CHAPITRE X

Den principales lois qui régissent les directions, et de la représentation.de ces lois en Algèbre. Observations incidentes sur les développements en séries. 204

SOMiuaBE. — I. La conception de la direction ne nous permet pas de la considérer comme divisible, accord de cette conception avec les formes algébriques qui représentent bi direction. — II. Le passage d'une direction à une autre se fait en algèbre par la voie de facteurs de la forme

eosa-h^^ssino. — III. Interprétation géométrique des racines de rnmié pour tons les degrés. — IV. Explications sur Tordre à suivre pour la supputation des directions. ^ V. Les angles sont les logarithmes des directions. •— VI. Recherche de h base de ce système de logarithmes ; «bservations à ce siqet sur les développements en série. — VII. Exemples des inexactitudes auxquelles conduit Tapplication des séries qu'on

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considère comme donnant les valeurs des puissances du binôme pour les cas où Texposant est négatif ou fractionnaire. — VIII. De la constitution du développement du binôme lorsque l'exposant est entier et positif, et des différences essentielles qui existent entre ce cas et tous les autres. — IX. Vices des raisonnements par lesquels on cherche à démontrer la généralité de la formule du binôme. — X. Recherche de la valeur du binôme pour les puissances entières et négatives, et nécessité de &ire suivre le développement ordinaire d'une fonction finale. — XI. Nature ^t détermination de cette fonction finale. — XII. Avec la fonction finale toutes les inexactitudes ci-dessus signalées disparaissent. — XIII. De la fonction finale lorsque Texposant du binôme est fractionnaire; concor* dance entre ce cas et celui où l'exposant entier est positif ou négatif.

— XIV. Généralité pour toutes les fonctions des faits ci-dessus exposés.

— XV. Conséquences qui en résultent, soit pour la pratique, soit pour la théorie, soit pour le principe de Tindépendance et de l'invariabilité des formes des fonctions.— XVI. La base du système des logarithmes des

directions ne saurait être déduite de la formule ^•'"* = cosa-f-|/-^sina. —XVII. Discussion à ce sujet et fausses applications à des valeurs imaginaires de propriétés qui ne sont démontrées que pour des valeurs réelles. <^XVIII. Nouvelle formule à substituer à celle d'Euler, et conséquences à en déduire pour la base du système de logarithmes des directions.