CHAPITRE XI

lions qui peuvent concernep la ligne droite et le cercle; nous nous proposons maintenant de procéder à la recherche de la représentation algébrique des courbes dites du second degré, et nous commencerons par Tellipse.

Cette courbe peut être définie par Tune de ses propriétés. Prenons à cet effet celle qui consiste en ce que la somme des distances d'un quelconque de ses points à deux points fixes est une quantité constante. Ces points fixes sont ce qu'on appelle les foyers de Tellipse ; désignons-les par F et F^^ et appelons d la distance qui les sépare.

Prenons pour origine l'un des foyers F^ et pour ligne de base la droite FF^ : un point quelconque de Tellipse étant désigné par P, menons les deux droites PF^ PF'^ appelons r la longueur de la première^ t^.la longueur de la seconde, 6 et 0^ les angles qu'elles font avec la ligne de base; il faudra que le chemin FP soit égal au chemin dirigé FF^ + FT; de là résulte l'équation

r (cos 6-h V--Î sîn 0) = d+r^ (cos ô'-i- \f^ sin ^).

Égalant de part et d'autre ce qui est réel et imaginaire , on aura les deux conditions

r cos6=d+f^ cos y, f sin 6= f/ sin ô'.

Si l'on désigne par s la somme constante r^+r^ on en conciliera que r' =s— r, de sorte que les deux conditions ci-dessus prendront la forme

(s —r) cos 6' =ar cos 6— d, {s—r sinô^^rsinO;

disant la somme des carrés^ il vient

(«— r)*=r« — 2dr cosô-i-d%

d*où l'on déduit

2 (S— dcos 0)*

Cette valeur fait connaître comment l'élément continu de la distance qui sépare un point quelconque P de Tellipse de Tun de ses foyers varie avec l'élément directif variable 0 de ce

S92 DE LA COMBINAISON DE l' ATTRIBUT, ETC.

point; d'où il suit que l'expression algébrique de Tellipse sera

2(5— dCOSÔ)

(cos 6 + V— ^ sin 6).

A Taide de* cette expression on sera en mesure de connaître tout ce qui concerne l'ellipse.

Veut-on par exemple déterminer le point de la courbe situé à égale distance des deux foyers? Comme cette distance com-

mune a évidemment pour valeur - on devra avoir

d'où l'on déduit

et par suite

2(« — dcosO) 2'

cosô=-.

sin6=r-i/8» — d«*

Ce point sera donc double puisque la valeur du sinus est susceptible du double signe ±:; l'expression du point cherché sera

ou plus simplement

- -H v'" v^5« -cP.

La projection de ce point sur la ligne de base tombe donc sur le milieu de la ligne des foyers.

Si plus généralement on demandait le point pour lequel la

longueurdurayon vecteur est égale à — « on aurait

2 (s — d cos 6) m

et on en déduirait

md«— «'(m — 2) cos6 = T- '•

Il est facile de déterminer les limites entre lesquelles sont