NI UNE CONVENTION

Sommaire.— I. L'expression V — ii par ses origines et par ses effets, est certainement un être algébrique. —II. Fâcheuse influence du mot imaginaire. — III. v^ — I est une opération impossible qui nous apprend que les données d'une question sont conlradictoires avec les propriétés du nombre abstrait. — IV. Ces deux impossibilités sont nécessairement équivalentes, de sorte que la forme algébrique de Tune nous révèle le comment et le pourquoi de DOS contradictions.— V. Considérations générales sur la possibilité de réaliser en concret et, dans certains cas, ce qui nest pas réalisable en abstrait.

Que nous le voulions ou que nous ne le voulions pas^ la forme imaginaire se présente incessamment dans les recherches algébriques ; à notre insu elle intervient dans presque tous nos calculs ; bon gré mal gré nous sommes obligés de la subir et de compter avec elle.

Singulière situation^ disons mieux^ situation humiliante pour toutes les intelligences, mais principalement pour celles qui, refusant à cette forme toute conception, et la considérant

comme un je ne sais quoi qu'il faudrait reléguer dans le monde des chimères, sont cependant obligées de lui faire bon accueil dans leurs élucubrations, qui vont même jusqu'à chercher dans ces formes^ incomprises pour elles, le point d'appui sur lequel elles essayent de se poser pour aller à la découverte de vérités mathématiques.

Tâchons cependant de raisonner un peu sur ces choses et examinons si tout en elles est aussi Imaginatif que le prétendent certains esprits. A-t-on vu^ par exemple, beaucoup de chimères, si chimère il y a, qui, comme y/^, jouissent de la propriété de cesser de Têtre lorsqu'on les élève à la quatrième puissance ? Nous disons la quatrième puissance, au lieu du carré^pour ménager les susceptibilités de quelques raffinés en réalisme auxquels la juxtaposition à un nombre d'un signe quelconque d'opération inspire toujours certaines délicatesses. A-t-on vu des chimères qui^ ajoutées l'une à l'autre^ multipliées l'une par l'autre^ passent dans certains cas du monde idéal dans le monde réel? Certes, il faut le reconnaître, ce sont là des chimères d'une espèce toute particulière ; elles obéissent, on le voit, à certaines règles, et, tout incompréhensibles qu'on voudrait nous les faire, elles posséderaient le très-remarquable privilège de subir, par l'application de ces règles^ une transmutation complète^ la plus surprenante peut-être des transmutations, celle de changer d'essence par le simple jeu d'opérations spéculatives.

Ce serait là, il faut en convenir, un problème autrement remarquable que celui que les alchimistes se sont efforcés de résoudre dans les siècles passés : car enfin ceux-ci voulaient d'une chose faire une autre chose, ils n'avaient pas la prétention d'obtenir de la matière autrement qu'avec la matière ; tandis que nous^ avec ce qui n'existerait pas^ nous créerions ! nous serions possesseurs d'opérations au moyen desquelles d'un symbole imaginatif nous ferions un être réel ! en un mot, nous développerions le principe de vie, en fécondant un germe qui n'a d'autre vitalité que celle qui peut résulter d'une existence chimérique l

Telle serait l'inextricable situation dans laquelle nous serions placés. Or, comme tout effet doit avoir une cause, comme je ne parviendrai pas^ quelle que soit la série d'opérations que

CBAPITRE !.. 3

je voudrai mettre en œuvre^ à faire quelque chose de rien^ un être réel d'une chimère ; et cependant, comme en partant de rîmaginaire l'algèbre possède des opérations aptes à me conduire à des résultats dont j'ai l'intelligence, à des réalités, n'estil pas naturel^ nécessaire, inévitable de conclure que non-seulement l'imaginaire n'est ni le néant, ni une chimère^ mais qu'il est certainement un être algébrique ?

Si^ des considérations relatives aux effets, nous passons à celles qui concernent les origines, nous y trouverons de nouveaux motifs de persister dans ces conclusions.

Comment, en effet, l'imaginaire fait-il son apparition? Quand se révèle-t-il ? Est-ce à la suite de quelque caprice qui entraine notre pensée dans les sphères idéales où nous pouvons à volonté tout créer et tout anéantir ? Proflte-t-il du désordre ou du sommeil de notre intelligence pour nous envoyer ses énigmes, ce qui, j'en conviens, autoriserait les esprits réfléchis dans leur refus de reconnaître qu'il puisse être quoi que ce soit? Non, certes, ce n'est pas ainsi que les choses se passent : c'est, au contraire, à la suite d'études sérieuses» de combinaisons réfléchies, de calculs autorisés par une saine logique, par la plus rigoureuse peut-être de toutes les logiques^ qu'il vient faire prise de possession dans nos recherches et qu'il s'y maintient comme une dépendance des raisonnements les mieux établis, comme la conséquence la plus rationnelle et la plus irréfutable de ce» principes de calcul, codifiés par l'élite des intellijgences humaines, et qui sont la science même^ car, sans eux, nous n'aurions pas plus celle qui fixe les rapports du réel que celle qui conduit à la manifestation de la forme imaginaire.

En résumé^ puisque, d'une part, l'imaginaire se montre à nous comme conséquence d'opérations algébriques pratiquées sur des expressions réelles, opérations conformes d'ailleurs à toutes les règles que la science autorise; puisque, d'autre part, en lui appliquant quelques-unes de ces opérations, l'ima* ginaire conduit, par voie de réciprocité, à des expressions réelles, reconnaissons qu'il possède à la fois, et par ses origines et par ses effets^ le véritable caractère des êtres algébriques.

Etre dont la mission est restée incomprise jusqu'à ce jour^ je le veux bien ; opération impossible par elle-même, je le veux

i DES FORMES IMAGINAIRES.

encore; mais dont l'essence et la manifestation^ ne dépendant ni du caprice, ni de la fantaisie, ni de quoi que ce soit d'imaginatif^ prennent leur base dans la science algébrique même; être qui; à tout prendre, doit bien compter pour quelque chose dans cette science, puisqu'il est merveilleusement apte — Texpérience le prouve — à 7 remplir d'utiles fonctions.

On s'étonnera peut-être, et ce sera à fort bon droit, nous le reconnaissons, que nous mettions tant d'insistance à établir une vérité dont la forme seule de l'imaginaire emporte par elle-même la démonstration. Comment se refuser, dira-t-on, à reconnaître que V^ est un être algébrique, alors que tout est algébrique dans sa manifestation ? Que voyons- nous ici en effet? l'opération radicale combinée avec l'opération soustractive. Or, à moins de supprimer ces deux opérations dans la science, il n'est pas possible de dire qu'une telle combinaison soit Imaginative, et on le peut d'autant moins que ce n'est pas l'imagination mais Talgèbre même qui l'a créée.

Certes, cela devrait suffire. Malheureusement, ceux qui les premiers se sont trouvés en présence d'un tel résultat, ne i^ciyant pas compris, ont eu la malencontreuse inspiration de lui donner le nom dHmaginaire; or comme ce mot n'est pas seulement appellatif, mais encore et surtout qualificatif, cette dernière considération s'emparant de quelques esprits a gagné peu à peu du terrain, on s'est laissé aller à donner à la chose les qualités mêmes de l'adjectif par lequel on Ta désignée, et, une fois entré dans cette voie, on a été d'autant plus entraîné à y persister, que le fait même de l'impossibilité où on se trouvait d'assigner une signification actuelle aux opérations figurées par V--Ï semblait rejeter Tintelligence en dehors de tous les raisonnements possibles.

On s'est trouvé placé dans la situation d'un homme qui, voulant atteindre un but déterminé, s'avance dans une certaine direction et se trouve subitement en présence d'un obstacle qui lui interdit la poursuite de celte direction. Cet homme perd alors la tête ; au lieu de se recueillir et de faire appel à la réflexion, il se laisse aller à je ne sais quelles hallu-