X AVANT-PROPOS

Partie. Le lecteur trouvera dans ces écrits tous les développements sur lesquels s'appuie la légitimité de cette assimilation^ disons mieux de cette équivalence.

Mais, dans ce premier travail, nous ne nous sommes exclusivement occupé que des directions qui sont toutes situées sur un même plan. Notre intention est aujourd'hui d'élargir la question, de lui faire acquérir toute la généralité dont elle est susceptible, d'étudier, en un mot, les directions dans l'espace, et de poser ainsi les bases des équivalences qui existent entre l'Algèbre et la Géométrie tout entière.

Disons cependant que, si nous nous en étions tenu à certains principes, depuis longtemps accrédités dans la Science, nous aurions été arrêté dès l'abord, et nous aurions dû re* noncer à notre entreprise.

Pour ceux, en effet, qui admettent et proclament que toute

expression imaginaire, quelle qu'elle soit, est toujours réductible à la forme simple À -h B y^— i, ce serait folie que dé rechercher dans le domaine de l'Algèbre des formules susceptibles de représenter autre chose que les directions sur le plan; car, si Ton prétendait que de telles formules existent, on objecterait que, en vertu du principe ci-dessus, ces formules peuvent être ramenées à la forme A -*- B v^— i ou à son équivalente p(cosa + v^— I sina), qui est et ne peut être autre chose que la longueur p dirigée suivant l'angle a et dans le plan même de cet angle.

Heureusement nous nous sommes toujours tenu en déûance contre l'exclusivisme du principe en question, par ce motif que toutes les démonstrations qu'on a essayé d'en donner reposent sur l'hypothèse complètement gratuite, que les formules établies sur la considération que les quantités qui y figurent sont réelles continuent d'être applicables aux cas où ces quantités deviennent imaginaires, soit que ces quantités rem-

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plissent la fonction de multiplicateurs ou d'exposants, soit qu'on les introduise sous les indices trigonométriques ou logarithmiques, soit même qu'on les considère comme représentant certains ordres de différentiation ou d'intégration. Or, comme il serait déraisonnable d'attribuer un degré de certitude quelconque à des conséquences purement déduites d'une hypothèse que rien ne justifie, nous n'avons jamais cessé, pour notre part, de considérer comme non avenu le principe de la réductibilité de toutes les formes imaginaires en une seule.

Mais nous avons fait plus : déjà, dans notre première publication, nous avions signalé les nombreuses contradictions qui résultent de ce principe. Nous revenons sur ce sujet dans la présente étude avec une nouvelle insistance, et il nous semble que, à la suite de la discussion approfondie à laquelle nous nous sommes livré, la question peut être considérée aujourd'hui comme souverainement jugée. Elle le serait, en effet, si les hommes savaient se résigner à se prononcer en dehors du cercle de leurs habitudes et des entraînements sincères, je le veux bien, mais irréfléchis, du parti pris. Heureusement les droits de la vérité sont imprescriptibles; sachons donc attendre, et leur heure viendra.

Il y a déjà fort longtemps que les bases du travail que nous adressons aujourd'hui au public ont été élaborées et arrêtées. Dans une Lettre du lo juillet 1847, adressée à Arago, alors Secrétaire perpétuel, et communiquée par lui à l'Académie des Sciences, nous avons fait connaître l'équivalent algébrique de la double perpendicularité de l'axe des z par rapport aux axes des X et des/, et celui d'une direction située d'une manière quelconque dans l'espace. Or, après un si long temps écoulé, nous n'avons rien à retirer de ce que nous avons dit alors sur ces deux points fondamentaux de notre théorie.

On ne nous accusera donc pas d'impatience; nous espérons