie que la nature accorde à tous les » hommes, et dont l'origine est aussi ancienne que » celle des arts (d), » il est permis de croire que les premiers arpenteurs considérèrent seulement les formes naturelles. Mais, selon la judicieuse remarque de Kant (2), une révolution profonde ne tarda pas à s'opérer dans la géométrie, qui la fit passer de l'état d'art à

(1) Histoire des mathématiques, Ilv. I.

(2) Critique de la raison pure, préface de la seconde édition.

ORTQINE DKS NOTIONS GÉOMÉTRIQUES W

C'est ainsi que le géomètpe considère la forme des corps, sans tenir aucun compte des autres propriétés sensibles en compagnie desquelles elle nous est primitivement révélée. C'est cette abstraction qui constitue scientifiquement la géométrie, en rendant la démonstration possible : « Deux grandeurs géométriques, de » quelque espèce qu'elles soient, sont dites égales )) lorsqu'on peut transporter l'une des deux en ne » changeant rien en elle, de manière qu'elle coïncide » complètement avec l'autre. Cette translation offrirait » des difficultés et même des impossibilités dans le » cas des corps solides, si Ton n'avait pas fait abstrac- » tion de leurs propriétés matérielles, et particulière- » ment de leur impénétrabilité (1). »

Un nouveau progrès de l'abstraction consiste à isoler les unes des autres les propriétés géométriques elles-mêmes. A parler rigoureusement, il n'y a pas de surface sans épaisseur, de ligne sans largeur, de point sans longueur ; mais, dans l'étude des formes géométriques, le savant considère la surface, la ligne et le point sans tenir compte de l'épaisseur, de la largeur çt de la longueur dont la surface, la ligne et le point ne sauraient être dépouillés en réalité. De môme encore, dans une forme déterminée, il considère telle ou telle propriété en négligeant les propriétés collatérales. La géométrie est donc la science des formes matérielles, vidées par l'abstraction de la matière qu'elles contiennent réellement.

Faut -ir accepter cette théorie? — Remarquons d'abord que l'abstraction proprement dite se borne à isoler les unes des autres les qualités que l'expérience nous montre réunies dans un même objet, et qu'elle ne saurait les modifier en aucune façon. Un corps est

(1) Duhamel, Des Méthodes dans les sciences de raisonncmentf 8* partie.

formes géométriques réalisées par les corps est très restreint, et, d'autre part, le nombre des figures géométriques î)6ssibies est indéfini. S'il est probable que les spéculations des premiers géomètres ne portèrent que sur lés formes dés corps, il est hors de doute que résprit humain était en {Possession d'un autre procédé que l'abstraction, lorsqu'il comprit que la liste des figures géométriques, courbes, surfaces, solides, n'était jamais close. Si donc l'abstraction est la source unique des notions géométriques, pour découvrir une forme nouvelle il me faut attendre une révélation de l'expérîehce. Mais je sens en moi un pouvoir créateur sans limites, dont les œuvres devancent et dépassent les résultats de l'observation . Les sens ne m'ont pas encore montré uii polygone régulier de dix mille côtés, et pourtant je ne laissa pas de concevoir cette figure avec une clarté parfaite. 11 faut donc ou bien restreindre la géométrie à l'étude des seules formes réelles , ce que les géomètres ne souffriront jias, ou bien reconnaître aux notions géométriques une autre origine que l'expérience. On sait , en outre , que la quantité géométrique est infiniment variable , qu'une ligne donnée, par exemple, peut être accrue au delà de toute limite assignable. Les objets de l'expérience, quelque grands qu'on les suppose, soiit toujours finis ; et l'on ne soutiendra pas que l'abstraction, en dégageant les formes de là combinaison de propriétés sensibles dont elles étaient tin élément, puisse les étendre tout à coup au delà des limites de là plu^ vaste expérience. Le nombre infini des figures possibles et des accroissements de la grandeur finie est donc un signe manifeste de l'insuffisance dès théories qui veulent faire dériver les nofioris géortiéirîquès de Texpénence et de l'abstraction. • On demandé enfin ce que devient, avec une pareille théorie, la certitude de la démonstration. Nous rechercherons plus tard quels sont les principes du raison-

On pensera peut-être que la chose n'est pas nécessaire, puisque ces deux procédés sont si intimement unis qu'ils s'accompiignent toujours, et que la propriété abstraite devient générale aussitôt qu'elle a été dégagée du groupe de qualités dont elle faisait partie. Pourtant l'abstraction peut aller sans la généralisation, car la propriété abstraite n'est qu'une propriété particulière, détachée d'une combinaison individuelle; et pour que l'esprit en fasse un attribut commun à toute une classe d'objets, il faut qu'entre eux il ait saisi quelque ressemblance. Donc, puisque généraliser est un acte de l'esprit postérieur à abstraire, nous sommes autorisés à voir dans les paroles de Stuart MiU rapportées plus haut une théorie distincte de la théorie exposée au début de ce chapitre.

Une distinction est d'abord nécessaire : on généralise des rapports observés entre des faits ; on généralise des caractères et des idées. Je vois qu'à une même température les volumes d'une masse donnée de gaz sont en raison inverse des variations de la pression supportée par ce gaz ; généralisant ce rapport de succession, je dis : toutes les fois que la pression supportée par une masse donnée de gaz variera, le volume occupé par ce gaz variera dans un rapport inverse. De la succession empirique , je passe ainsi à la succession rationnelle ; je m'élève du fait à la loi. Les définitions , qui , d'après Stuart MiU , sont les premières généralisations de l'expérience , ne sauraient être des généralisations de cette espèce ; elles n'énoncent pas en effet des relations découvertes entre doux ou plusieurs faits. Dans la définition, le sujet est identique à l'attribut ; le premier est l'expression abrégée du second, et le second, la formule analytique du premier. Mais on généralise aussi des idées. Un homme est devant moi : c'est un groupe individuel de propriétés ; je les détache l'une de l'autre par abstraction*

AlorSy OU bien la géométrie a pour objet des formes pures et rigides, et la généralisation des données expérimentales ne peut en expliquer la parfaite rectitude, ou bien elle porte sur les formes des objets matériels, et la généralisation est inutile.

La généralisation des idées singulières entraine implicitement une proposition générale. L'abstraction, en isolant les unes des autres les propriétés d'un individu, n'aurait aucun résultat scientifique ; tout au plus servirait-elle à la connaissance des objets individuels. Mais en étendant à tous les individus d'une môme espèce les caractères extraits de quelques-uns d'entre eux, nous passons du jugement empirique au jugement scientifique ; les individus situés dans un point déterminé de l'espace , et se manifestant à un instant déterminé du temps, disparaissent à nos yeux ; nous ne voyons plus que des propriétés sans rapport avec l'espace et le temps. Mais ces idées générales sont un matériel qu'il faut mettre en œuvre ; isolées les unes des autres, elles forment une lantasmagorie ondoyante et sans ordre. Et que nous servirait, si les choses restaient ainsi, d'avoir substitué aux intuitions précises des sens ces fantômes voltigeant dans le vide ? Mais en même temps que l'esprit extrait une qualité d'une 'combinaison déterminée, il en extrait un rapport ; en même temps qu'il généralise une idée , il généralise une relation. Les êtres naturels sont, comme nous le verrons plus tard, un tissu de propriétés combinées entre elles et subordonnées les unes aux autres , de telle sorte que, l'une étant donnée, l'autre est donnée en même temps. Aussi nos idées générales formentelles des couples dont les termes sont indissolublement unis ; sans quoi la généralisation serait un jeu de l'esprit se dupant lui-même, et non une œuvre de la pensée. Par exemple, j'ai dégagé de quelques individus soumis à mon observation les caractères propres

des formes pures et rigides aux figures incoirectes et v!rîable8 que l'abstraction etlagénérabsation réun es loTfmpii'ssLes à expUquer, est précisément l'.njce Se intervention créatrice de l'espnt a l'ongme de la îéomém^ Ce n'est donc pas l'expérience et ses a««- £s aLutumés qui transformèrent l'art de mesurer la terre en science de l'étendue.

Une théorie diamétralement opposée a la theone •tîmVrPst ceUe aui voudrait faire sortir les notions ^WiriauesTelapure action de la pensée. Toute EnsSn géométrique, a-t-on dit. est «comme uracïCerpétuel dédain relativement à l'espace » î°oWet de la géométrie, comme celu de toute autre ^.IZ «se ramène à des déterminations de la pensée Tde'l'acS; c'est quelque chose de rationnel et : de dUSue irréductible àla quantité pure (i) ». L.«7ommeslo n de contester que, dans la genèse des

nronsXmé^q«e«' 1« ^^-^^' "'''' '' '"''''^ "' Lu i?8Drit lui-même ; mais on ne doit pas conclure delà que la seule action de penser suffise à engendrer f^s Xns mathématiques. Toute opération d'anthmetiaue ou d'algèbre revient, en dermère analyse . a une ÏÏtion de parties identiques. L'esprit possède le poutîii de fai^ varier indéfiniment les grandeurs données, :r par èïes-mémes. n'opposent aucun obstade aux Térattons dont elles sont l'objet; en ce sens /«sprit «t inSendant de l'espace et de la quantité; mais ^l^S S>ace, cette quaiitité indéterminés sont fa m^ïr^lans laqueUe l'activité mentale serait infé- ^foue cette matière disparaisse, et la moindre ^S^oTariSméSïueou géométrique est désormais opération d j^"*^ j oQscience nous fait conce- SlunS numéSque; mais si une -tière -ultiPle ^ïït pas donnée à la pensée, nous serons à tout

(1) A. Fouillée. La PhUos. de Platon. 3- part., Uy. I. chap. lu

ORIGINE DES NOTIONS GÉOMÉTRIQUES 3i

extérieur. Réduits à la pure action de penser , en supposant même donnée à la conscience une succession d'états intérieurs , nous pourrions, à la rigueur , créer l'arithmétique et l'algèbre, en un mot la science de la quantité discrète, mais jamais nous n'engendrerions la science de la quantité continue , e'est-à-dire la géométrie. L'espace est aussi indispensable au géomètre que le marbre au statuaire.

On pourrait invoquer en faveur d'une origine purement intellectuelle de la géométrie les récents progrès et l'extension nouvelle de cette science. La géométrie , telle que nous l'ont transmise les anciens , telle que Font transformée les modernes auteurs de l'analyse, ne considérait que les lignes , les surfaces et les solides. Tant qu'elle n'était pas sortie de l'espace à trois dimensions, on pouvait soutenir avec vraisemblance que l'intuition de la quantité continue, étalée hors de nous, était indispensable aux spéculations géométriques; mais voilà que , par une révolution profonde , et dont les résultats peuvent encore à peine être prévus, le domaine de cette science s'est élargi dans tous les sens; la géométrie des lignes, des surfaces, des solides n'est plus qu'un fragment d'une géométrie universelle, qui ne s'astreint pas à la seule considération des trois dimensions de notre étendue sensible, mais qui raisonne sur quatre, cinq, et n dimensions; voilà qu'à l'espace s'est ajouté l'hyperespace ; voilà que le contraire de vérités vraies dans notre espace a été démontré (1).

(1) Le onzième axiome d'Euclide est le suivant : Deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent jamais, quelque loin qu'on les prolonge. Voici la seizième proposition de Lobatchewski : « Toutes les droites tracées par un même point dans le plan peuvent » se distribuer, par rapport à une droite donnée dans ce plan, en doux n classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée, et en » droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite com- » mune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée. » Il résulte de là que les parallèles, au sens euclidien du mot, peuvent so rencontrer, et se rencontrent en effet.

N'est-ce pas une preuve que c'est seulement par occasion, et non par suite d'une nécessité invincible , que Tesprit , en créant la géométrie, s'attache à l'intuition de l'espace ?

Nous ferons remarquer d'abord que la prétendue géométrie à 4, à 5, à n dimensions est une extension de l'analyse algébrique, et non pas de la géométrie proprement dite. Dans la géométrie analytique , une équation à deux variables représente une ligne ; une équation à trois variables, une surface ; si je fais entrer dans les équations 4, 5, n variables, et que je les traite par les procédés ordinaires de l'algèbre, j'appellerai cette analyse, plus complexe que l'anayse ordinaire, géométrie à 4, à 5, an dimensions, bien qu'elle ne soit pas susceptible d'une interprétation géométrique ; mais c'est seulement pour ne pas compliquer le langage que je conserve, par analogie, le nom de géométrie, qui ne s'applique rigoureusement qu'à l'analyse à 2 et à 3 variables. Ainsi parle Sylvester, un de ceujc qui les premiers ont conçu cette pseudo - géométrie, qui ne saurait recevoir d'interprétation géométrique.

La conception de l'hyperespace est différente ; mais nous allons voir qu'elle implique une induction impossible sans l'intuition de l'espace à trois dimensions.

Supposons un être linéaire astreint à se mouvoir, sans se déformer, sur une ligne, c'est-à-dire sur un espace à une dimension. Il est évident qu'un tel être n'aurait que la notion de l'avant et de l'arrière ; mais il ne serait pas réduit à suivre toujours la ligne droite; il pourrait se déplacer sur toutes les lignes dont une portion quelconque peut être superposée à une autre portion quelconque sans duplicature, c'est-à-dire sur les lignes de courbure constante. Mais la science des espaces à une dimension qu'il peut parcourir lui serait

par Taxiome de la ligne droite et par le postulatum d'Ëuclide, serait analogue au plan dans les surfaces de courbure constante? — On le voit, c'est par une généralisation progressive de la géométrie à une, à deux, à trois dimensions, qui suppose l'intuition de Tespace, que l'on s'élève à la conception d'une géométrie plus générale, qui se refuse à toute représentation objective. Pour ce qui est de la géométrie , en apparence paradoxale , de ' Lobatche^ski , nous ferons observer d'abord que son auteur ne se passe nullement de Tespace. n commence par poser sur les lignes droites les triangles rectilignes et les triangles sphériques, quinze propositions qui peuvent être démontrées sans l'intervention du célèbre postulatum d'Euciide (1) ; puis, quand il aborde ses théorèmes originaux, il se sert de figures et fait, par conséquent, appel à la faculté d'intuition , aussi bien que les géomètres euclidiens. Ce sont ces théorèmes originaux qui semblent de nature à dérouter les philosophes et à justifier pleinement la thèse que nous combattons. En fait , la géométrie euclidienne est réalisée autour de nous ; mais le contraire du postulat sur lequel elle repose est géométriquement possible ; si, dans notre espace physique, deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent pas, on peut concevoir qu'elles se rencontrent , et que , par suite , la somme des trois

(1) Études géométriques sur la théorie des parallèles , trad. par Hoûel. — Bolyai admet, de mt-me, certaines propositions vraies dans son système et dans celui d'Euclidc ; il dit en propres termes : « Tous les résultats que nous énoncerons sans désigner expressément M si c'est dans le système S (géométrie qui repose sur la vérité de » l'axiome XI d'Euclide) ou dans le système S (système fondé sur » l'hypothèse contraire) qu'ils ont lieu, devront être considérés comme » énoncés d'une manière absolue, c'est-à-dire qu'ils seront donnés » comme vrais, soit qu'on se place dans le système £ ou dans le sys- » tèmc S. » {La science absolue de l'espace, indépendante de la vérité et de la fausseté de Vaxiome XI d'Euclide, par Jean Bolyai, p. 30.)

angles d'un triangle ne soit pas égale à deux angles droits. Mais les récents travaux d'un profond géomètre italien ont répandu la lumière sur cette obscure question, et autorisent à voir dans la géométrie non euclidienne, géométriquement interprétée, une extension de la géométrie euclidienne (1).

Euclide ne considère que le plan parmi les surfaces. La géométrie plane a pour point de départ le postulat suivant : une ligne droite est déterminée par deux de ses points. Mais cette propriété appartient aussi aux lignes géodésiques tracées sur les surfaces de courbure constante ; et de même que, dans le plan, on ne peut mener qu'une seule ligne droite d'un point à un autre , de même , sur ces surfaces , d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une ligne géodésique(2).Si maintenant on remarque que le critérium fondamental des démonstrations de la géométrie consiste dans la superposition des figures égales , et que l'on peut aussi superposer sans déchirure ni duplicature, à l'aide de simples flexions, une portion quelconque d'une surface de courbure constante à une autre portion quelconque de la môme surface, on comprendra aisément qu'il existe une géométrie générale, dont la géométrie plane n'est en quelque sorte qu'un cas particulier, et dont les démonstrations s'étendent à toutes les surfaces de courbure constante, c'est-à-dire à la sphère, dont le rayon de courbure est positif, à la pseudo-sphère, dont le rayon de courbure est négatif, et au plan, dont le rayon de courbure est nul.

(1) E. Beltrami, Essai iVinlerprélalion de la géométrie non ewclidienne, XTdiûmi p'àT J. hoMl i Annales scientifiques de l'école normale sup., tome VI, 18C9.

(2) Cette règle, que nous énonçons d'une manière générale , souffre des exceptions pour les surfaces de courbure constante positive. Ainsi, sur la sphère on peut mener une multitude de lignes géodésiques égales entre deux points diamétralement opposés. C'est là un cas de ces exfolions spécifiques dont nous signalons plus loin l'existence.

Mais l'analogie de ces trois surfaces n'est pas absolument complète ; chacune d'elles a ses caractères particuliers et en quelque sorte spécifiques; de là certains théorèmes propres, les uns à la surface sphérique, les autres au plan, les autres enfin à la surface pseudosphérique. C'est là ce qui permet de comprendre les paradoxes apparents de Lobatchewski. Ainsi, dans le plan, deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent pas ; la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits ; mais sur la surface sphérique , deux droites perpendiculaires à ime troisième se rencontrent, et la somme des trois angles d'un triangle varie entre deux et six angles droits, a C'est ainsi, dit M. Beltrami, que certains ré- » sultats qui semblent incompatibles avec Thypothèse >) du plan peuvent devenir concillables avec celle d'une » surface de l'espèce en question, et recevoir par là une » explication non moins simple que satisfaisante (1). »

(1) Dans un autre mémoire, le même auteur s'exprime ainsi : « Si ») l'on HTppéïle parallèles deux lignes géodésiques convergentes |v ers un » même point à l'infini, on voit que, par un point, on peut mener deux » lignes géodésiques distinctes, parallèles à une ligne {géodésique don- .. née ; que ces deux parallèles sont également inclinées de part et » d'autre sur la ligne géodésique menée normalement du même point » à la ligne donnée ; ce résultat s'accorde pleinement avec celui qui » forme la base de la géomélHe non euclidienne... La possibilité de .. sa construction, au moyen de la synthèse ordinaire (en la limitant à M l'espace de trois dimensions), dépend, en premier lieu, de ce que, M comme on l'a démontré , dans les espaces de courbure constante » (positive et négative), toute figure jwew/ être changée de position » sans subir aucune altération dans la grandeur et dans la disposition •) mutuelle desesélémentscontigus,po56î6i7î7^ d'où dépend l'exAsience » des figures égales, et, par suite, la validité du prmcïpe de super- '» position. En second lieu, dans les espaces de courbure constante •' négative, les lignes géodésiques sont caractérisées, comme la droite .» euclidienne, par la propriété d'être déterminées sans ambiguïté , par » deux de leurs points seulement, de sorte que l'axiome de ladroile » a lieu pour ces lignes. Et pareillement, les surfaces de premier ordre

> sont caractérisées, comme le plan euclidien, par la propriété d'être

> déterminées par trois de leurs points seulement, de sorte que pour »» ces surfaces a lieu l'axiome du plan... La planimétrie uon eucli-

ORIGINE DKS NOTIONS GÉOMÉTRIQUKS 37

Par conséquent , Tcxistence de la géométrie imaginaire ne fait que fortifier, loin de rinfirmer, la conclusion à laquelle nous étions parvenus plus haut, à savoir que Tespril, pour créer la géométrie, a besoin d^une matière, et que cette matière est lespace.

» dienne n'est autre chose que la géométrie des surfaces do courbure » constante négative. » — E. BeltramI, Théorie fondamentale des espaces de courbure constante, trad. par J. Uottel. —Ann, scient, fie VÈcoU normale sup., U VI, an. 1869»