LA FORME ET LA MATIERE

Nous devons la théorie que je viens d'esquisser à Helmholtz et à Lie. Je ne diffère d'eux que sur un point ; mais la différence n'est probablement que dans l'expression et au fond nous sommes complètement d'accord.

Comme je l'ai expliqué plus haut, nous devons distinguer dans un groupe la forme et la matière. Pour Helmholtz et Lie la matière du groupe existait avant la forme et en géométrie la matière est une Zahlenmannigfaltigkeit à trois dimensions. Le nombre des dimensions est donc posé antérieurement au groupe. Pour moi au contraire la forme existe avant la matière. Les différentes manières dont un cube peut être superposé à lui-même et les différentes manières dont les racines d'une certaine équation peuvent être échangées constituent deux groupes isomorphes. Elles ne diffèrent que par la matière. Le mathématicien regarderait cette

différence comme superficielle et il ne distinguerait pas davantage entre ces deux groupes qu'entre un cube de verre et un cube de métal. Sous cet aspect le groupe existe antérieurement au nombre des dimensions.

Nous échappons aussi de cette façon à une objection qui a souvent été faite à Helmholtz et à Lie : « Mais votre groupe, objecte-t-on, présuppose l'espace ; pour le construire vous êtes obligés d'admettre un continu à trois dimensions. Vous procédez comme si vous saviez déjà la géométrie analytique. » Peut-être cette objection n'était-elle pas tout à fait juste ; le continu à trois dimensions que posaient Helmholtz et Lie était une sorte de grandeur non mesurable analogue aux grandeurs dont nous pouvons dire qu'elles sont devenues plus grandes ou plus petites, mais non qu'elles sont devenues deux fois ou trois fois plus grandes.

C'est seulement par l'introduction du groupe qu'ils en ont fait une grandeur mesurable, c'est-à-dire un véritable espace. Cependant l'origine de ce continu non mesurable à trois dimensions reste imparfaitement expliquée.

Mais dira-t-on, pour étudier un groupe, fût-ce dans ses propriétés formelles, il est nécessaire de le construire et il ne peut pas être construit sans matière. On pourrait aussi bien dire qu'on ne peut pas étudier les propriétés géométriques d'un cube sans supposer ce cube de bois ou de fer. Le complexe de nos sensations nous a sans doute pourvus d'une sorte de matière, mais il y a un contraste frappant entre la grossièreté de cette matière et la subtile précision de la forme de

notre groupe. Il est impossible que ce soit là, à proprement parler, la matière d'un tel groupe. Le groupe des déplacements tel qu'il nous est donné directement par l'expérience est quelque chose d'une nature plus grossière ; il est, pouvons-nous dire, aux groupes continus à proprement parler ce que le continu physique est au continu mathématique. Nous étudions d'abord sa forme conformément à la formule du continu physique et comme il y a quelque chose qui répugne à notre raison dans cette formule, nous la rejetons et nous y substituons celle du groupe continu qui en puissance préexiste en nous, mais que nous ne connaissons initialement que par sa forme. La matière grossière qui nous est fournie par nos sensations n'a été qu'une béquille pour notre infirmité et n'a servi qu'à nous forcer à fixer notre attention sur l'idée pure que nous portions auparavant en nous.