CHAPITRE XI

Nous venons de voir que la foi me

cosaihv^— isina,

pour des cosinus et sinus trigonométriques, s'applique aux directions, et par ce motif on peut attribuer à ces rapports de la trigonométrie la désignation de cosinus et sinus directifs. Cette forme devient CjdrSi lorsqu'on lui applique Tautre sorte de sinus et de cosinus^ que nous appellerons, sinus et cosinus continus. Aussi la loi générale dp leurs relations respectives est-elle

(cos a -h \J^ sin a) (cos a — ^"^ sin a) = I pour les premiers^

pour les seconds.

Or, de même qu'il n'y a pas de direction qu'on ne puisse

former au moyen de la forme A±BV— i, avec deux éléments cosor, sina^ Satisfaisant à la condition cos*a-hsin*a=i, de même il n'y a pas de nombre réel qu'on ne puisse représenter

à l'aide de cette forme avec deux éléments CietSj\/--Jr pour lesquels ë( et Si satisfont à la condition Ci*— S,' = i. En effel, T étant un nombre réel quelconque, si nous prenons

Ci±S=T,

D0U8 aurons en remplaçant S^ par sa valeur en fonction de C^ ,

C,zi=v^C,«-i=T,

Taleur de T qui sera toujours réelle en vertu de l'hypotlièse que Ct est supérieur à l'unité. On déduit de là

±V^C.'-i=T-C„ et en élevant au carré

C,>-i=P— 2CJ-i-CA d'où

290 DE LA COMBINAISON DE l'aTTRIBUT^ ETC.

Il est facile de Yoir que l'expression — ^ est en effet la

forme générale des valeurs qui ne peuvent descendre au-dessous de l'unité^ quelle que soit la variation de T entre zéro et rinfini; car soit T= i+e^ il viendra

et comme pour les valeurs de T comprises entre zéro et rinflni, la plus petite valeur de e est — i ; il s'ensuit que > ne de-

viendra jamais négatif^ et que par conséquent Ci sera toujours supérieur à Tunité. On vérifiera facilement qu'avec cette valeur de C, le binôme C, + S^ est en effet égal à T^ tandis que Ci — Si est

égal à fR , comme cela doit être, puisque le produit de ces binômes est l'unité entière ou fractionnaire ; et parce quel peut être quelconque, on voit qu'il n'y a pas de grandeur comprise entre zéro et l'infini qui ne puisse être réalisée par la forme

Art: B V^y en lui appliquant, pour A et pour B, les sinus et cosinus tels que nous les avons définis.

Enfin par la combinaison des sinus et cosinus, soit diréctifs soit continus, onreprésentera avec cette forme une grandeûrdirigée

quelconque. En résumé l'expression A ± B ^^, par une intervention convenable de l'opération V^, est en algèbre celle de la génération universelle des grandeurs réelles ou imaginai res^ de même que dans la science de retendue, on peut par la combinaison des longueurs avec Tangle droit, équivalent de

\/— -I, reproduire tous les êtres géométriques.

Ces considérations sont susceptibles de nombreuses et fécondes applications, mais nous devons ici nous borner à l'indication générale du principe dont elles sont les dépendances» et nous allons revenir à l'objet principal de nos recherches.

Dans ce qui précède, nous nous sommes occupé des ques-