AVANT-PROPOS

C'est pour la troisième fois que nous venons appeler l'attention du public SUT la haute importance qu'il faut attribuer aux expressions Imaginaires de l'Algèbre. Ce n'est pas à dire pour cela que nous nous refusions à reconnaître x|ue ces formes ont été souvent employées par les géomètres dans leurs recherches analytiques ; leur emploi a été au contraire très-fréquenty mais rarement il a été rationnel. Le plus souvent c'est par voie de pure supposition, et sur de simples analogies plus ou moins fondées» que les expressions imaginaires ont été introduites dans les calculs; c'est presque toujours en s'appuyant sur des bases à peu près conventionnelles qu'on a cru pouvoir édifier sinon des doctrines» cela n'était pas pos* sible» du moins des formules auxquelles ne manquent» à coup sûr» ni le nombre ni la complication. De pareilles études témoignent sans doute d'une certaine habileté combinatoire chez leurs auteurs; mais» l'esprit logique n'ayant pas présidé à leur établissement» nous ne pouvons voir en elles qu'un simple exercice de manipulations analytiques conduisant à des conséquences dont la vérité reste incertaine» ainsi qu'il arrive toutes les fois que la rationnalité du point de départ n'est pas établie.

Dire qu'il est à souhaiter qu'une telle manière de procéder soit abandonnée» ce n'est pas certainement contrevenir aux

VI AVANT-PIIOPOS.

exigences naturelles du bon sens le plus vulgaire; demander qu'à des bases confuses et hypothétiques, s'appuyant sur des expressions auxquelles on avoue ne rien comprendre, on substitue des conceptions rationnelles, parfaitement déQnies, précises et vraies, il n'y a rien que de très-légitime dans renonciation d'un tel vœu- La réalisation de ce projet est-elle possible ? Nous n'hésitons pas à répondre à cette question par l'affirmative, et nous croyons avoir suffisamment justiûé cette réponse dans nos précédentes publications.

En nous expliquant, dans la première Partie de nos études, sur l'interprétation des formes imaginaires en abstrait et en concret^ il nous semble que, au point de vue algébrique, nous avons établi que, si, avec la seule idée de l'unité numérique, nous ne pouvons réaliser l'opération représentée par V— i, cette impossibilité de réalisation actuelle dans les moyens n'est pas un obstacle a la rationnalité de la présence de cette expression dans les calculs et par suite à la conception de toutes les conséquences logiques que cette présence, dûment justifiée, autorise.

C'est dans cette considération surtout qu'il faut chercher le mot de l'énigme de l'imaginaire. C'est parce que l'imaginaire intervient dans les questions comme une conséquence nécessaire, obligée, de raisonnements nets, précis, irréfutables, qu'il ne nous a jamais paru possible de soutenir qu'il était l'indice du néant, d'un non-sens, d'une convention. Telles ne sont pas, telles ne peuvent être les conclusions auxquelles l'exercice bien dirigé de notre raison peut nous conduire. L'imaginaire, liée au point de départ par les lois de la logique» est et ne saurait être qu'une émanation non moins logique de l'énoncé, qu'une véritable équivalence de cet énoncé même, présentée sous une autre forme sans doute, mais qui, quelles

AfAIIT-PROFOS. TII

que soient les impossibilités de réalisation de cette forme» ne saurait être d'une nature différente de celle qui caractérise l'origine dont elle est la filiation légitime et nécessaire.

Quant à ces impossibilités de réalisation, au point de vue algébrique» elles peuvent nous arrêter dans l'exécution» mais elles ne sauraient avoir l'étrange propriété de nous entraîner à prétendre que les lois du raisonnement peuvent faire dispa-» raltre d'un énoncé la moindre parcelle de ce que nous lui avons confié. Reconnaissons par suite que dans le résultat il est impossible que nous ne retrouvions pas tout ce qui figure dans les prémisses.

Ne disons donc pas que l'imaginaire est ou une convention» ou l'indice absolu d'un néant» ou un fatal et inévitable nonsens; mais affirmons qu'il est toujours quelque chose et que ce quelque chose sera ce que la nature de la question proposée lui permettra d'être» tantôt une impossibilité si cette question est en effet impossible avec les données qui y figurent» tantôt une réalisation si la demande est conciliable avec lea propriétés des quantités auxquelles elle s'applique.

A nous de chercher» dans chaque cas» ce qui se peut et ce qui ne se peut pas.

La praticabilité de l'opération V— - 1 est impossible» il es\ vrai» avec les moyens que l'Algèbre met à notre disposition; mais» s'il ne nous était permis de raisonner que sur les choses que nous sommes en mesure de réaliser nous-mêmes» il faudrait à coup sûr renoncer à l'étude de presque toutes les sciences. Le temps» la force» retendue sont et seront toujours» au point de vue de leur réalisation» en dehors de nos moyens d'action ; mais il suffit que les conditions essentielles de leur existence dans le monde nous soient connues pour que nous puissions nous élever à la conception des divers effets résultant de leur action, soit individuelle» soit simultanée. Dan^

VIII ÀtANT-^PlOPOS.

le cours de cet écrit, nous présenterons de nouveaux dé* veloppements sur cet important sujet.

En conséquence» à la condition qu'une opération, quoique inexécutable en Algèbre, inieryienne rationnellement dans les calculs, à la condition que les causes de cette intervention soient bien déterminées, que tout ce que ces causes autorisent ou défendent soit bien défini, il sera permis à notre intelligence de scruter dans tous ses détails ce que cette Intervention signifie en principe et de procéder à la détermination de ses effets.

A envisager l'Algèbre comme réduite aux seules ressources de la pluralité numérique, et par conséquent de l'unité indivisible, cette science abonde en opérations irréalisables. Dans cette hypothèse la plupart des fractions deviennent des impossibilités : il en est de même de l'extraction des racines. Or sera-ce à dire pour cela que toutes les combinaisons analytiques dans lesquelles figureront ces opérations devront d'ores et déjà être mises à l'index et que, irréalisables pour le nombre, elles le seront également pour toutes les autres quantités, à la mesure desquelles les lois et les procédés de l'Algèbre peuvent être appliqués?

11 n'est pas un géomètre qui voulût soutenir une pareille thèse; il n'en est pas un qui ne sache que, si les quantités étu* diées jouissent de certaines propriétés qui n'appartiennent pas au nombre, si, par exemple, les quantités possèdent le privilège d'être continues, alors cet état d'incompréhension que fait naître dans notre esprit l'impraticabilité d'une division ou d'une extraction de racine disparaît entièrement; il se transforme alors en une perception très-nette, tant en théorie qu'en pratique, de ce qu'il faudra faire sur cette quantité pour obtenir le résultat indique par les formules, malgré les impossibilités qui figurent dans celles-^ci, lorsqu'on les