CONTINUITÉ

Nous observons d'abord que le groupe est continu. Voyons ce que cela veut dire et comment le fait peut être établi.

Le même déplacement peut être répété deux fois, trois fois, etc. Nous obtenons ainsi différents déplacements qui peuvent être regardés comme des multiples du premier. Les multiples du même déplacement D

forment un groupe ; car la succession de deux de ces multiples est encore un multiple de D. De plus, tous ces multiples sont échangeables ; (vérité qu'on exprime en disant que le groupe qu'ils forment est un faisceau) ; c'est à dire qu'il est indifférent que nous répétions D d'abord trois fois et ensuite quatre fois ou d'abord quatre fois et ensuite trois fois. C'est là un jugement analytique a priori, une pure tautologie. Ce groupe des multiples de D n'est qu'une partie du groupe total. C'est ce qu'on appelle un sous-groupe.

Nous découvrons bientôt qu'un déplacement quelconque peut toujours être divisé en deux, trois ou un nombre quelconque de parties ; je veux dire que nous pouvons toujours trouver un autre déplacement qui, répété deux, trois fois, reproduira un déplacement donné. Cette divisibilité à l'infini nous conduit naturellement à la notion de la continuité mathématique ; cependant les choses ne sont pas aussi simples qu'elles le paraissent à première vue.

Nous ne pouvons pas prouver cette divisibilité à l'infini directement. Quand un déplacement est très petit, il est imperceptible pour nous. Quand deux déplacements diffèrent très peu, nous ne pouvons pas les distinguer. Si un déplacement D est extrêmement petit, ses multiples consécutifs seront indiscernables. Il peut arriver alors que nous ne puissions pas distinguer 9 D de 10 D, ni 10 D de n D, mais que nous puissions néanmoins distinguer 9 D de 11 D. Si nous voulions transcrire ces données brutes de l'expérience en une formule, nous écririons

9 D = io D, 10 D-11 D, 9 D< 11 D.

Ce serait là la formule du continu physique. Mais

une telle formule répugne à la raison. Elle ne correspond à aucun des modèles que nous portons en nous. Nous échappons à ce dilemme par un artifice ; et à ce continu physique — ou si vous préférez à ce continu sensible qui se présente sous une forme intolérable pour nos esprits — , nous substituons le continu mathématique. Séparant nos sensations de ce quelque chose que nous appelons leur cause, nous admettons que le quelque chose en question se conforme au modèle que nous portons en nous et que nos sensations s'en écartent seulement à cause de leur grossièreté.

Le même procédé revient chaque fois que nous soumettons à la mesure les données de nos sens ; il est notamment applicable à l'étude des déplacements. Du point que nous avons atteint maintenant, nous pouvons rendre compte de nos sensations de plusieurs manières différentes.

i° Nous pouvons supposer que chaque déplacement fait partie d'un faisceau formé de tous les multiples d'un certain petit déplacement, beaucoup trop petit pour être perçu par nous. Nous aurions alors un faisceau discontinu qui nous donnerait l'illusion de la continuité physique parce que nos sens grossiers seraient incapables de discerner deux éléments consécutifs quelconques du faisceau.

2° Nous pouvons supposer que chaque déplacement fait partie d'un faisceau plus complexe et plus riche. Tous les déplacements dont ce faisceau se compose seraient échangeables. Deux quelconques d'entre eux seraient des multiples d'un autre déplacement plus petit qui ferait lui-même partie du faisceau et qui pourrait être regardé comme leur plus grand

commun diviseur. Enfin tout déplacement du faisceau pourrait être divisé en deux, trois ou un nombre quelconque de parties, dans le sens que j'ai donné plus haut à ce mot et le diviseur ferait encore partie du faisceau. Les différents déplacements du faisceau seraient, pour ainsi dire, commensurables l'un avec l'autre. A chacun d'eux correspondrait un nombre commensurable et vice-ver sa. Ce serait donc déjà une sorte de continu mathématique ; mais cette continuité serait encore imparfaite, car il n'y aurait rien qui correspondît aux nombres incommensurables.

3° Nous pouvons supposer enfin que notre faisceau est parfaitement continu. Tous ses déplacements sont échangeables. A chaque nombre commensurable ou incommensurable correspond un déplacement et vice versa. Le déplacement correspondant au nombre n a n'est pas autre chose que le déplacement correspondant au nombre a répété n fois.

Pourquoi est-ce la dernière de ces trois solutions qui a été adoptée ? Les raisons de ce choix sont complexes.

i° Il a été établi par l'expérience que les déplacements qui sont suffisamment grands peuvent être divisés par un nombre quelconque ; et comme les instruments de mesure ont augmenté de précision, cette divisibilité a été démontrée pour des déplacements beaucoup plus petits, à l'égard desquels elle semblait d'abord douteuse. Nous avons ainsi été conduits par induction à supposer que cette divisibilité est une propriété de tous les déplacements, si petits qu'ils soient, et en conséquence à rejeter la première solution et à nous décider en faveur de la divisibilité à l'infini.

2° La première solution, comme la seconde, est incompatible avec les autres propriétés du groupe, que nous connaissons par d'autres expériences. J'expliquerai cela plus loin. La troisième solution s'impose donc à nous par ce fait seul. Le contraire pourrait être arrivé. Il aurait pu se faire que les propriétés du groupe fussent incompatibles avec la continuité. Alors nous aurions sans doute adopté la première solution.