CHAPITRE X

qu'on veut prendre, peut être Téquivalent d'une fonction^ est nue grande erreur. Une pareille croyance est si souyent démentie par les faits qu'elle aurait dû depuis longtemps dispa* raitre. L'équivalence, même approchée, d'une fonction et d'une série est un fait qui ne se réalise que très-accidentellement ; nous prions le lecteur, que ces affirmations pourraient étonner, d'attendre, avant de former son opinion, les preuves sur lesquelles nous les appuierons.

Sans nier l'utilité de quelques rares séries pour obtenir des valeurs numériques approximatives des fonctions, combien n'y en a-t-il pas dont les termes, quoique légitimement dérivés d'une fonction^ sont tout-à-fait impropres à en représenter la valeur, et à plus forte raison la forme? et à combien d'erreurs ne serait-on pas exposé si Ton ajoutait une confiance aveugle à l'égalité au moyen de laquelle on unit si souvent une série à la fonction de laquelle elle dérive?

Quelques auteurs^ dont le nombre encore trop restreint augmentera de jour en jour^ nous Fespérons (1)^ s'étonnent que des hommes tels qu'Euler et Leibnitz aient pu^ par exemple^

considérer comme exacte l'égalité de la fraction - avec la suite

I — i-l-i— 1+..., et ils déplorent avec Abel « que Ton trouve a malheureusement dans d'excellents auteurs, parmi les prin- « ces de la science, des fautes analogues. »

Nous pensons que lorsque de tels faits se présentent, lorsque de pareils reproches peuvent être adressés à des hommes aussi éminents que ceux que nous venons de citer, c'est que leur esprit doit s'être laissé entraîner à quelque méprise sur des points de doctrine non suffisamment approfondis. Lorsqu'on en vient, en efl<et, à accepter comme vraies des équivalences aussi évidemment antipathiques à la raison que celle que nous venons de citer, tant pour le fond que pour la forme, ne faut-il pas admettre que ce n'est pas de gaieté de cœur qu'on le fait, mais contraint et enchatné par les exigences de certaines déductions? Si donc, dans la conclusion, nous constatons une erreur de fait matérielle^ ce n'est pas en elle que nous devons chercher

i. Voir le Traité d: Algèbre de M. Laurent, p. 278.

2tO PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS.

un vice de raisonnement^ c'est plus haut qu'il faut remonter pour découvrir la cause de Terreur^ c'est dans le point de départ^ dans les principes qu'il faut chercher, comme on le dit vulgairement, le défaut de la cuirasse. Nous dirons donc que ni Euler, ni Leibnitz, ni les autres princes de la science, ne se sont pas donné le tort d'avoir manqué à la logique au siyet des déductions qu'on leur reproche. Plus l'absurdité de la conséquence était manifeste , plus on doit être porté à croire qu'ils sont revenus sur les raisonnements qui les y ont conduits, et que c'est après avoir acquis la conviction que ces raisonnements étaient inattaquables qu'ils se sont cru obligés d'en accepter le dernier mot, quel qu'il fût. Mais ce qu'il nous est permis d'admettre, c'est que sans doute ils ont subi l'influence de quelque méprise au sujet du fait algébrique qui a servi de base à ces raisonnements. Or nous pensons que cette méprise existe en effet, et elle consiste, selon nous, en ce que l'on a cru, et Ton croit encore trop facilement, qu'on peut en général égaler une série à la fonction qui lui a donné naissance.

Mais avant d'aborder le côté rationnel de la question, il ne sera pas inutile d'en examiner le côté pratique et de montrer, par une suite de faits, les incroyables conséquences qu'on serait forcé d'accepter si l'équivalence de la série à la fonction était généralement vraie.

Supposons, par exemple, avec Leibnitz et Euler, que le développement du binôme pour le cas de l'exposant entier et positif continue de s'appliquer lorsque cet exposant restant entier devient négatif.

N'insistons pas, pour le moment, sur tout ce qu'il y a de vague dans cet énoncé qui substituerait à un développement composé d'un nombre fini de termes, qui par conséquent n'est pas une série, un autre développement qui, en contenant an nombre infini, devient sériaire, et bornons-nous, quant à présent, à admettre l'exactitude de l'équivalence

CHAPITBE X. 22!

Passons mainteDant du général au particulier, en supposant que Ton fait az=b=i, et nous allons arriver à notre tour soit à la conséquence reprochée à Leibnitz et à Euler, soit à une fouie d'autres conséquences tout aussi peu admissibles^ et que cependant il faudrait bien accepter si le point de départ était exact. En eJSèt^ la formule devient alors^

et de même que la formule générale, elle se compose d'une suite de termes entiers alternativement positifs et négatifs.

Mais si l'on combine entre eux les deuxième et troisième termes, puis les quatrième et cinquième, et ainsi de suite, elle prend la forme

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dans laquelle les termes, toigours entiers, sont tous essentiellement positifs.

Enfin, si Ton combine entre eux les premier et deuxième termes, puis les troisième et quatrième, et ainsi de suite, elle devient