SOUS-GROUPES

La plus importante des propriétés formelles d'un groupe est l'existence des sous-groupes. Il ne faut pas supposer qu'il peut être formé autant de sous-groupes que nous voulons et qu'il suffit de découper un groupe d'une manière arbitraire, comme on découperait une argile inerte, pour obtenir un sous-groupe. Si deux déplacements sont pris au hasard dans un groupe, il sera nécessaire, pour en former un sous-groupe, d'y joindre toutes leurs combinaisons et dans la plupart des cas, il arrive qu'en combinant ces deux déplacements de toutes les manières possibles, nous retrouvons finalement le groupe primitif dans sa forme initiale intacte. Ainsi il peut arriver qu'un groupe ne contienne pas de sous-groupe.

Cependant les groupes se distinguent les uns des autres, au point de vue formel, par le nombre de sousgroupes qu'ils contiennent et par les rapports des sous-groupes entre eux. Un examen superficiel du groupe des déplacements montre tout de suite qu'il contient quelques sous-groupes. Un examen plus approfondi les découvrira tous. Nous verrons que

parmi ces sous-groupes, il y en a qui sont : i° continus, c'est-à-dire dont tous les déplacements sont divisibles à l'infini ; 2° discontinus, c'est-à-dire dont aucun déplacement n'est divisible à l'infini ; 30 mixtes, c'està-dire dont certains déplacements sont divisibles à l'infini et d'autres ne le sont pas.

D'un autre point de vue, nous distinguerons, parmi nos sous-groupes, les faisceaux dont les déplacements sont tous échangeables et les sous-groupes qui ne possèdent pas cette propriété.

Une autre manière de classer les déplacements et les sous-groupes est la suivante :

Considérons deux déplacements D et D'. Soit D" un troisième déplacement défini comme la résultante du déplacement D', suivi du déplacement D, suivi luimême du déplacement inverse de D'. Nous appellerons ce déplacement D" le transformé de D par D'.

Du point de vue formel tous les transformés du même déplacement sont en quelque sorte équivalents ; ils jouent le même rôle ; les Allemands disent qu'ils sont gleichberechtigt. Ainsi (s'il m'est permis pour un instant d'employer à l'avance le langage ordinaire de la géométrie que nous sommes censés ne pas savoir encore) deux rotations de 6o° sont gleichberechtigt, deux déplacements hélicoïdaux du même pas et de la même fraction de spire sont gleichberechtigt.

Les transformés de tous les déplacements d'un sous-groupe g par le même déplacement D' forment un nouveau sous-groupe que nous appellerons le transformé du sous-groupe g par le déplacement D'. Les différents transformés du même sous-groupe,

jouant le même rôle au point de vue formel, sont gleichberechtigt.

Il arrive généralement que beaucoup des transformés du même sous-groupe sont identiques ; il arrivera même quelquefois que tous les transformés d'un sous-groupe soient identiques les uns aux autres et identiques au sous-groupe primitif. On dit alors que ce sous-groupe est invariant (ce qui arrive, par exemple, dans le cas du sous-groupe formé de toutes les translations). L'existence d'un sous-groupe invariant «st une propriété formelle.de la plus haute importance.