CHAPITRE X. ai

Orrexpres8ioncosot+ V^— î sin a n'est pas la seule qui réalise cette condition. Il est en effet établi en algèbre que la forme exponentielle obéit à son tour à la même loi^ d'où résulte cette conséquence, tout au moins théorique^ que nous devons nous

attendre à ce que l'expression cos a-f v/^sin a pourra être égalée à une exponentielle de Tangle. Or les considérations concrètes vont à leur tour, et fort simplement, nous conduire aux mêmes conséquences.

En effet, d'après les idées qu'ont pu faire naître dans notre esprit les considérations relatives aux logarithmes, nous sommes autorisés à concevoir qu'au point de vue le plus général, le logarithme est le rang qu'occuperait une quantité dans une progression où toutes les quantités de même espèce se trouve* raient disposées suivant l'ordre de leur développement. Or, si par analogie nous voulons faire l'application de cette idée générale aux directions, nous reconnaîtrons que leur développement forme autour d'un point fixe une série embrassant la circonférence entière qui s'étend autour de ce point. De sorte qu'ayant pris une d'entre elles pour point de départ, le rang de chacune des autres pourra être compté par l'arc de circonférence qu'elle intercepte à partir de la première, ou si Ton veut par Fangle qu'elles forment entre elles. Nous pourrons donc poser en principe que l'angle est le logarithme de la direction, et que par suite la direction sera exprimable par une exponentielle de l'angle.

Les considérations concrètes sont donc en complet accord sur ce point avec les enseignements théoriques, et il ne nous reste plus qu'à rechercher comment, dans le cas actuel, devra être constitué le système de logarithmes appUcable aux directions.

A en juger par une remarque d'Euler, ce système serait une dépendance de la formule suivante :

g =COSa+v^ — ISma.

Il en résulte, en effet, que Ton peut prendre e comme

représentation algébrique des directions d'où il suit que la base du système de logarithmes qui leur serait applicable devrait être e *.

Telle a été la conclusion qu'il y a trente ans nous avons acceptée nous méme^ dans nos études sur la science du calcul. Hais depuis cette époque nous avons réfléchi sur ce sujet et nous avons été conduit à modifier notre opinion.

En effet, il n'y a rien de précis dans la formule d'Euler; je ne trouve dans sa constitution qu'une hypothèse^ et dans ses conséquences qu'incertitudes et impossibilités. Ces deux assertions serçnt bientôt justifiées. Mais comme nous touchons ici aux développements en séries, sorte de spéculation fort délicate en algèbre et qui ne conduit que trop facilement à l'abus, nous croyons devoir présenter quelques observations sur ce sujet important.

Les développements en séries^ lorsqu'on les accepte sans avoir suffisamment médité sur les détails intimes de leur constitution^ ont en effet le grand inconvénient de revêtir de la même apparence générale toutes les fonctions. Ce sont toujours des suites de termes procédant suivant les puissances croissantes ou décroissantes des variables, qui ne différent^ d'un cas i l'autre, que par les valeurs des coefficients dont ces termes sont affectés, et dans lesquels par conséquent la variable est constamment soumise^ et sans distinction, aux mêmes opéra* tions algébriques.

Qui ne croirait, à en juger par l'uniformité de l'aspect qu'elles présentent toutes, que les diverses fonctions qui leur donnent naissance, quoique diversifiées à l'origine par des formes différentes, pouvant ainsi se rattacher à un même type et se fondre finalement dans un moule commun, doivent toutes être considérées comme étant de même nature?

Cela est tellement vrai que certains auteurs, et entre autres Gergonne, dans ses Annales de mathématiques, ont cru pouvoir légitimement prendre un tel développement comme le point de départ de l'étude des fonctions considérées dans toute leur généralité.

Or, nous croyons être en mesure d'affirmer qu'admettre qu'une série, quelque grand que soit le nombre des termes