L'AXIOME DE LIE

C'est Sophus Lie qui a le plus contribué à mettre en évidence l'importance de la notion de groupe et à établir les fondements de la théorie que je viens d'exposer. C'est lui, en fait, qui fe donné sa forme actuelle à la théorie mathématique des groupes continus. Mais pour rendre possible l'application de cette théorie à la géométrie, il regarde comme nécessaire un nouvel axiome qu'il énonce en déclarant que l'espace est une Zahlenmannigfaltigkeit ; c'est-à-dire qu'à tout point d'une ligne droite correspond un nombre et vice versa.

Cet axiome est-il absolument nécessaire ? Et les autres principes que Lie a posés ne pourraient-ils pas en dispenser ? Nous avons vu plus haut, à propos de la continuité, que les groupes les plus connus pouvaient être, à un certain point de vue, répartis en trois classes ; toutes les opérations du groupe peuvent être divisées en faisceaux ; pour les groupes « discontinus », les différentes opérations du même faisceau ne sont qu'une seule opération répétée une fois, deux fois, trois fois, etc. ; pour les groupes « continus » proprement dits, les différentes opérations du même faisceau correspondent à différents nombres entiers, commensurables ou incommensurables ; enfin, pour les groupes qui peuvent être appelés « semi-continus », ces opérations correspondent à différents nombres commensurables.

Or, on peut démontrer qu'il n'existe pas de groupe discontinu ou semi-continu qui possède d'autres

propriétés que celles que l'expérience nous a amenés à adopter pour le groupe fondamental de la géométrie, et que je rappelle ici brièvement : Le groupe contient une infinité de sous-groupes, tous gleichberechtigt, que j'appelle sous-groupes rotatifs. Deux sous-groupes rotatifs ont un faisceau commun que j'appelle rotatif et qui est commun non seulement à deux, mais à une infinité de sous-groupes rotatifs. Enfin tout déplacement très petit du groupe peut être regardé comme la résultante de six déplacements appartenant à six faisceaux rotatifs donnés. Un groupe satisfaisant à ces conditions ne peut être ni discontinu, ni semi-continu.

Sans doute, c'est là une propriété excessivement mystérieuse et qu'il n'est pas facile de démontrer. Les géomètres qui l'ignoraient n'en ont pas moins saisi ses conséquences, comme, par exemple, quand ils ont découvert que le rapport d'une diagonale au côté d'un carré est incommensurable. C'est pour cette raison que l'introduction des incommensurables dans la géométrie est devenue nécessaire.

Le groupe doit donc être continu et il semble que l'axiome de Lie soit inutile.

Néanmoins, nous devons remarquer que la classification des groupes esquissée plus haut n'est pas complète ; on peut concevoir des groupes qui n'y soient pas inclus. Nous pourrions donc supposer, que notre groupe n'est ni discontinu, ni semi-continu, ni continu. Mais ce serait là une hypothèse compliquée. Nous la rejetons ou plutôt nous n'y pensons jamais, pour la raison qu'elle n'est pas la plus simple qui soit compatible avec les axiomes adoptés.

Le fondement de l'axiome de Lie reste encore à fournir.