LA GÉOMÉTRIE ET LA CONTRADICTION

En poursuivant toutes les conséquences des différents axiomes géométriques, ne sommes-nous jamais amenés à des contradictions ? Les axiomes ne sont pas des jugements analytiques a priori ; ce sont des conventions. Est-il certain que toutes ces conventions soient compatibles ?

Ces conventions, il est vrai, nous ont toutes été suggérées par des expériences, mais par des expériences grossières. Nous découvrons que certaines lois se vérifient approximativement et nous décomposons par convention le phénomène observé en deux autres : un phénomène purement géométrique qui obéit exactement à ces lois et un très petit phénomène perturbateur.

Est-il certain que cette décomposition soit toujours légitime ? Il est certain que ces lois sont approximativement compatibles, car l'expérience montre qu'elles sont toutes approximativement réalisées en même temps dans la nature. Mais est-il certain qu'elles seraient compatibles si elles étaient absolument rigoureuses ?

Pour nous la question n'est plus douteuse. La géométrie analytique est d'une construction solide et tous les axiomes ont été introduits dans les équations qui lui servent de point de départ : nous n'aurions pas pu écrire ces équations si les axiomes avaient été contradictoires. Maintenant que les équations sont

écrites, elles peuvent être combinées de toutes les manières possibles ; l'Analyse est la garantie que des contradictions ne pourront pas s'introduire.

Mais Euclide ne savait pas la géométrie analytique et cependant il n'a jamais douté un instant que ses axiomes ne soient compatibles. D'où lui Venait sa confiance ? Etait-il dupe d'une illusion ? Et attribuait-il à nos expériences inconscientes plus de valeur qu'elles n'en possèdent réellement? Ou peut-être, puisque l'idée du groupe préexistait en puissance en lui, en a-t-il eu quelque obscur instinct sans atteindre à sa notion distincte. Je laisserai cette question sans la résoudre quoique j'incline vers la seconde solution.