CONCLUSIONS

La géométrie n'est pas une science expérimentale ; l'expérience n'est pour nous que l'occasion de réfléchir sur les idées géométriques qui préexistent en nous. Mais cette occasion est nécessaire ; si elle n'existait pas, nous ne réfléchirions pas, et si nos expériences étaient différentes, nos réflexions seraient sans doute aussi différentes. L'espace n'est pas une forme de notre sensibilité ; c'est un instrument qui nous sert, non à nous représenter les choses, mais à raisonner sur les choses.

Ce que nous appelons la géométrie n'est pas autre chose que l'étude des propriétés formelles d'un certain groupe continu ; si bien que nous pouvons dire que

l'espace est un groupe. La notion de ce groupe continu existe dans notre esprit antérieurement à toute expérience ; mais il en est de même pour la notion de beaucoup d'autres groupes continus ; par exemple celui qui correspond à la géométrie de Lobatchewsky. Il y a donc plusieurs géométries possibles et il reste à voir comment le' choix se fait entre elles. Parmi les groupes mathématiques continus que notre esprit peut construire, nous choisissons celui qui s'écarte le moins de ce groupe brut, analogue au continu physique, que l'expérience nous a fait connaître comme groupe des déplacements.

Notre choix ne nous est donc pas imposé par l'expérience. Il est simplement guidé par l'expérience. Mais il reste libre : nous choisissons cette géométrie-ci plutôt que celle-là, non parce qu'elle est plus vraie, mais parce qu'elle est plus commode.

Demander si la géométrie d'Euclide est vraie et celle de Lobatchewsky fausse est aussi absurde que de demander si le système métrique est vrai et celui de la toise, du pied et du pouce faux. Transportés dans un autre monde, nous pourrions sans doute avoir une géométrie différente, non parce que notre géométrie aurait cessé d'être vraie, mais parce qu'elle serait devenue moins commode qu'une autre. Avons-nous le droit de dire que le choix entre les géométries nous est imposé par la raison et, par exemple, que la géométrie euclidienne est seule vraie parce que le principe de la relativité des grandeurs s'impose inévitablement à notre esprit ? Il est absurde, dit-on, de supposer qu'une longueur peut être égale à un nombre abstrait. Mais pourquoi ? Pourquoi est-ce absurde pour une longueur

et n'est-ce pas absurde pour un angle ? Il n'y a qu'une réponse possible : cela nous paraît absurde parce que c'est contraire à nos habitudes de pensée. Sans doute la raison a ses préférences, mais ces préférences n'ont pas ce caractère impératif. Elle a ses préférences pour le plus simple, parce que toutes choses égales d'ailleurs, le plus simple est le plus commode. Ainsi nos expériences seraient également compatibles avec la géométrie d'Euclide et avec la géométrie de Lobatchewsky qui supposait la courbure de l'espace très petite. Nous choisissons la géométrie d'Euclide parce qu'elle est la plus simple. Si nos expériences étaient considérablement différentes, la géométrie d'Euclide ne suffirait plus à les représenter commodément, et nous choisirions une géométrie différente.

Qu'on ne dise pas que le groupe d'Euclide nous semble le plus simple parce qu'il est le plus conforme à quelque idéal préexistant qui a déjà un caractère géométrique ; il est plus simple parce que certains de ses déplacements sont échangeables, ce qui n'est pas vrai des déplacements correspondants du groupe de Lobatchewsky. Traduit dans le langage analytique, cela veut dire qu'il y a moins de termes dans les équations et il est clair qu'un algébriste qui ne saurait pas ce qu'est l'espace ou la ligne droite regarderait cela néanmoins comme une condition de simplicité.

En résumé, c'est notre esprit qui fournit une catégorie à la nature. Mais cette catégorie n'est pas un lit de Procuste dans lequel nous contraignons violemment la nature, en la mutilant selon que l'exigent nos besoins. Nous offrons à la nature un choix de lits parmi lesquels nous choisissons la couche qui va le mieux à sa taille.