LES DROITES, SOIT POUR LES ARCS

Sommaire. — I. Coup-d'œil rétrospectif sur les directions planes. — II. Détermination de TéquÎTalent algébrique de la double perpendicularité. — III. Nécîessité d'explications subsidiaires. — IV. L'impossibilité d'exécuter certaines opérations algébriques ne fait pas obstacle à ce qu'elles interviennent dans nos supputations. — V. Obserrations sur les exposants réels et imaginaires de ^ — I. — YI. De l'hypothèse des perpendicularités de divers ordres et de leur représentation algébrique. — Vil. Objection déduite de ce

que y — i " est réel. — VIII. Des arcs positifs, négatifs et perpendiculaires, de leur représentation et de celle des directions qui leur correspondent, r- IX. Nécessité de bien distinguer, dans les lignes trigonométriques des arcs, ce qui concerne les longueurs de ce qui concerne les directions. — X. Le point de départ de la mesure des arcs est celui où l'axe des x rencontre la sphère de rayon unité ayant son centre à l'origine. Tous les arcs de grand cercle issus de cette origine ont leur cosinus réel. — XI. Discussion sur

les erreurs commises au sujet de l'évaluation algébrique de cos(j:^— i) et

de sin(jr^ — i). — XII. Réfutation des assertions émises sur la réalité de

y~-i . — XIII. Le point de départ de ces assertions, la formule d'EuIer,

n'est qu'une hypothèse, et cette hypothèse n'est pas exacte. — XIV. Discussion à ce sujet. — XV. Examen de cette opinion, que la formule d'Euler serait non pas un théorème, mais une définition.

Ainsi que nous l'avons expliqué dans rAvant-Propos» nous nous sommes borné, dans nos précédents Ouvrages, à considérer Tattribut de direction dans l'hypothèse restreinte où les figures étudiées étaient contenues en entier dans un seul et même plan (*].

On conçoit cependant que, au point de vue directif, la question est susceptible d'être généralisée.

Car de ce que nous possédons la conception géométrique de la direction dans l'espace, de ce que nous avons des moyens sûrs d'indiquer et de préciser une direction, de manière à la rendre distincte de toute autre, il est naturel de se demander s'il n'existerait pas en Algèbre des expressions susceptibles d'être la représentation de ces directions, c'est-à-dire des expressions qui, par les opérations algébriques qui y figureraient, deviendraient les véritables équivalents des procédés et des moyens à l'aide desquels nous parvenons en Géométrie à réaliser le tracé d'une direction.

C'est à ce nouveau point de vue que nous nous proposons maintenant d'étudier la question, de rechercher si elle est possible ou si elle né Test pas, et, dans le cas où elle le serait, de déterminer la nature et le nombre des opérations qui doivent figurer dans ces expressions, aussi bien que les rapports mutuels dans lesquels elles doivent s'y trouver.

Mais, afin de nous mieux diriger dans cette recherche, rappelons succinctement ce que nous avons fait lorsqu'il a été question des directions dans le plan.

(*) Des formes imagi!<aire8 en Algêbbe :

Première Partie. — Interprétation de ces formes en abstrait et en concret. 1n-8; Paris, 1869.

Deuxième Partie. — Intervention de ces formes dans les équations des cinq premiers degrés. Grand in-8 lithographie; Paris, 1873.

Après avoir remarqué qu'une droite, passant par un point fixe du plan, peut prendre diverses positions autour de ce point, nous avons constaté d'abord que, ayant fait choix d'une quelconque de ces directions pour point de départ, la con-struction d'un premier angle droit nous a conduit à la direction perpendiculaire à celle de base ; puis qu'un deuxième angle droit, construit à la suite du précédent, nous a fait passer à la direction inverse de la première, soit à •— i ; qu'un troisième angle droit, venant à la suite des deux autres, fait aboutir au négatif de la perpendiculaire; qu'enfin, avec un quatrième angle droit, on est ramené exactement sur la direction primitive, et Ton peut ensuite reproduire indéfiniment la même série.

Ces faits géométriques ainsi constatés, nous nous sommes demandé s'il n'existerait pas en Algèbre une expression ;r jouissant de la propriété que ses diverses puissances reproduiraient exactement les mêmes résultats que cette succession d'angles droits, c'est-à-dire des puissances telles qu'on eût

Or on reconnaît sans peine que c'est là la propriété caractéristique de ^—T, de sorte que l'opération ^-- 1, irréalisable en Algèbre avec la seule idée de nombre, représente celle qiil, en Géométrie, consiste à faire un angle droit; elle devient ainsi l'équivalent de la perpendicularité, et ses diverses puissances sont tout à fait aptes à représenter cette perpendicularité dans toutes ses répétitions successives*

Ce premier fait établi^ nous avons démontré sans peine que

cosa + ^—i sina doit représenter la direction d'une droite qui fait avec celle de base un angle a, et ensuite que le binôme a + frv^— I, qui peut se mettre sous la forme

r(cos«-t- \l—i sina),

représentera cumulativement une longueur r dirigée suivant l'angle a, de sorte que, dans cette expression, r figure Télé*

ment continu et cosa -f- ^^sin« l'élément directif.

Nous avons ensuite fait remarquer que, la base de ces recherches étant que Vassimilation entre les procédés de l'Algèbre et ceux de la Géométrie se fait par les puissances dans la première, alors que les angles ou arcs marchent par voie d'addition dans la seconde, il est nécessaire que l'expression algébrique des directions par rapport aux arcs puisse se faire par une exponentielle de ces arcs.

Et, en effet, puisqu'on a identiquement

cos - -4- yf^ sîn - = sf^y

il viendra, en extrayant la racine - y

cosi -h v^— I sini = %P^i , et, en élevant à la puissance a,

cosa-f- ^— I sîna = ^—^ •

On peut d'ailleurs donner au second membre les formes

successives (— i )*, (-f-i }»* et plus généralement (4- 1 )•**, k étant un nombre entier quelconque.

Ces principes rappelés, passons à l'étude des directions dans l'espace.

Pour simplifier à la fois le discours et les conceptions, appelons la ligne de base axe des x, sa perpendiculaire axe desy^ ainsi qu'on a coutume de le faire, et donnons le nom d'axe des z à une direction perpendiculaire aux deux précédentes. La question est de savoir si ce dernier axe, résultat d'une double perpendlcularité, peut, au point de vue de sa direction, avoir une représentation algébrique.

Nous devrons d'abord observer que. d'après ce qui a été

établi pour les directions planes» les perpendiculaires à l'axe des X, dans le plan des xy-y ont pour représentant algébrique v^— I.

Nous remarquerons» en second lieu, que» dans ce même plan» une direction quelconque» faisant un angle a avec Taxe

des or, est représentée par cosa -4- sf^ sina, et que» réciproquement» il n'existe pas un cas particulier de cette forme qui ne convienne à une direction, tracée sur ce plan. II résulte de là que cette sorte d'expression est impropre à nous faire sortir du plan, et par suite à nous conduire vers le but que nous nous proposons d'atteindre. Il faut donc chercher autre chose» et ce quelque chose doit être franchement distinct de la forme ci-dessus.

D'ailleurs» puisque» dans le cas précédent» celui de la perpendicularité simple, c'est par les puissances qUe l'assimilation avec l'Algèbre s'est faite» on est conduit à penser, et l'on est même forcé d'admettre que ce ne saurait être en dehors des puissances qu'on doit chercher ce qui peut concerner la représentation algébrique de la perpendicularité dans l'espace; car, pour tant que celle-ci soit dans l'espace, elle n'en est pas moins dans le plan des yz^ par exemple» et il faut bien que» dans ce plan, nous puissions retrouver les lois qui régissent les perpendicularités» lois qui, nous le répétons, consistent en ce que l'assimilation avec l'Algèbre se fait par les puissances.

Seulement, tandis que, dans le plan des orj, c'est en partant d'une ligne de base sur laquelle se comptent les directions

I et — 1 que nous sommes arrivé à celle des 7*, dans le

plan des yZy nous devons partir des directions -f-v^—i et — ^ — I pour arriver à celle des js, et c'est par cette nouvelle voie que nous devons tâcher de trouver le lien susceptible

de rattacher -4- ^— i à — v^^. Cette considération, jointe à la précédente, nous conduit à peu près nécessairement à écrire

que ce que nous cherchons doit être de la forme ^f^i , sous la condition toutefois que r ne sera pas réel; car, s'il l'était, nous resterions évidemment dans le plan des xy^ puisque toutes les puissances réelles de v^~i appartiennent a des di* rections situées dans ce plan.

Parvenu à ce point, et remarquant qu'il s'agit de se renseigner sur la forme d'un exposant affectant ^— i, il devient apparent que nous serons bien plus facilement conduit à trou*

ver ce que nous cherchons, si le point de départ y^— i et le point d'arrivée — V— i» si, disons-nous, ces deux extrêmes,

dont v^^^ est l'intermédiaire, sont eux-mêmes exprimés par

des puissances de ^—i; la comparaison doit alors devenir, pour ainsi dire, concluante par elle-même; cela est facile

pour V— I, que nous pouvons écrire v'^^ ; cela n'est pas aussi immédiat, mais n'est guéu*e plus difficile pour — y^— i,

qui est égal à \/— i .

Mais, au point de vue des puissances, que voyons-nous maintenant? Qu'une première perpendicularité sur l'axe des /

étant représentée par ^— i , la seconde perpendicularité le

sera par v^— i , et, puisque celle-ci doit nous conduire aux jr négatifs, il faudra que z soit tel que son carré devienne — i.

Or c'est encore là la propriété caractéristique de v^—i; d'où il suit que le représentant algébrique de l'axe des s doit être

On aura donc successivement, dans le plan des x^t savoir : Pour l'axe des z ^^^ ,

Pour les y négatifs . . v^— i = y'— i = — v'— i ,

Pour les z négatifs . . y — i = v^— i — — y/~ i »

Pour les j^ positifs.. . v^— i =v^--T»

et ainsi de suite.

Telle est la série de déductions qui, depuis fort longtemps, nous a conduit à la constatation de ces résultats, qui sont la clef de la représentation algébrique des directions dans l'espace. Si nous n'avons pas publié nos idée$ à cet égard, c'est que nous rencontrions tant de répulsion, ou d'indifférence, si

l'on veut, à accueillir ce qui se rapporte aux directions dans un plan, que nous nous sommes toujours demandé si nous pouvions espérer d'obtenir, pour ce qui est plus complexe» une attention qu'on semblait peu disposé à accorder à des conceptions beaucoup plus simples.

Il se peut aussi que, pour ce qui s'applique à ce sujet, comme pour tant d'autres idées, le moment de la maturité ne fût pas encore venu. Il nous a donc paru sage d'attendre, espérant toujours en des temps meilleurs. Peut-être même attendrions-nous encore, malgré les années qui nous pressent, si . le mouvement intellectuel qui se fait aujourd'hui ne nous avait fait craindre que l'initiative vint de l'étranger, et que notre pays perdît ainsi le bénéfice de s'être fait entendre le premier.

Avant d'aller plus loin dans ces recherches, il n'est pas inutile de présenter quelques observations subsidiaires.

C'est surtout lorsque l'ordre d'Idées sur lesquelles est fondée une théorie présente un caractère non équivoque de nouveauté, et même d'étrangeté pour un grand nombre d'esprits, lorsque» par conséquent, ces esprits sont naturellement disposés à ne l'admettre qu'à très-bon escient et sous la réserve des preuves les 'plus solides, c'est surtout alors, disons-nous, qu'il importe de ne pas se montrer avare d'explications, et de faire voir que quelque nouveaux, quelque étranges que paraissent au premier abord les faits mathématiques qui servent de base à cette théorie, ils n'en sont pas moins en liaison intime, et de tout point rationnels, avec les principes fondamentaux généralement prouvés et reconnus comme d'incontestables vérités dans la science à laquelle la théorie en question doit se rattacher.

La nécessité de ces explications devient encore plus grande lorsque, à la suitedes faits exceptionnels révélés par la nouvelle théorie, et restés inaperçus jusqu'alors, viennent se placer des conséquences en contradiction manifeste avec certaines propositions qui ne sont qu'accessoires, il est vrai, qui, en

outre» ne sont établies que par voie d'analogie et non sur des raisonnements sérieux, mais qui, s'appuyant sur des croyances à peu près générales, exigent, pour être extirpées, un insistance toute particulière.

C'est par ces divers motifs que nous avons cru devoir présenter les explications de détail qui vont suivre.

Qu'il nous soit d'abord permis de reproduire ici certaines idées déjà exposées, il est vrai, dans notre Ouvrage sur les principes;»qui régissent les formes imaginaires, mais sur lesquelles il y a intérêt à revenir toutes les fois que de nouvelles espèces algébriques viennent se présenter dans nos recherches.

Quelle que soit l'impossibilité dans laquelle nous nous trouvons d'attacher une idée de réalisation à l'opération v^^, lorsqu'il s'agit de l'appliquer à la seule considération de l'unité numérique ou d'une collection quelconque de ces unités, c'est-à-dire au nombre, il ne nous est pas toutefois interdît de comprendre que, même- dans ce cas, il est tels usages de cette opération dont nous pourrons avoir l'intelligence dans les calculs et dont nous pourrons tirer proQt, pourvu que ces usages ne s'écartent ni des règles que l'Algèbre impose au

calculateur, ni de la définition mathématique de ^— -i.

Il n'est pas inutile de présenter à ce sujet quelques observations, et de faire voir qu'à tout instant, sans hésitation, c'est précisément ainsi que nous en agissons pour une foule d'opérations, différentes sans doute de celle représentée par ^^, mais qui, par rapport au nombre, ne sont pas moins impossibles qu'elle.

Supposons, par exemple, qu'on mette à notre disposition i3 boules et 3 urnes, qu'on nous propose de distribuer ces boules entre les urnes, de manière que chacune de cellesci contienne le même nombre de boules, et qu'on demande quel doit être ce nombre.

Pour résoudre cette question, il faudra diviser i3 par 3, el.

parconséqueDty -^ sera le nombre déboules demandé; mais»

i3 comme -^ est une opération impossible avec là seule idée de

nombre» nous nous trouvons en présence d'un empêchement

absolu.

On change alors le nombre de boules» on le porte à 20» et

Ton demande d'appliquer la même opération à cette nouvelle

donnée. Ici encore nous nous trouvons en présence d'un

nouvel empêchement, parce que le nombre de -^ boules de-

mandé comporte une opération non moins impossible à réaliser sur le nombre que la précédente.

Voilà donc deux impossibilités numériques -9' ^^ T ^^^"

constatées.

Est-ce à dire pour cela que nous devrons nous abstenir à tout jamais de faire intervenir dans les calculs ces impossibilités» et que, par cela seul qu'elles sont irréalisables par ellesmêmes, nous devrons nous interdire d'en faire usage ?

Il n'est pas un calculateur qui ne s'empresse de repousser une telle conclusion ; car l'admettre» ce serait s'interdire de raisonner sur les inconnues des problèmes» puisque, lorsqu'on cherche à mettre ceux-ci en équation, on ne sait pas encore si les inconnues représenteront des choses possibles ou impossibles.

Si maintenant» dans l'espèce actuelle, on nous demande quel

sera le nombre uniforme de boules que contiendra chaque

urne après qu'on y aura mis le tiers de l'un et de l'autre tas,

nous n'hésiterons pas à dire» quelle que soit l'impossibilité

respective de -^ et de -^9 que le nombre demandé doit être

la somme de ces deux impossibilités» c'est-à-dire "t "^ X ^^

-^9 et que par conséquent ce nombre est égal au.

On voit, par cet exemple fort simple, que les impossibilités algébriques, à la condition toutefois qu'elles comporteront une définition mathématique» peuvent devenir d'utiles in-*

strumenls de calcul ; que sU considérées en elles-mêmes et indépendamment de Vusage qu'on en pourra faire, elles constituent des empêchements, ces empêchements ne sauraient être considérés comme absolus. Cela tient, ainsi que nous venons de le voir dans l'exemple cité, à ce que ces empêchements qui résultent d'opérations actuellement inexécutables peuvent, suivant la nature des calculs autorisés auxquels on les soumet ultérieurement, être dénoués par les opérations nouvelles détruisant les obstacles introduits par les premières et nous ramenant ainsi dans le domaine des choses possibles. Sans doute cela n'arrivera pas toujours: ce sont là des effets qui dépendront évidemment de la nature particulière de ces nouvelles opérations ; car quelquefois celles-ci ne feront qu'ajouter un empêchement de plus à Tempêchement initial, tandis que d'autres fois, au contraire, elles feront disparaître celui-ci. Nous venons de présenter un exemple fort simple de ce dernier cas ; mais si, au lieu de porter à 20 la seconde collection de boules, nous l'avions constituée avec ig seulement»

alors, aux deux empêchements primitifs -^ et -^* nous aurions eu à en ajouter un troisième -^ -

En résumé, l'on voit qu'une expression rendue impossible par le fait d'une opération algébrique, inexécutable sur l'espèce dont on s'occupe, ne saurait, par cela même, être frappée d'interdiction pour le calcul, c'est-à-dire pour d'autres opérations ; parce que la nature de celles-ci peut être telle qu'elle entraîne l'annulation de l'opération productrice de l'empêchement initial, et, comme c'est là une chose que nous ne pouvons savoir d'avance, il n'y a rien que de rationnel à en faire l'essai.

Or ce que nous acceptons, ce que nous pratiquons à toai instant pour les empêchements résultant d'opérations que nous sommes convenus de considérer comme réelles, doit tout aussi bien s'appliquer à celle qu'il nous a plu d'appeler imaginaire^ parce que, comme les autres, celle-ci fait partie du domaine de l'Algèbre, parce que, comme elles, elle possède aussi sa définition mathématique.

Par conséquent, sous la condition toute naturelle d'obéir à ce qu'exige cette déûnilion, nous pouvons en faire un instrument de calcul et la soumettre à de nouvelles opérations, sous cette seule réserve, que l'usage de ces opérations sera conforme aux règles que rAlgèbre autorise et prescrit.

Cela posé, si la présence de ^— i dans a \f^ soumet le nombre a à une opération irréalisable et le place dans un état actuel d'impossibilité, cela n'empêcbera pas de comprendre

que le produit de a^—i par a ^— i, si on l'exécute confor-

mément à ce qu'exige la définition de y— i et aux règles qu'autorise l'Algèbre, me donnera pour résultat — a*, de telle sorte que, tout en reconnaissant que l'adjonction factorielle

de v^— I à a crée une véritable impossibilité numérique, cette adjonction n'en possède pas moins le privilège, au point de vue des lois algébriques, de changer le signe du calibre de a, propriété précieuse dans toutes les questions en grand nombre où ce n'est pas la racine elle-même, mais son carré qu'on a intérêt à connaître.

Nous pouvons en dire autant de l'opération qui consiste à

élever le nombre à la puissance imaginaire /^. Certes, je n'ai aucun moyen avec la simple conception de ce qu'est le

nombre d'interpréter l'opération a^"*; mais il est tel usage de cette expression, tout impossible qu'elle est, dont il me sera permis d'avoir la parfaite intelligence et de tirer profit dans certaines occasions. Ainsi, lorsque, dans une question quim'a conduit à chercher la valeur de cr, je constate que m est égal à ^— I , je me trouverai momentanément dans l'impossibilité de savoir quelle signification il faut attribuer à une telle expression; mais si, dans cette question, il arrive que ce n'est pas de or, mais de a^\ que je dois faire usage pour obtenir un certain résultat, l'impossibilité première, au point de vue de

cet usage, conduit à a^*^^' ou o"», et enfin à -» résultat parfaitement compréhensible, bien que a^"' ne le soit pas. Or c'est précisément là le problème que nous avons eu à

résoudre lorsque, des ^ positifs représentés par V— > » nous

«Tons voulu passer, par la voie de la perpendicularité des je» aux y négatifs représentés par -^=» c'est-à-dire de ^— i à

son inverse. Gela nous a conduit dans cette espèce, comme nous venons de le constater pour le cas général, à faire usage de l'exposant V— i, imaginaire il est vrai, mais dont le carré se dénoue en réel.

Peut-être s'étonnerait-on moins de tout ce que nous disons ici, si l'on voulait bien réfléchir que, dans maintes et maintes occasions, les choses de ce monde ne se passent pas autrement, soit au physique, soit au moral.

Certes, les progrès de l'humanité seraient fort loin de l'état d'avancement dans lequel ils se trouvent aujourd'hui, si les hommes de génie qui nous ont précédés n'avaient pu raisonner et agir que sur les choses dont la conception nette et entière leur aurait été préalablement acquise.

Est-ce que Newton avait conscience de ce que doit être ce qu'il a appelé Vaitraction lorsqu'il formulait des lois aussi régulières, aussi positives en fait que l'attraction est incertaine dans son essence 7

Qui de nous pourrait affirmer qu'il possède des notions complètes et précises sur la constitution intime de la chaleur, de la lumière, de l'électricité, de toutes les forces en général? Et cependant ne faisons-nous pas un usage journalier de toutes ces choses, quelque impénétrable que demeure leur essence, et ne sommes-nous pas parvenus à réglementer en grande partie les conditions de cet usage ?

Au point de vue de l'équilibre vital, l'influence du moral sur le physique est indéniable ; mais ce qu'est cette influence par elle-même nous l'ignorons complètement. Cela ne nous empêche pas cependant de chercher à la diriger, soit pour la combattre quelquefois, soit dans d'autres circonstances pour en tirer profit.

Enfin qui pourrait expliquer ce que sont, dans leur nature propre, les sentiments de sympathie qui rapprochent les personnes et ceux d'antipathie qui les éloignent, sentiments qui, parvenus à leur paroxysme, et que nous appelons alors Vamour ou la haine, sont les mobiles les plus déterminants,

les plus énergiques des actes de la vie humaine 7 Personne assurément ne pourra mettre à jour l'essence de ces sentiments, et cependant ce sujet, plus que tout autre peut-être, est et sera l'éternel objet de nos plus'profondes méditations.

On le voit donc, l'ignorance dans laquelle nous pouvons être des causes premières n'est pas un obstacle à l'exercice du raisonnement. Cet exercice est un droit naturel que le don de l'intelligence assure à l'homme et en vertu duquel, au milieu des plus profonds mystères, viennent resplendir de ma- ' gniflques clartés; cet exercice se pratique, quelle que puisse être l'essence même des causes, d'abord par la connaissance des effets nécessaires et immédiats qu'elles produisent, et ensuite par l'étude des conséquences diverses et non moins nécessaires qui découlant de ces faits primitifs.

Qu'importe au navigateur d'être édifié sur la cause originelle du vent qui le pousse et sur l'essence de cette force? Il lui suffit de connaître ses directions successives pour interroger son intelligence sur les usages incessants qu'il en doit faire et arriver ainsi au but qu'il se propose d'atteindre.

Revenant maintenant à l'objet spécial qui nous occupe, nous pourrons affirmer que les impossibilités, les incompréhensions algébriques, qu'elles soient réelles ou imaginaires, mais sous la condition qu'elles seront mathématiquement définies, c'est-à-dire que leurs effets dans les calculs seront bien précisés, que ces impossibilités, disons-nous, seront dans tous les cas de précieux instruments de recherches, et qu'avant de les condamner, dès leur apparition, comme des empêchements absolus, il faut, dans chaque question, s'enquérir de l'usage qu'on en doit faire, car, suivant la nature de cet usage, l'empêchement pourra ou. persister ou complètement disparaître.

En un mot, la présence d'une impossibilité, dans le cours des calculs auxquels une question donne lieu, ne préjuge rien sur la solubilité ou l'insolubilité finale de celle-ci. Tant que les opérations voulues par l'état de la question ne sont pas consommées, il n'est pas permis de se prononcer.

Revenons maintenant avec quelques détails sur cette faculté

remarquable que possède ^— i, soit par ses puissances réelles, soit par son emploi en qualité d'exposant, de représenter les perpendicularités de toute sorte et leurs évolutions, et de consacrer ainsi entre TAlgèbre et la Géométrie le principe d'une assimilation beaucoup plus complète, beaucoup plus étendue que celle qu'on a entrevue jusqu'à présent.

Lorsque dans la recherche à laquelle nous venons de pro- * céder pour la perpendicularité dans l'espace, nous avons été conduit à reconnaître que ce qui fait l'objet de nos investiga-

mm m T

tions doit être représenté par y — i , nous avons eu soin d'appeler l'attention du lecteur sur cette circonstance que, sous peine de rester confiné dans le plan des xy^ il fallait que ? ne fût pas réel» puisque, dans le cas de la réalité de r, toute expression de la forme ^— i appartient nécessairement à une direction située sur ce plan.

Par exemple, parce que — v^— i est égal à v^— i , nous n'au-

— 1« rions pas pu dire, après avoir constaté que ^—i doit nous

conduire à — V— ■ » que l'on doit avoir 7^= 3, d'où t = y 3» Sans doute ce résultat est vrai ; il exprime en effet que la direction — ' v^ — I qui correspond à l'angle de 270 degrés peut s'obtenir par celle qui résulte de la répétition de l'angle de i35 degrés; mais cela ayant lieu et ne pouvant avoir lieu que dans le plan des xjr ne nous aurait rien appris de plus que ce que nous savons déjà. Une pareille solution ne pouvait donc nous convenir, puisqu'elle nous maintient dans un plan duquel nous cherchons à sortir. Il nous en fallait une seconde tout à fait distincte de la première et susceptible d'exprimer avec des formes nouvelles des faits géométriques nouveaux. Si cette solution n'avait pas existé, dans les conditions pressenties et ci-dessus exprimées, nous aurions dû renoncer à l'espoir de donner à la perpendicularité des z une représentation algébrique. Or ce qui est vraiment digne d'intérêt, c'est

que non-seulement cette solution existe» mais encore que c'est dans l'expression qui déjà nous a permis de représenter le premier ordre de perpendicularité que nous trouvons les moyens d'obtenir l'équivalent algébrique de la perpendicularité du second ordre.

Nous devons d'ailleurs placer ici une remarque, sans laquelle notre argumentation pourrait paraître incomplète.

Au point de vue géométrique, il y a une infinité de manières d'aller dans l'espace des y positifs aux y né^^tifs, en faisant deux angles droits ; car tonte ligne qui, partant de Torigine, est située dansjle plan des x%^ est perpendiculaire à l'axe des y et indique, par conséquent, une des voies qu'on peut suivre pour parvenir de ■+- / à — / par une double perpendicularité. Or il importe de faire voir que, sinon explicitement, du moins implicitement, c'est bien à celle de ces lignes qui appartient au plan des yz^ c'est-à-dire à l'axe des z, que conviennent nos raisonnements.

En effet, nous venons de rappeler que toutes les solutions possibles de la question qui nous occupe sont des lignes partant de l'origine et situées dans le plan de xz. Elles constituent donc, dans ce plan, l'ensemble des directions qu'on peut y tracer autour du point 0. Or, de ce qui a été établi pour l'expression des directions dans un plan, il résulte que si, dans celui des xz^ on prend l'axe des x comme ligne de

base et dans l'hypothèse où sj—\ représente la perpendicularité de Taxe des ^, la direction d'une ligne quelconque, fai* sant avec celle de base un angle p, sera représentée à son tour par une expression de la forme

cos^H- V^ sin(3.

Or cellea-ci ne jouissent de la propriété de devenir perpendiculaires aux Xj et d'être par conséquent l'axe des z, que lorsque p est égal à jin angle droit, et comme, dans ce cas,

l'expression ci-dessus se réduit à V'^\ on voit que c'est bien en effet à la direction même de Taxe des z que nos rai sonnemenls ont été appliqués.

Cette souplesse d'assimilation avec les perpendicularités

géométriques, que possèdent v^— i et ses puissances réelles et imaginaires, ne saurait passer inaperçue. Quel que soit Taccueil qu'on voudra lui faire dans le présent, il ne nous paraît pas possible qu'elle n'ait pas un jour raison de l'antipathie de certains préjugés. Elle établit entre TAlgèbre et la Géométrie une liaison trop intime pour que lot ou tard un fait d'une si haute importance n'occupe pas dans la Science une place qui lui est nécessairement réservée.

Nous pouvons même dès à présent faire un pas de plus dans cet ordre de considérations. Sans approfondir complètement ce sujet, nous lui réserverons quelques explications destinées à en faire bien comprendre la portée.

Si, dans l'ordre naturel géométrique, il nous est interdit d'aller au delà de trois axes perpendiculaires entre eux, rien n'empêche l'esprit d'avoir la conception d'une succession de perpendicularités, enchaînées les unes aux autres par des lois de même forme et de même nature que celles qui lient les premières entre elles. Consacrons quelques explications au développement de cette pensée.

Nous avons vu que pour une seule droite, axe des jr^ perpendiculaire à une autre, axe des x, le symbole algébrique de la perpendîcularité est caractérisé par v^— i, expression qui jouit de cette propriété, que sa répétition, par voie de multiplication, produit le résultat — i, de même que la double répétition de l'angle droit, à partir d'une direction, conduit à la direction inverse.

Pour une nouvelle droite, axe des z^ perpendiculaire à

deux autres déjà caractérisées chacune par +i et ^— i, le symbole de la double perpendîcularité ne se borne pas à ^—i% mais à la puissance ^— i de cette expression. Or ce sym-

bole ^— I doit jouir de cette propriété que, par rapport i la caractérisation des 7*, déjà faite par V^^^> l'opération à l'aide

de laquelle on passe de v^^^ à v^^ * élani doublement répétée» doit conduire à l'expression — ^— t ; de même que la double répétition de l'angle droit» à partir de y et dans un plan perpendiculaire à x, conduit à la direction des x négatifs.

Cela posé, continuant, au point de vue abstractif, cette loi de transmission et de dépendance des perpendiculaires les unes par rapport aux autres» nous pouvons supposer une quatrième droite» axe de v, à la fois perpendiculaire aux trois précédentes et contenue avec l'axe des z dans un plan qui serait en même temps perpendiculaire aux y et aux x, sans toutefois se confondre ni avec l'une ni avec l'autre de ces coordonnées.

Or» dans ce plan des zi^, où déjà les z sont représentés

par ±v^— i^ par rapport aux x et aux 7, comment seront représentés les c par rapport aux z, et» par suite» par rapport aux autres coordonnées?

Nous nous dispenserons de répéter ici les raisonnements à l'aide desquels nous avons déjà établi, dans ce qui précède»

qu'il est impossible pour cela d'exécuter sur ^Z— 1 une modification de même nature que celles déjà introduites dans le cours de 'ces recherches, et d'élever» par conséquent, l'exposant ^— I à une puissance quelconque réelle. En agissant ainsi» nous ne sortirions pas de la représentation d'une direction à trois ordonnées, tandis que nous voulons nous élever à un ordre supérieur, c'est-à-dire à la direction à quatre ordonnées pour laquelle, ou il n'existera pas de forme d'écriture possible» ou il existera une forme nouvelle nécessairement distincte des précédentes.

Cela posé, et sans de plus amples explications» qui ne seraient qu'une répétition de ce qui a été déjà dit, on sera naturellement conduit, pour l'essai qu'on se propose, à faire

usage du symbole [^^] ' complètement différent des précédents si T n'est pas réel.

Admettons» en conséquence, que le symbole [v^— i ] représente, dans les conditions ci-dessus énoncées, la direction

des ordonnées v perpendiculaires aux z et en même temps aux X et aux/.

Si donc, dans le plan des zvy pour passer de 2 à son angle

droit ou à Vy il faut dans ^— i élever à la puissance r l'ex*

posant ^~S on en conclura que, pour passer ensuite de v a son angle droit» il faudra une seconde fois élever cet exposant

à la même puissance t, ce qui donne [y^— i] . Or, comme

après cette double perpendicularité nous tombons sur les z

^ ^/ziî

négatifs représentés par — \i — i , il faudra, pour qu'il y ail

accord entre TÀlgèbre et notre conception, qu'on ait

mais, parce que — y^— i est égal à y^— i , le second membre devient sj—i . Égalant alors les exposants, il vient

et il s'agira maintenant de trouver la valeur de r qui satisfait à cette condition.

Or on reconnaîtra facilement que celle-ci est l'exacte re* production de celle que nous avons déjà obtenue pour la perpendicularité des 2, et que, par suite, elle donnera comme elle

pour T la valeur v'— 1 .

Concluons donc que, si trois perpendlcularités successives et distinctes :r, j, z, v par rapport à la direction primitive desx étaient possibles en Géométrie, conHne le sont les deux / et z, et si la troisième v obéissait au même ordre de conditions qui régit les premières, la représentation algébrique de

cette dernière s'obtiendrait par l'expression v^—i * ;

Que, si à cette troisième perpendicularité on voulait en ajouter une quatrième que nous appellerons celle de l'axe des u, sans entrer dans d'inutiles répétitions, nous prendrons

immédiatement, pour représenter la perpendicularité de cet

ordre, l'expression [si— i j^ ' , forme qui sera distincte des précédentes si r n'est pas réel. Or, si ce premier angle droit des u sur les v est ainsi exprimé, celui qu'on fera à la suite dans le plan des uvy et qui conduit aux i^ négatifs, le sera

par [v^— I j ; et, comme les v négatifs sont représentés

par [-— ^f—î] , il viendra

mais, — v^— I qui figure dans le second membre étant égal

à yj— I , cette équation se transforme comme suit :

[si—^y- = w-

Les racines étant maintenant égales, il faudra que les exposants le soient, ce qui donne

Or on reconnaît là la condition qui a donné r pour le cas de la perpendicularité du troisième ordre, et de laquelle on a

déduit T = dbv^—i.

Il est évident que des raisonnements tout pareils s'appliqueraient mot pour mot aux perpendicularités des 5% 6*, 7* ordre, et en général d'un ordre quelconque.

On ne saurait, ce nous semble, prendre connaissance de ces résultats sans être frappé de quelque étonnement. N'est-il pas surprenant, en effet, que dans ces formes énigmatiques de l'Algèbre qui se sont introduites dans la science du calcul, à notre insu pour ainsi dire, comme malgré nous, et sans que nous ayons su d'abord en saisir ni rintelllgence ni les usages, n'est-il pas surprenant, disons-nous, que ce soit précisément dans ces formes mêmes que se trouvent les moyens de faire

passer la science de l'étendue tout entière dans le domaine des combinaisons analytiques; de telle sorte qu'à l'aide de ces combinaisons on arrive à connaître les propriétés d'un ensemble de lignes, d'angles et de plans aussi exactement, mieux peut-être, que si on tes suivait du regard dans leurs détails lés plus compliqués? Notre étonnement ne redoublet-ii pas encore lorsque nous reconnaissons que, dans l'entière série de ces formes, deux seulement sufQsent pour étudier et expliquer toutes les questions que notre géométrie terrestre peut soumettre à la sagacité de notre intelligence, et qu'il en est une foule d'autres, déjà explorées, toutes préparées d'avance, sur le sens et les propriétés desquelles nous sommes bien fixés, susceptibles de s'appliquer, dès à présent, non pas à une géométrie de trois dimensions seulement, mais à une science inCniment plus générale dont cette géométrie ne serait qu'un infime échantillon, et qui, constituée comme elle dans ses bases principales et dans les divers rapports qui lient ces bases entre elles, accepterait successivement des nombres de plus en plus considérables de dimensions, sans que rien limitât cette faculté d'introduire perpendicularités sur perpendicularilés, étendues sur étendues.

On le voit donc dès à présent, de nouvelles formes sont là toutes prêtes pour les besoins des futures combinaisons de l'esprit. Sans emploi aujourd'hui, quant à leurs applications diverses, peut-être seront-elles appelées demain à fournir leur contingent d'utilité. Bornées, au point de vue de la Géométrie, à leurs deux premiers échelons, qui pourrait prétendre que, dans les recherches scientifiques de l'avenir, et pour des quantités autres que les droites et leurs directions, elles ne seront pas utilisées avec tous leurs degrés et dans tout leur ensemble?

Celui qui le premier employa les mots élévation aux puissancesj pour désigner l'opération de calcul ainsi nommée, ne prévoyait pas sans doute combien un jour serait complète la justification de l'usage qu'il fit de ces expressions. Ainsi, tandis que c'est par une élévation aux puissances que se trouve caractérisée en Algèbre la double perpendicularité, nous voyons que ce serait par une nouvelle élévation aux puissances que

devrait Tètre la perpendicularité triple, et par de nouvelles et successives élévations aux puissances que les diverses perpendicularités succédant aux précédentes devraient Tétre à leur tour; de sorte qu'à mesure que l'esprit élève d'un degré ses conceptions relatives à la création de perpendicularités consécutives, le calcul, de son côté, élève à une puissance nouvelle l'exposant de la forme algébrique primitive de la perpendicularité.

Nous aurions maintenant à nous occuper d'une objection qui s'est déjà produite depuis longtemps et à laquelle la routine ne manquera pas de recourir encore au sujet de l'expres-

sion V— * • On a dit que cette expression ne constitue pas une forme algébrique nouvelle. 11 est admis en effet, par beaucoup d'esprits, que, sous quelque aspect que se présente une expression imaginaire, cette expression est toujours réductible à la forme simple a ■+■ ft/— î, et Ton parait croire de bonne foi que cette proposition est appuyée sur des raisonnements inattaquables. Plus particulièrement pour ^ — i , on prétend que non-seulement cette expression peut, comme toutes les autres, se ramener à la forme de l'imaginaire simple, mais que de plus, lorsqu'on cherche à opérer cette transfor-

mation, on arrive à ce résultat que y— i est réel et égal

à e"^"", ainsi qu'Euler Ta fait observer le premier.

Certes, si toutes ces choses étaient vraies, il faudrait prendre condamnation et renoncer à l'espoir de faire rentrer dans le doniaine de l'Algèbre la supputation des directions considérées dans l'espace. Les idées que nous poursuivons ici ne seraient que des utopies, et il ne nous resterait plus qu'à déposer immédiatement la plume.

Mais il s'en faut, à notre avis, que le principe de la réduc^ tibilité de toute expression imaginaire à la forme simple

a -{- b \f^ soit exact. Malheureusement ce principe, douteux

seulement pour quelques rares esprits, est admis par le plus grand nombre. Or ce n'est pas chose facile que de déraciner des croyances générales. Il semble qu'enlever une pierre à l'édiOce est un sacrilège, et qu'un tel acte ne peut amener pour conséquence que des ruines. On ne s'informe pas si la pierre est mauvaise, auquel cas la remplacer par une bonne serait plutôt un moyen de conserver que de détruire. Non, ce n'est pas ainsi qu'on procède» et, chose remarquable, dans la science prétendue exacte par excellence, on en est venu, dans certains cas, à se passer de justifications sufGsantes, à se contenter d'à peu près, à substituer à des convictions qui ne devraient avoir d'autre base que ce que permettent en droit rigoureux la science et la logique, à leur substituer, dis-je, des croyances faciles et complaisantes fondées sur les entraînements de simples aperçus analogiques, attribuant ainsi à de vagues présomptions toute la puissance des arguments vraiment mathématiques.

Il semble cependant que, l'éveil une fois donné, on devrait être bientôt en mesure de savoir ce qu'on doit admettre, ce qu*on doit rejeter. Une discussion sérieuse, qui ne serait ni longue ni difflcile, ne pourrait manquer de mettre promptement toute chose à sa place ; mais on ne veut pas discuter ; on le veut d'autant moins qu'on sent bien que le terrain sur lequel on est placé n'est pas très-solide, et, comme assez souvent on aime moins la science pour elle-même que pour soi, on n^est nullement empressé de s'exposer aux désagréments qui seraient la conséquence d'un échec. Dans cette situation, tout en dénigrant en particulier les idées nouvelles et les prenant en pitié, on a recours, vis-à-vis du public, au moyen si commode de l'abstention qui, outre qu'il ne compromet rien dans le présent, permet à un moment donné de se ranger très-honorablement sous la bannière du parti victorieux.

Mais n'insistons pas davantage sur ces agissements des défaillances humaines. Pour nous qui n'exploitons pas la science en vue d'intérêts autres que les siens, qui ne la cultivons que dans Tunique but de la recherche et de la connaissance de ce qui est vrai, nous nous consolerons en pensant que cette abstention même exprime sinon la crainte d'une défaite, du

moins un aveu d'impuissance, et qu'après lout, si nous nous sommes trompé, il ne nous en coûtera pas de faire amende honorable; si, au contraire, nos idées sont assises sur le terrain de la vérité, ii faudra bien tôt ou tard qu'elles finissent par avoir raison.

Nous nous bornons en ce moment à signaler l'objection, et voici les motifs qui nous déterminent à attendre pour la réfu-

ter. Comme le prétendu fait, que ^Z— i est réel, a pour origine l'emploi d'un arc imaginaire, comme cet emploi a été fait sans qu*on sût ce que peut être un pareil arc, sans qu'on se fût enquis de la véritable influence qu'il faut lui attribuer dans les calculs, comme enfln on a admis, sans se douter même de la nécessité d'une démonstration, que les formules établies pour des arcs réels sont de tout point applicables à des arcs imaginaires, il devient nécessaire de revenir sur les principes de toutes ces choses et de s'éclairer sur leur véritable portée. Il nous sera ensuite facile de combattre nonseulement l'erreur que nous signalons, mais encore plusieurs autres avec elle.

Reportons-nous à cet effet au rôle que jouent les arcs dans la flxation et la supputation des directions, et cherchons à nous rendre compte de l'extension d'idées qui doit nécessairement se produire en nous lorsque la perpendicularité et l'arc, sortant simultanément du plan dans lequel jusqu'ici nous les avons supposés confinés, viennent se placer dans de nouveaux rapports relativement à leurs précédentes situations.

Remarquons à ce sujet qu'ayant fait choix dans le plan d'une origine et d'une ligne de base, si l'on compte d'abord les arcs en s'élevant au-dessus de cette base et qu'on veuille ensuite les compter en dessous, il sera nécessaire, en vertu des lois qui régissent l'opposition dans le mode d'existence ou d'action, d'attribuer aux seconds le facteur — i si déjà on a appliqué aux premiers le facteur +i. Remarquons ensuite qu'ayant compté au-dessus de la ligne de base un premier

arc a, puis un deuxième arc a égal au précédent, puis encore un troisième, un quatrième et ainsi de suite ; les directions déterminées par les lignes qui, partant de l'origine, aboutissent à l'extrémité de ces arcs, auront successivement pour facteurs algébriques

(cosa -h v^^^ sina)\ (cosa -f- ^— I sina)\

(cosa-f- v~i sina)N

Il a été établi en outre que» si, au-dessous de la ligne de base, on porte à la suite les uns des autres une seconde série d'arcs égaux à a, les directions des lignes qui, partant de l'origine, aboutissent à l'extrémité des arcs ainsi déterminés, et que, d'après la remarque précédente, nous devons désigner par — a, — aa, — 3a, ... , ces directions, dis-je, auront suocessivement pour facteurs algébriques

(cosa-hV— ï sina)""', (cosa-hV— I sina)"', (cosa-f- v^— I sina)"*,

On peut donc dire que c'est toujours la même expression

cosa + v^— I sina qui figure dans ces facteurs, que cet(e expression en est la racine qui se trouve élevée aux puissances I, 2, 3,. .. pour les arcs qui sont comptés dans un sens». et aux puissances — i, — a, — 3,. . . pour ceux qui sont comptés en sens inverse.

Si maintenant on se demande ce qui adviendra pour des arcs qui, n'étant comptés ni sur l'une ni sur l'autre de ces directions, se trouveraient sur une circonférence dont le plan passant par la ligne de base serait perpendiculaire à celui de la circonférence précédente, la réponse à cette question se présentera pour ainsi dire instinctivement d'elle-même. En effet, si les arcs directs et inverses dont il a été d'abord parlé

sont respectivement désignés les uns par -h a, -h aa, -h 3a, ... , les autres par —a, —2a, — 3a,.- ., ne faut-ii pas, en vertu des lois qui relient la direction perpendiculaire aux deux précédentes, que les nouveauxarcs perpendiculaires aux premiers soient caractérisés par d= av^— i, ± aa V— i, ± 3a v^^, . . . , les signes -♦- et — i s'appliquant respectivement à ceux qui sont situés au-dessus du plan de base et à ceux qui sont situés au-dessous ; de telle sorte que, dans leurs rapports avec les directions situées sur ce dernier plan, les droites qui, partant de l'origine, aboutissent aux extrémités des nouveaux arcs auraient pour facteurs algébriques de leurs directions la même expression cosa -f- y^— i sina élevée à des puissances dont les degrés seraient ce qui reste de l'expression de l'arc après qu'on l'a divisée par a, c'est-à-dire les facteurs

(cosa -h v^—i sina) , (cosa -+-v/^--ï sina)* ^\

(cosa -+- v/—i sina) ,

Telles seraient donc, en ce qui concerne les équivalences algébriques, les expressions qui, dans le plan des xz perpendiculaire à celui des xy^ représenteraient la succession des directions aboutissant aux angles a, 2 a, 3 a, ... , situés dans ce plan, et Ton voit combien y paraît naturelle l'intervention de

Fexposant V— » •

Au point de vue où nous permet de nous placer la généralité des principes qui ont été précédemment exposés, il n'y a rien que de très-admissible dans une telle conclusion.

Il faut reconnaître toutefois qu'on ne saurait voir dans cette manière de procéder qu'une simple induction, d*accord sans doute avec les principes, et par cela même très-plausible, mais incomplète quant aux preuves, et présupposée plus encore que justifiée. Or nous nous méfions trop de ce qui n'est qu'analogie, et nous n'avons que trop souvent constaté que les inductions peuvent facilement conduire à Terreur pour que

nous consentions volontairement à rester dans cette situation.

Pour nous éclairer à ce sujet» considérons la sphère dont le centre est à Torigine et sur laquelle reste toujours fixé Tare a, dans le mouvement de rotation qu'on lui fait faire autour de son point de départ pour le transporter de la situation positive à la situation négative. Cet arc aura décrit un angle droit sur

la sphère pour passer de a à a^— i, et il en décrira tin second

pour passer de a/---i à — a. Lorsqu'il est dans la position a,

son extrémité corresponde la direction (cosa-j-^— i sina)**. Lorsqu'il occupe celle — <x^ son extrémité correspond à la direction (cosa -4- y^ — 1 sina)"'. La question sera maintenant de * savoir si, lorsqu'il est dans la position perpendiculaire, la direction déterminée par son extrémité mobile ne serait pas susceptible d'être algébriquement représentée par une certaine

puissance de la même expression cosa -h y — ' sina. Si nous

appelons r cette puissance, l'élévation de cosa h- y — i sina à cette puissance sera, en ce qui concerne les directions, l'opération algébrique équivalente à celle qui consiste en Géométrie à faire tourner d'un angle droit sur la sphère l'arc a; par conséquent, si j'augmente la rotation d'un angle droit, cela exigera algébriquement qu'on élève de nouveau à la puissance T, et par suite (cosa -+- ^— i sina)'* sera TexpressiOD de la direction correspondant à la position occupée alors par l'extrémité de l'arc. Or cette direction ayant aussi pour expression (cosa -+- ^— I sina)"', il sera nécessaire qu'il y ait égalité entre ces deux formes, et de là on déduira que la valeur de T doit être ^— i . Tout ce qui précède se trouve ainsi parfaitement justifié.

Examinons maintenant si cette nouvelle manière d'envisager la question se trouve en concordance avec le résultat de nos premières recherches, c'est-à-dire si la direction de Taxe des z, déduite de l'expression générale des directions dans le plan des xz^ nous donnera la même valeur que celle que nous avons directement déduite des considérations relatives au plan des rz. Or, puisque, dans les xz^ l'expression générale

~ 27 des directions est

(cosa 4- \/— I sina) ,

lorsque je supposerai que l'angle a devient égal à ~ ^ la direc-

tlon deviendra précisément celle de l'axe des z ; mais, parce que dans ce cas cosa est nul et sina est égal à l'unité, l'ex*

pression deviendra y— i , ainsi que nous l'avons précédemment constaté. Il y a donc complète concordance entre toutes ces choses; elles se contrôlent les unes par les autres, et il en résulte un ensemble de vues dont la rationnalité se trouve établie dans tous ses détails.

A ces premières considérations, qui s'appliquent directement aux arcs eux-mêmes, ajoutons-en d'autres qui auront pour objet de fixer le sens qu'on doit attribuer aux lignes trigonométriques de ces arcs considérés dans l'ensemble des situations qu'ils peuvent occuper^ et appelons l'attention du lecteur sur la nécessité qu'il y a de bien distinguer ce qui concerne les longueurs de ces lignes de ce qui concerne leurs directions. On verra que c'est à la confusion qui règne à cet égard dans la science qu'on doit attribuer les méprises consignées en grand nombre dans les ouvrages les plus estimés.

Si l'on convenait que les symboles qui servent à représenter les sinus et cosinus des arcs doivent s'appliquer à la fois à la longueur et à la direction de ces lignes trigonométriques, l'expression de la direction qui correspond à un angle a devrait s'écrire

cosa -f- sina,

celle relative à l'angle — x s'écrirait

cos(— a) -f- sinf— a),

celle enfin qui est déterminée par l'angle asj—i aurait pour représentant

cos(av" — i) H- sin(av^— i).

Mais, sous Tempire de cette convention^ on n'aurait évidem* ment aucun moyen de distinguer le cas où Ton voudrait s'occuper de la longueur seule de ces lignes de celui où il serait nécessaire d'avoir simultanément égard et à leur longueur et à leur direction.

On voit donc que, pour éviter toute confusion, il convient à tous égards de n'attribuer aux symboles des sinus et des cosinus d'autre fonction que celle de représenter en toute circonstance et exclusivement les longueurs de ces lignes, sauf, pour se rendre compte des directions, à déterminer par des recherches préalables et spéciales quels peuvent être, en Algèbre, les signes d'opérations représentatifs de ce second élément, dans les circonstances diverses où les arcs peuvent se trouver.

C'est ce que nous avons fait lorsqu'il s'est agi des directions dans le plan. Nous avons alors prouvé d'abord que les cosinus ont toujours pour signes directifs ±: i , ensuite que les signes

direclifs des sinus sont ± y^— i, et nous avons reconnu d'après

cela que l'expression ± cosa dz v/— i sina est susceptible de représenter la généralité des directions dans le plan.

Cette expression, dans laquelle sina et cosa doivent toujours être considérés comme représentant les longueurs effectives du sinus et du cosinus, se distingue ainsi nettement, par

l'intervention de ^—i, de celle cosa + sina dans laquelle les | longueurs sont seules mises en jeu, de sorte que toute confusion devient impossible ; puis, pour compléter dans chaque cas la détermination spéciale des éléments directifs, il n'y aura plus qu'à faire un choix convenable des signes -h et — accolés à chaque terme, choix qui dépendra du rang occupé par le cadran de la circonférence dans lequel l'extrémité de

l'arc se trouvera située. |

Si maintenant il s'agit de l'arc a v/— i situé dans la circonférence tracée sur le plan de xz, la formule générale, mais conventionnelle, des directions

cos(aV— i) -h sin(av^— i) ne pourra sortir du domaine de la convention et entrer dans

celui des supputations et des mesures algébriques, qu'à la condition de savoir préalablement quelles peuvent être les directions des sinus et cosinus du nouvel arc qu'on considère.

Or, en se conformant aux définitions générales de ces lignes, et h la manière dont on peut les obtenir géométriquement

pour l'arc perpendiculaire a v/— i , on reconnaît, d'une part, que le cosinus sera toujours sur la ligne de base, et que, tant en longueur qu'en direction, il sera exactement le même que celui des arcs +a et — a, supposés tracés sur la circonférence de base ; d'autre part, qu'il en sera aussi de même pour la longueur du sinus, mais que, quant à la direction, elle diffère essentiellement de celles ±^— i appartenant aux arcs rba. Il résulte des recherches cf-dessus exposées qu'elle doit

être représentée par ±^—1 suivant que l'arc s'élève audessus du plan de base ou qu'il est situé au-dessous. Dès lors, continuant de n'attribuer aux symboles des cosinus et des sinus que la fonction de représenter la longueur de ces lignes, nous pourrons dire que les directions correspondant aux arcs perpendiculaires au plan de base ont pour expression algébrique

rtcosaiy'— I sina,

forme complètement distincte des précédentes, avec laquelle toute confusion est rendue impossible et qu'un choix conve* nable des signes + et — spécialisera pour chacune des positions que l'extrémité de l'arc asf^ pourra occuper sur sa circonférence, soit au-dessus, soit au-dessous du plan de base. Ces premières constatations ainsi établies, entrons plus avant dans le détail des faits qui en sont les conséquences nécessaires.

Les lois de la Géométrie nous enseignent que, si l'on ne sort pas d*un même plan, le cosinus ne change ni de direction ni de longueur lorsque d'un arc positif on passe au même arc négatif, que par conséquent, lorsqu'on fait usage de

cette sorte de fonction, il est nécessaire d'admettre l'égalité cosa = cos(-^aj. Or les mêmes lois nous apprennent qu'il en est encore ainsi pour les arcs perpendiculaires aux premiers. Nous sommes donc contraint d'ajouter un troisième terme à l'égalité précédente et d'écrire qu'on a

cosa = cos(— a) = cos(diav''~i);

de sorte qu'il faudra ou renoncer à Introduire en Algèbre le calcul des fonctions trigonométriques» ou se soumettre à la condition de considérer comme égales à tous les points de vue, tant pour le continu que pour le directif, les expressions

cos(zha), cos{±ai/^).

Agir autrement ce serait contrevenir aux lois géométriques que ces symboles représentent.

En ce qui concerne le sinus, Tégalité analogue

sin(±:a) = sin (±a^ — i}

existera pareillement, mais pour les grandeurs seulement de ces lignes qui, pour ces divers arcs, sont toutes les mêmes. Quant aux directions, elles sont au contraire toutes différentes ; nous venons de voir, en effet, qu'elles prennent les

valeurs ± V— i pour les deux arcs situés dans le plan de base

et ± v/— I pour les deux arcs perpendiculaires à ce plan.

On peut même donner une plus grande extension à cet ordre de faits, ainsi que nous allons l'expliquer.

Si l'on considère toujours la sphère qui a son centre à l'origine et que nous supposons avoir l'unité pour rayon, la rencontre de l'axe des x avec cette sphère est le point de départ

des arcs ±a, ±(x^—i dont nous nous sommes occupé jusqu'ici ; mais il est évident qu'il y a une infinité d'autres arcs, issus du même point de départ, situés sur la même sphère et égaux, quant à leurs longueurs, à l'arc primitif a. L'ensemble de ces arcs forme une calotte sphérique autour de l'axe des x qui en est le pivot central, et leur extrémité est située, comme on sait, sur un même plan formant la base de la calotte. Dans

le cas aciueU ce pian perpendiculaire au plan de base passe par la corde qui joint Textrémité de a avec celle de —a^ corde qui est à son tour perpendiculaire à Taxe des x.

Or il résulte de ces dispositions et des lois géométriques qui les concernent que, si l'on prend à volonté Tun quelconque des arcs a qui sont les éléments delà calotte en question, et si l'on considère son plan qui passe nécessairement par l'axe des x, on constatera que, dans ce plan, le cosinus ainsi choisi s'obtiendra en projetant l'extrémité de l'arc sur Taxe des x, et de là il suit que ce cosinus, tant en longueur qu'en direction, sera encore le même que celui de ±:a et de

it a ^— I . Voilà donc une infinité d'autres arcs, d'égale longueur à la vérité, mais distincts sur la sphère, par des situations très-différentes, qui ont tous pour leurs cosinus même grandeur et même direction.

Quant au sinus, il est représenté par la droite qui projette sur l'axe des x l'extrémité de Tare choisi ; d'où l'on conclura que sa longueur sera constamment la même et égale à celle

de =ba et de dba^—i ; mais sa direction variera incessamment suivant la position de l'arc, et nous nous expliquerons sur sa représentation algébrique lorsque nous traiterons le problème général des directions dans l'espace.

Ce ne sont donc pas seulement les quatre arcs dza, ± a y^—i qui ont en particulier même cosinus tant en grandeur qu'en direction, ce sont en outre tous ceux qui, partant de la même origine que ceux-ci, sont les éléments géométriques de la calotte sphérique ci-dessus définie. On peut prévoir d'après

cela que c'est à d'autres formes encore que celles ±a, db a v — i que doit s'appliquer l'égalité cî-dessus constatée

cos(dza) = cos(±:av/— i).

Il serait prématuré en ce moment de se prononcer sur ces formes, et par suite sur la représentation algébrique qu'il convient d'attribuer à ces arcs, suivant les diverses positions qu'ils occupent sur leur calotte. Nous avons besoin pour cela de donner à nos recherches un plus grand développement et d'entrer plus profondément que nous n'avons pu le faire jus-

qu'ici dans l'étude des faits géométriques comparés avec ceux de l'Algèbre ; nous serons alors en mesure de nous prononcer catégoriquement sur ce point.

Quant à présent, bornons-nous à l'examen des égalités

COS(±:a) = cos(rh ayj—i),

qui portent sur des arcs aussi bien définis au point de vue de la Géométrie qu'à celui de l'Algèbre, et expliquons-nous sur ce qu'elles paraissent offrir d'étrange au premier abord.

Nous ne cacherons pas que la première impression qu'ont éprouvée pres(iue tous ceux auxquels nous avons eu occasion

de faire connaître la propriété que possède cosa^— i d'être exactement 'égal à cosa a été celle de l'incrédulité. Cependant, lorsque je faisais remarquer qu'on n'était pas surpris que le cosinus restât le même alors que l'arc changeait de signe,

lorsque j'ajoutais qu'attribuer à l'arc le facteur sj—i ce n'était pas en changer la longueur, mais le placer dans une autre direction pour laquelle la même invariabilité pouvait fort bien exister, je ne tardais pas à constater que, sous l'influence de ces premières observations, le doute devenait moins persistant et l'incrédulité moins confiante. Il restait cependant un sera* pule. Comment admettre, m'a-t-on dit souvent, quB le réel puisse être égal à l'imaginaire? A cela, je faisais remarquer qu'au point de .vue de la forme c'est là chose courante parmi les géomètres ; que, par exemple, ceux qui, ainsi que nous l'expliquerons tout à l'heure, pensent et écrivent que cosa^f^

r , « o? cà câ

est égal a ih — ï~*"77"+"fif"*'*-'(') "^^"^ agissent pas autrement, et qu'à tout prendre, mieux vaut encore, réel pour réel, accepter celui qui donne, pour valeur d'un cosinus, un véritable cosinus que celui qui conduit à une expression qui n'en saurait être un. J'ajoutais qu'au point de vue de la forme en*

( * ) Ainsi que nous Tarons fait dans nos précédentes publications, nous continuons de représenter par la notation n f le produit des nombres de la suite naturelle depuis i jusqu'à /i.

core ceux qui prétendent que y— i est réel et égal à e"»' vont bien plus loin, puisqu'ils ne font aucune difficulté de considérer comme très-réelle une expression dans laquelle tout est à coup sûr et très-explicitement imaginaire.

Or pourquoi, je le demande, ce qui est permis à tous, et sans qu'ils aient pris la peine de s'en rendre compte par le raisonnement, nous serait-il interdit à nous, qui appuyons notre manière de voir sur des justifications?

Mais, au fond, ce qu'il faut remarquer dans ceci, c'est que, si

l'imaginaire se montre dans cosa^— i , on irait beaucoup trop

vite et trop loin en concluant que, par cela même, cosa^^^ doit être nécessairement imaginaire; cette expression, en effet» n'est autre chose qu'une fonction d'imaginaire ; or rien ne s'oppose à ce qu'une pareille fonction soit réelle. N'en est-il pas

ainsi du produit de cosa •+• yj— i sina par cosa — y-^F sina et de la somme de ces deux quantités? N'en est-il pas encore

de même des puissances paires de ^ — i et de beaucoup d'autres fonctions ?

Concluons donc que l'équivalence de cosa ^Z— i à cosa, justifiée par les considérations de la Géométrie, desquelles dépendent ces fonctions, n'a rien de contraire à ce que les principes de l'Algèbre permettent de formuler.

Ces préliminaires posés, procédons à Texamen des conceptions que les géomètres se sont faites sur toutes ces choses et signalons leurs erreurs.

On sait qu'il existe une formule au moyen de laquelle on détermine la valeur du cosinus en fonction de l'arc ; cette formule est ainsi conçue :

X'^ 4pt 4?'

Or 11 est admis, sinon en vertu des théories de l'Algèbre, du moins d'après les habitudes ou, si Ton veut, d'après les

conventions des géomètres, que cette formule doit s'appliquer non-seulement à la grandeur du cosinus, mais encore au signe de Tare qui le détermine ; ce qui est vrai, en fait, lorsque ce signe n'est autre chose que -4- ou — . Mais, bien que rien de ce qui concerne les signes ne soit mis en jeu dans la démonstration de cette formule, parce que, dans cette circonstance, il résulte d'une vérification faite après coup qu'elle n'est pas moins vraie lorsque x est négatif que quand il est positif, on s'est laissé aller à penser qu'elle devait également l'être pour toutes les autres circonstances dans lesquelles X peut se trouver, et qu'en particulier elle devait continuer d'exprimer une vérit^ dans le cas où l'on supposerait que X devient égal à x^^i .

Toutefois si, dans la pratique de l'Algèbre, les géomètres ont agi comme si cette universalité d'application avait pour elle un cachet d'infaillibilité incontestable, nous devons reconnaître qu'ils ne sont pas à beaucoup près aussi explicites lorsque, dans les ouvrages d'enseignement, réfléchissant de plus près sur les principes et sur la constitution théorique des formules, ils sont obligés de pénétrer plus profondément dans la raison des choses.

Par exemple, au sujet de la formule qui nous occupe en ce moment, Navier, dans son ouvrage intitulé : Résumé des leçons d* Analyse données à V École Polytechnique (t. I, p. i lo), fait avec beaucoup de raison l'observation suivante : <i On ne doit point perdre de vue d'ailleurs, soit en faisant usage de ces formules (celles du cosinus et du sinus), soit en toute autre occasion, que la lettre x^ désignant un arc, est toujours le nombre abstrait qui exprime la longueur de cet arc dans la circonférence dont le rayon est l'unité. Tant que la quantité x est sous les signes sinus, cosinus, tangente, etc., on peut concevoir cette quantité exprimée en degrés ; mais on doit, quand elle est en dehors de ces signes, lui donner sa véritable expression, d

Or cette expression quelle est-elle? L'auteur vient de nous le dire : <r Le nombre abstrait qui exprime la longueur de cet arc dans la circonférence dont le rayon est l'unité b. D'après cela, est-il possible d'admettre que, transporté hors des sym-

boles trigonométriques, x puisse être autre chose qu'une grandeur ou un rapport de grandeurs arithmétiques, et ne sommes-nous pas en droit de demander en quoi et comment l'introduction du signe à côté de cette grandeur pourrait être théoriquement justifiée ?

Il faut donc reconnaître que cette assertion, qui dit que la formule du cosinus est également applicable aux arcs positifs et aux arcs négatifs, n'est nullement une conséquence des déductions théoriques et qu'elle n'a d'autre base certaine qu'une vérification de calcul faite a /^o^/^non. Cela résulte uniquement d'une coïncidence fortuite entre les deux faits algébriques suivants, savoir qu'en vertu de l'un x n'entre dans la valeur du cosinus que par ses puissances paires, qu'en vertu de l'autre il est de principe algébrique que les puissances paires ne changent pas de valeur, quel que soit le signe de la racine. Telle est l'unique raison pour laquelle l'assertion des géomètres se trouve justifiée, et ce n'est pas dans les principes sur lesquels on s*appuie pour démontrer la formule qu'il sera possible de trouver des justifications; car ces principes, en ce qui concerne x^ sont exclusifs de toute autre idée que celle de la longueur de l'arc dans une circonférence qui a l'unité pour rayon. Or, s'il en est ainsi, que faut-il penser d'une manière de procéder dans laquelle on voudrait à la fois faire intervenir

dans la valeur de x le facteur \f—\ et sous le symbole trigonométrique et en dehors de ce symbole, et s'écarter ainsi de Tobservation de principe si judicieuse rappelée ci-dessus ?

Et cependant, tant il y a de puissance dans les entraînements de l'analogie, Navier lui-même, perdant de vue ses recommandations théoriques, se laisse aller dans la pratique à attribuer à a?, en dehors du symbole trigonométrique, d'autres fonctions que celles qu'il a définies et à admettre que la formule du cosinus doit continuer à s'appliquer au cas

où x devient or^—i : en conséquence, il écrit (t. I, p. ii6)

COSa: i/— I = IH i -h 71 -♦- 2-, -H

formule inacceptable à tous égards; car, ou bien xyj—i est

un arc, et alors le second membre, toujours plus grand que

l'unité, ne saurait être un cosinus, ou bien x^—i n'est pas un arc, et alors le premier membre restera incompréhensible tant qu'on n'aura pas défini ce qu'est le cosinus d'une chose qui non-seulement n'est pas un arc, mais de laquelle on ne sait pas ce qu'elle peut être.

Quant à nous, édifié par les recherches précédentes et par les résultats auxquels elles nous ont conduit, nous pouvons dire qu'une telle expression algébrique est tout à fait contraire aux lois les plus simples qui régissent les directions eo Géométrie et qu'elle établirait un inconciliable désaccord entre les deux sciences. Heureusement ce désaccord n'est qu'apparent, puisque la formule qui en donne l'idée, conséquence gratuite de trompeuses analogies, ne saurait être une vérité.

Si du cosinus nous passons au sinus, nous aurons, et avec plus de raison encore, des redressements analogues à signaler. On sait que la valeui; du sinus en fonction de l'arc est donnée par la formule

X* X* ar'

Or, dans cette circonstance comme dans la précédente» les mêmes restrictions doivent être faites sur la signification de x. En dehors des symboles trigonométriques» x n'est pas autre chose qu'une grandeur, et aucune considération relative aux directions n'intervient dans la démonstration de la formule.

Il est vrai qu'en fait cette formule est applicable au cas où l'arc est négatif; mais à quoi cela tient-il ? Uniquement à ce que, dans la valeur du sinus, x n'entre que par ses puissances impaires et que d'ailleurs le sinus change de signe avec l'arc. De cette coïncidence résulte la conséquence que la formule s'applique également soit a sin^;, soit à sin — ^r. Voilà ce qu'on peut remarquer après coup pour ce qui concerne le passage du positif au négatif; mais, nous le répétons, il ne faut voir ici que le résultat d'une simple vérification de calcul, faite a posteriori^ et non celui d'une question de principe.

D'ailleurs, voudrait*on admettre qu'il en est autrement, il

faudrait tout au moins reconnaître que la formule ne s'appliquera au positif et au négatif que tout autant qu'on se conformera aux idées purement conventionnelles admises pour représenter la direction du sinus. Je m'explique à ce sujet.

Pour nous, les deux directions directe et inverse du cosinus étant algébriquement représentées par -4- 1 et — i, celles du

sinus, par rapport au cosinus, le seront par -h v/--^ et — v^^^, et il n'est pas possible qu'elles le soient par autre chose. Nous avons vu, en effet, que c'est une conséquence nécessaire des lois naturelles qui régissent en Géométrie les directions, que, les premières ayant pour équivalent analytique ±1, l'équivalent analogue des secondes doit être it^— i. Voudrait-on les exprimer autrement qu'on ne le pourrait pas sans contrevenir aux conditions mêmes de l'énoncé, de même qu'on ne poui^ rait pas, une première direction étant donnée, en'tracer une seconde qui lui fût perpendiculaire, sans exécuter la construction géométrique d'un angle droit soit au-dessus, soit au-dessous d'elle.

Or qu'a-t-on fait jusqu'à présent? Après avoir caractérisé les deux directions opposées du cosinus par -4-1 et — i, on n'a

pas pris pour caractériser celles du sinus les facteurs 4- v/--i

et — ^—i, ce qui les rattachait par le calcul les unes aux autres, ainsi qu'elles le sont par la Géométrie ; mais, considérant les sinus' isolément et indépendamment des cosinus, comme s'il n'existait aucune relation obligée entre leurs directions respectives, on a de nouveau appliqué les facteurs -r-i et — I aux sinus, agissant exactement pour ceux-ci comme on l'avait d'abord fait pour les cosinus.

Ce ne serait donc qu'à la condition que les directions des cosinus et des sinus ne seraient pas géométriquement liées entre elles, et que chacune de ces lignes aurait également -h I et ~ I pour représentation algébrique des deux sens suivant lesquels on peut les compter, que les formules de la Trigonométrie seraient générales et s'appliqueraient Aussi bien aux grandeurs des lignes qui y figurent qu'à leurs directions; mais, avec une telle restriction, on comprend sans peine que c'est une généralité à peu près illusoire que celle

qu'on a proclamée jusqu^à ce jour, car cette prétendue généralité n'existe que pour des signes convenlionnellement adoptés pour exprimer la direction des sinus ; elle ne s'applique pas à ceux qui représentent véritablement ces directions, à ceux dont la constitution analytique est la conséquence naturelle et forcée des lois géométriques qui régissent la matière.

Si donc les formules trigonométriques ne sont à la fois applicables au positif et au négatif qu'à la condition qu'il interviendra sur l'usage de ce positif et de ce négatif des règles de convention et non de principe, comment pourrait-on admettre que l'application de ces mêmes formules, déjà restreinte par ces conventions, sera apte à satisfaire à cette immensité de cas qu'embrasse la forme imaginaire ?

Cependant, à cet égard, les géomètres n'ont pas moins erré pour le sinus que pour le cosinus ; admettant sans hésitation que la formule qui le concerne est susceptible d'une application générale, ils ont enseigné que, lorsque x devient x^-^i, on doit avoir

Sin(:t:v/-i) = v/— I ^^ + 3Î + 5Î + yî-^"7'

( voir Navier dans l'ouvrage cité), résultat non moins abondant en contradictions que le précédent et qui exigerait à coup sûr de nouvelles définitions du sinus, pour que^ en présence des propriétés qu'elle possède déjà, une fonction ainsi dénommée pût avoir pour valeur le développement du second membre.

Quant à nous, mettant à profit les faits précédemment établis, nous dirons que, si, dans l'expression sin(x v^—i), on ne veut voir que ce qui concerne la grandeur du sinus de l'arc x\J^, il faudra reconnaître qu'il y a complète égalité entre sin (x sf^i) et sin jt. Si, dans cette même expression, on entend tenir compte de ce qui concerne à la fois la grandeur et la direction, il faudra écrire que sin(x^^) est égal à

^— ^ sinar; et, en opérant ainsi, nous mettrons les repré-

sentations algébriques en cojoiplet accord avec les lois de la Géométrie.

Nous aurons bientôt occasion de signaler d'autres redressements; car, en cette matière, les erreurs, d'ailleurs involontaires des géomètres, ont été fort nombreuses.

Voyons maintenant ce qu'il faut penser de cette étrange as-

sertion que l'expression ^—i est réelle et égale à e * '.

Pour nous bien renseigner sur ce point, il est nécessaire de remonter à la source des raisonnements desquels cette égalité a été déduite. Nous avons déjà eu occasion de nous occuper de ce sujet, dans notre publication de 1869, sur l'interprétation des formes imaginaires en abstrait et en concret, et nous aurons naturellement à revenir sur ce que nous avons dit k cet égard ; mais, en cette matière où la résistance des esprits est très-prononcée, où les tendances à Tabsiention, à l'incrédulité sont très-multipliées, l'insistance est une nécessité, je dirai presque un devoir : elle seule peut avoir raison de l'inertie routinière, ce redoutable et funeste antagoniste du progrès.

Nous avons dû d'ailleurs, dans cette publication, envisager la question à un point de vue assez général et qui ne comportait pas une application immédiate de nos observations à ce

qui concerne plus spécialement l'expression ^— i ; mais,

maintenant que nous sommes conduit à accorder à cette expression la remarquable propriété d'être le représentant algébrique de la double perpendicularité de l'axe des z sur ceux des X et des ^, l'examen de ce qui s'y rapporte devient un point très-essentiel du débat. Il est évident, en effet, que, si

le résultat de cet examen confirmait les assertions des géo-

mètres sur la réalité de ^^ i , notre travail tout entier disparaîtrait avec la base sur laquelle nous avons cru pouvoir rédifier.

Entrons maintenant dans la . discussion et montrons d'àbord comment les géomètres croient avoir établi la réalité

de v^~ I On a en effet, disent-ils, d'après la formule d'Euler,

«*/- ' . cosa: -h /•— I sîn jr.

Si l'on élève les deux membres à la puissance ^- i, il viendra

e-*=. (cosar -h /^sina?)^"",

égalité qui, en faisant a? r= - tt, se réduit à c * = v "~" *

On ne peut pas reprocher à ce raisonnement d'être compliqué, il marche droit au but, et, si les moyens qu'il emploie étaient acceptables, il n'y aurait qu'à s'incliner. Examinons donc si les propositions sur lesquelles il s'appuie sont véritablement autorisées.

Et d'abord, au point de vue de la forme, admettant avec nos antagonistes l'exactitude de la formule d'Euler, appliquons à cette formule un procédé tout à fait semblable à celui qu'ils emploient eux-mêmes, et élevons ses deux termes à la puissance — v'— I ; il viendra

e^z^ (cosa: -f- ^— I sina:)-"v/-« — (cosa: — v/— i sina*)/"*, égalité qui, si l'on suppose que x devient -9 donne

Or cette valeur de — y — « ajoutée avec celle de h- ^— 1

donne é*"*"" -*- e^'^''' =:o ou c'^ = — i, ce qu'aucun géomètre

à coup sûr ne sera disposé à admettre. ^

— ^/ni — ^-t

En présence de ces valeurs de H- y— * ei de — V— i »

puisées à la même source, obtenues l'une et l'autre par des

moyens tout à fait identiques, et qui conduisent à une évi-

dente impossibilUé, que penser de semblables démonstrations? Ne faut-il pas nécessairement admettre que Tune des deux tout au moins est inexacte? £t, si l'on demande laquelle doit être frappée de condamnation^ que pourra-t-on répondre?

Quant à nous, nous n'hésiterons pas à dire que c'est à l'une et à l'autre que cette condamnation doit être appliquée, et nous aurons certainement établi la légitimité de notre verdict lorsque nous aurons constaté que le point de départ duquel on les fait dériver, que la formule d'Euler ne saurait être considérée comme exacte.

C'est ce que nous avons déjà établi dans la publication de i86g, et nous allons reprendre ce sujet plus en détail ; mais auparavant il n'est pas inutile de présenter une observation subsidiaire.

Après avoir montré, dans l'ouvrage cité, que la formule d'Euler n'est pas admissible et qu'il faut cependant que l'expression d'une direction cosa:-4- v^— i sina: puisse être égalée à une exponentielle de l'angle, nous avons été conduit à substituer à la formule d'Euler la suivante :

.•JC

)J— ï * = cos jc -h v'— I sinx.

Or 11 est intéressant de faire voir qu'en faisant usage de celle-ci les contradictions ci-dessus constatées disparaissent.

Si, en effet, on élève les deux termes à la puissance \/— i, il viendra

V'— I* — (cosor-h V— I sîn^)^ *;

TT

faisant maintenant x = -^ on aura non plus le résultat erroné

.yT^

mais l'identité

^y/ZTt --*-^-|

qui nous maintient évidemment sur le terrain de la vérité ; puis, élevant la même formule à la puissance — ^--i , et ad-

mettant ensuite que Ton pose ^=- 9 le premier membre prend

la forme v—i et le second devient — v — ' » expres-

sions encore équivalentes, puisque V~i est la même chose

que — v^— I .

Toutes les discordances résultant de l'emploi de la première formule disparaissent donc avec la seconde, ce qui tout au moins confère à celle-ci un premier et incontestable avantage sur la formule d'Euler.

Après ces premières observations sur les résultais obtenus, lorsqu'on les envisage au point de vue de leur spécialité et de leur forme, occupons*nous sérieusement du fond de la question et expliquons-nous sur les considérations analytiques dont l'omission a faussé les conclusions des géomètres.

Étant conduit, ainsi que nous venons de le dire, à porter notre attention sur la formule d'Euler et à la considérer comme inexacte, nous devons avant tout nous rendre compte des moyens mis en œuvre pour la démontrer. A cet égard nous nous abstiendrons scrupuleusement de toute intervention personnelle ; car, en présentant à notre manière les raisonnements que nous voulons combattre, nous pourrions i bon droit paraître suspect. Reproduisons donc le texte des auteurs et établissons la controverse sur leurs propres paroles:

a Reprenons, dit Navier ( 1. 1^ p. 1 13), le développement de e* qui est

ï> En substituant dans cette équation or ^—i à la place de x, elle deviendra

eW-. = .4-Xv'-.-^-3j^-. + ^ + 5JV'-

» Op, en comparant cette série aux développements de cosa: et de sina?, on voit qu'elle revient à cosa? -h ^^T sîna?; donc

c'v^-' =cosa7 -4- V — ï sinjT. »

Tel est, avec d'insignifiantes modifications dans la rédaction, le procédé uniformément employé depuis Euler pour démontrer cette formule.

Or une première observation se présente ici naturellement. A supposer que le développement de c* donne la valeur théorique exacte de cette expression, et qu'il en soit de même des développements du sinus et du cosinus, il faut reconnaître, et l'on reconnaît généralement, que ces développements ne sont démontrés que pour le cas où la variable x est réelle.

Cela posé, remplacer x par x^— i, c'est évidemment admettre que ces développements continuent d'être applicables lorsque x devient imaginaire. Or c'est là une supposition gratuite dont on doit d'autant plus se méfier qu'il est bien des cas dans lesquels les choses sont loin de se passer de la sorte.

Aussi certains auteurs ne peuvent se défendre d'exprimer à ce sujet quelques scrupules. Nous lisons, en effet, dans le Cours d'Algèbre de Bourdon (page 671, 5* édition) l'observation suivante :

a En réfléchissant sur tout ce qui vient d'être dit sur les séries circulaires ou trigonométriques, on voit le parti que Ton peut tirer de l'emploi des symboles imaginaires pour résoudre des questions d'une très-grande utilité. Comme, pour parvenir à ce but, on étend à des expressions imaginaires des formules qui d'abord n'avaient été reconnues vraies que pour des quantités réelles^ on pourrait être tenté de révoquer en doute l'exactitude des résultats auxquels on est conduit, d

Cette remarque est on ne peut plus juste ; elle constate, on le voit, que tout au moins le doute est permis. Dès lors comment le faire disparaître? car en Mathématiques la certitude seule doit être autorisée. Pour répondre à cette question, il faudrait suivre le précepte de Laplace, qu'on ne saurait trop avoir présent à l'esprit:

a Les passages du positif au négatif^ dit-il, et du réel & Timaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales déGnies que j*ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte pareil à l'induction et à l'analogie employées depuis longtemps par les géomètres, d'abord avec une grande réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d'exemples en ayant justifié remploi ; cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces di-vers moyens, d {Théorie analytique des probabilités ^ Introduction.)

Or cette confirmation pour la formule d'Euler n'ayant pas encore été faite, la négation ou, dans tous les cas, le doute est chose parfaitement permise.

On se rassure toutefois assez généralement, et sur ce point on se laisse aller volontiers à prendre confiance, ou pour mieux dire, à s'aveugler par les considérations suivantes :

<i Cependant, continue Bourdon, si, après certaines transformations, on parvient à des expressions débarrassées d'imaginaires, qui s'accordent avec celles que fournirait un raisonnement strict et rigoureux, on est forcé d'admettre la légitimité des moyens employés. »

Tout cela nous paraît très-vague, et nous serions certainement autorisé à demander si, pour la formule d'Euler en pai^ ticulier, il existe de ces sortes de transformations ? Peut-être serait-on fort embarrassé de les indiquer, car je crois qu'on les suppose plus encore qu'on ne les connaît.

Mais, si c'est précisément le contraire qui arrive, si, après certaines transformations, on parvient à des expressions débarrassées d'imaginaires qui précisément ne s'accordent pas avec celles que fournirait un raisonnement strict et rigoureux, ne sera-t*on pas obligé de reconnaître et rillégitimité des moyens employés et l'inexactitude des résultats auxquels ils auront conduit?

Or c'est précisément là ce que nous venons de constater dans l'article précédent, puisque, après certaines transformations opérées sur la formule qui nous occupe, nous avons ob-

tenu les deux équations

lesquelles ajoutées conduisent à l'expression débarrassée d'imaginaires e'= — I, qui ne saurait à coup sûr être la conclusion d'aucun raisonnement strict et rigoureux. En présence d'un tel fait l'incrédulité, ce me semble, n*est que trop bien justifiée.

Il serait d'iiilleurs par trop commode de se payer de cette raison, exprimée, on en conviendra, en termes peu explicites, que si, après certaines transformations, on parvient à des expressions débarrassées d'imaginaires qui s'accordent avec celles que fournirait un raisonnement strict et rigoureux, on est forcé d'admettre la légitimité des moyens employés.

Je ferai observer d'abord que toutes les règles ordinaires de calcul, constatées pour les expressions réelles, ne sont pas inapplicables aux expressions imaginaires, que quelques-unes de ces règles régissent à la fois les premières et les secondes, que dès lors les moyens dont il est ici question ne sont pas toujours condamnables, et que, par suite, certains résultats obtenus par ces moyens pourront être exacts. Mais ce dont il faut se garder, c'est de trop prendre confiance dans ces cas exceptionnels pour conclure que c'est toujours ainsi que les choses doivent se passer. Or, en s'en référant aux habitudes des géomètres, il faut reconnaître que la tendance contre laquelle je m'élève ici n'est que trop générale.

On doit observer, en second lieu, qu'au cas même où Ton aurait considéré comme applicable à une expression imaginaire une règle qui ne l'est pas, il est fort possible, dans certaines circonstances, lorsqu'on reviendra de l'imaginaire au réel, de détruire dans ce retour les effets des erreurs primitives et d'obtenir ainsi, dans quelques cas exceptionnels, des résultats exacts, bien que le point de départ ne le soit pas.

Par exemple, parce que, dans la formule d'Euler, lorsqu'on suppose l'angle x nul, on obtient l'ideniité i = i, dans laquelle tout est réel, on ne saurait être autorisé à en conclure que la formule est exacte. Qui ne voit^ en effet, que la pre-

mière erreur que je reproche à la formule, et qui consiste i

prendre pour valeur de cosa: -h ^— i sina: une exponentielle imaginaire, se trouve annihilée dans le retour au réel par la supposition que x est nul» car cela fait disparaître celte même exponentielle faussement introduite. Cette prétendue vérification reste donc sans valeur. On voit même qu'elle se serait toujours produite avec un nombre quelconque différent de e et avec tout autre exposant, réel ou imaginaire, multiple de x. On a encore dit dans le même ordre d'idées, et pour se fortifier dans la pensée que la formule d*£uler est exacte, que les valeurs de coso: et de sin^ qu'on en peut déduire vérifient la loi fondamentale de la Trigonométrie

cos'j: -h sln^ar= i.

On aurait, d'après Euler,

cos^ = » sinx = —

2 \^—JL

dont la somme des carrés est bien égale à l'unité.

Mais, comme dans cette somme toutes les exponentielles disparaissent d'elles-mêmes, il est impossible de rien affirmer sur leur légitimité propre et sur leur droit exclusif d'intervenir. Aussi, que l'on substitue à W^ telle quantité Â qu'on voudra, réelle ou imaginaire, possible ou impossible, on aura identiquement

On voit donc à quoi se réduisent ces prétendus contrôles: ce sont de véritables illusions qui n'apprennent absolument rien sur le fond de la question.

Tant de transformations qu'on voudra, pour revenir au réel, peuvent donc rester impuissantes, malgré l'exactitude des résultats obtenus. 11 faut encore s'éclairer avec soin sur le mode même de ces transformations et sur leurs particularités analytiques. C'est une nécessité que les exemples ci-dessus rendent évidente.

Hais, à Tinverse, un seul résultat déduit de l'expression pri* mitive, que des raisonnements stricts et rigoureux condamneraienty sera suffisant, quelle que soit sa nature, pour attester la fausseté de cette. expression. Or déjà nous avons fait connaître un de ces résultats, celui qui exigerait que 6* fût égal à — i. Nous pouvons ajouter que bien d'autres conséquences inadmissibles sont faciles à obtenir. Si, par exemple, Thypothèse que â; = o conduit à une vérité, parce qu'elle annule l'erreur

en vertu de laquelle cosa? + ^—i sina: est égalée è une exponentielle imaginaire, toute autre hypothèse qui conservera cette sorte d'exponentielle conduira à des conséquences frappées des mêmes impossibilités que la formule elle-même. C'est ainsi que la supposition que x est égal non plus à zéro mais à ^kn, k étant un nombre entier quelconque, conduit k l'équation ^

dont il serait fort à désirer que les géomètres constatassent la légitimité par des moyens directs. Ce serait là une épreuve fort importante, presque décisive ; malheureusement elle est encore à faire.

Hais il y a plus, même sans aborder l'imaginaire et en se maintenant dans l'unique considération du réel : les auteurs sont obligés de poser d'importantes réserves sur les valeurs qu'il est permis d'attribuer dans a^ au nombre a.

En effet, dans son ouvrage déjà cité, Navier après s'être expliqué sur la Bguration géométrique de la fonction a*, à l'aide de courbes, fait l'observation suivante :

« Si l'on voulait prendre pour a, dans la fonction a*, un nombre négatif, cette fonction cesserait de présenter des valeurs continues ; il n'existerait plus de courbe, mais seulement des points isolés correspondant aux valeurs de x égales à des nombres entiers ou à des fractions de dénominateur Impair. »

Sur quoi Navier conclut en disant :

a Nous supposerons toujours dans la suite, par cette raison, quand il s*agira d'un système quelconque de logarithmes, que la base a de ce système est un nombre positif ei plus grand que Tunité. a

Or, dirons-nous, si, même pour certains cas de la réalité de a, la continuité de la fonction disparaît, ce qui déjà nous met quelque peu en dehors des notions normalement admises en Algèbre, qui donc serait en mesure de prévoir ce qui adviendra pour le cas autrement exceptionnel de l'imaginaire, et d'affirmer que dams c*v^, où en définitive a devient e>^\ cette même absence de continuité ne persistera pas, ne s'aggravera pas même, par suite de certaines circonstances que je ne connais pas sans doute, mais dont l'IncompréfaensioD de

ev^ permet de supposer l'existence? Un tel scrupule est à coup sûr fort légitime, et, cependant, poser la formule d'EuIer,

n'est-ce pas trancher la question et affirmer que W--* est continu, puisque chacun des termes du second membre l'est? Dans tous les cas, supposer que dans e* la variable devient

x^^^, c'est la même chose, je le répète, que remplacer a de

a* par la valeur &/-' ; or, tant qu'il ne sera pas prouvé que e^* est un nombre positif et plus grand que l'unité, il faudra reconnaître que Navier et les géomètres qui partagent ses idées auront contrevenu aux règles qu'ils se sont eux-mêmes imposées.

On n'a pas assez réfléchi, ce me semble, à cette considéra-

tion, très-digne d'attention, que remplacer a: par a?^— i n'est pas chose aussi simple qu'on serait tenté de le croire au premier abord. On parait ne comprendre que d'une seule manière le passage de a* à a*^"^ , tandis qu'en fait il y eu a deux très-distinctes. Suivant les habitudes admises, ce passage consisterait à remplacer la variable réelle x par la variable imaginaire x^f^'j mais ne serai-je pas également autorisé à dire, sans contrevenir à aucun des principes de l'Algèbre, que ce passage peut s'entendre en ce sens, que la variable continue de rester réelle et que c'est la constante a qui prend la forme

imaginaire ctl--\ la première interprétation serait plus particulièrement représentée par a^'*^\ la seconde par (av^)'.

Dans le premier cas, et dans l'hypothèse où les règles de calcul pour les variables réelles s'appliquent aux variables imaginaires, on aurait

a'^'^ = . + (loga)^^-(loga)'^

ainsi que l'admettent les géomètres.

Dans le second cas» et dans l'hypothèse où les principes établis pour les constantes réelles sont applicables aux constantes imaginaires^ il faudrait écrire

{ficT^Y = I + (logav^~) y -h (logav/~)» î! 4. (loga v/^)' Jj + . . - >

Certes» en opérant ainsi, je ne prétends pas plus justifier la seconde forme que la première ; mais, à tout prendre, ne semble-t-il pas qu'elle est moins excentrique qu'elle? On conviendra, en etTet, qu'il est bien plus facile d'admettre qu'une formule continue d'être applicable, lorsque c'est une de ses constantes qui de réelle devient imaginaire, qu'il ne Test de la considérer comme étant encore vraie lorsque c'est la variable même, c'est-à-dire la partie active de la fonction, qui subit un changement d'état, modifiant si profondément sa nature.

Quoi qu'il en soit, de quelque manière qu'on envisage les choses, il faut reconnaître que c'est toujours sur des hypothèses qu'on s'appuie, et que, par conséquent, les résultats obtenus, en admettant qu'ilssoient vrais, ne sont pas démontrés.

Eh quoi I on ne sait pas ce que peut être la puissance imaginaire d'une quantité réelle, et l'on voudrait calculer à coup sûr les effets de ses variations pour l'universalité des valeurs, d'ailleurs incomprises, que peut prendre une telle fonction t Mais, dans toutes les sciences, ne faut-il pas au contraire se montrer de plus en plus timoré, à mesure que rintelligence

-sodés choses dont on s'occupe devient plus obscure? Ne fauHI pas procéder alors avec cette sage réserve, avec cette prudence du doute qui, seules, peuvent nous mettre en garde contre les erreurs? N'est-ce point dans de telles circonstances qu'il faut surtout éviter de céder à Tentratuement de trompeuses analogies, et ne devient-il pas nécessaire, comme Laplace le recommande avec tant de raison, de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces divers moyens ?

Mais, puisque nous avons deux valeurs, vraies ou fausses, pour la môme expression, il faudrait tout au moins que ces valeurs fussent égales. Or à quelle condition cette égalité pourra-t-elie exister? Il sufOt de jeter un coup d'œil sur les deux développements pour reconnaître qu'ils deviendront identiques si l'on a

logflv^ = v^— I loga,

c'est-à-dire qu'il faudrait encore que les règles de calcul éta^ blies pour la fonction logarithmique, dans le cas du réel, continuassent à s'appliquer dans le cas de Timaginaire. C'est donc là une nouvelle hypothèse de même ordre que les précédentes, de sorte que, loin de disparaître, le doute ne fait que s*afQrmer de plus en plus. Navier lui-même, qui» dans un grand nombre de circonstances, ne s'est pas fait faute de céder à l'entratnement des inductions analogiques, ne se borne pas, au sujet de la fonction a', à émettre des scrupules sur ce qui doit arriver lorsque a devient imaginaire, comme c'est ici le cas ; mais il pose nettement des réserves. Voici comment il s'exprime, page i3o de l'Ouvrage déjà cité:

a Observons d'ailleurs que la transformation de a* en e*, opérée en multipliant x par /a, suppose que la soit un nombre qui puisse être assigné, c'est-à-dire que a soit un nombre réd et positif , La propriété de la fonction a', dont il s'agit, ne subsiste pas sans restriction, lorsqu'on veut attribuer au nombre a des valeurs négatives ou imaginaires. »

Or, dirons-nous, comme supposer que dans a* la variable x

devient imaginaire de la forme xyf^ , c'est exactement la même chose que laisser x réel et substituer à a la valeur ima-

ginaire av'^y il faut en conclure, d'après Navier lui-même, que les conséquences d'une telle hypothèse ne sauraient être admises sans restriction, et que par suite ces conséquences n*ont d'autre valeur que celle d'une incertitude.

Quelques auteurs partageant sans doute^ en tout ou en partie, les doutes que nous venons de signaler, mais ne voulant pas toutefois» pour des motifs que nous ne saurions apprécier puisqu'ils ne les ODt pas dits, se faire l'écho de ces critiques, ont mis en avant, au sujet de la formule d'Euler, une certaine réserve dont nous ne saisissons que très-imparfaitement la portée, et qui nous paraît être moins encore une explication que l'expression de cet embarras qu'éprouvent les personnes qui, ne pouvant pas absoudre, seraient cependant tiès-désireuses de ne pas condamner : on va en juger.

Dans un Traité d'Algèbre, que nous ne pouvons qu'apprécier à beaucoup d'égards, l'inscription de la formule d'Euler est suivie du commentaire suivant:

a Telle est la formule trouvée par Euler et qui lie les exponentielles aux lignes trigonométriques. Cette formule ne constitue pas à proprement parler un théorème; elle renferme

au contraire une définition, celle de e*>/-* . »

Gomme, dans le langage algébrique, le mot théorème ne saurait avoir d'autre signification que celle de l'expression d*une vérité mathématique, il faudrait en conclure que, dans l'opinion de l'auteur, la formule en question n'est pas une vérité, ou que tout au moins elle peut n'en pas être une. Sur ce point, je dois reconnaître que je suis parfaitement d'accord avec lui; mais comment comprendre que, n'étant pas un théorème, elle soit au contraire une définition? Est-ce qu'une définition serait le contraire d'un théorème, et, par suite, cette définition serait-elle en même temps contraire à une vérité? Tout cela paraîtra, ce me semble, un peu confus; mais ne jouons pas sur les mots, qui peuvent avoir été mal choisis et ne pas rendre convenablement la pensée de l'auteur. Sup-

posons que celui-ci ait voulu dire, dans ce passage, que la formule en question doit être simplement considérée comme

une définition de e'V'-' .

C'est d'ailleurs dans ce sens que l'entendent certains géomètres avec lesquels j'ai fait échange d'explications. Us disent

que, s'il n'est pas suffisamment démontré que e'/-^ est égala

COSX+ ^— I sin^r, il résulte tout au moins du caractère essentiellement vérificatif des calculs qui ont conduit Euler à cette formule, qu'on est suffisamment autorisé à substituer

cosa:-4- ^—i sina? à e»>/-*, sans qu'il puisse en résulter aucun inconvénient, aucune erreur dans les combinaisons analytiques où Ton fera Intervenir cette substitution. Mais cela peut-il bien s'appeler définir? S'exprimer ainsi ce n'est pas, ce me semble, exposer l'idée qu'on doit se faire d'une chose, c'est soumettre cette chose à une obligation ; ce n'est pas expliquer, c'est établir une règle ; ce n'est pas, en un mot, poser une définition, c'est émettre le principe d'une faculté de remplacement.

Car une déflnition, quelle qu'elle soit, ne fait que constituer un point de départ, pour des raisonnements ultérieurs, qui ne préjuge et n'admet spontanément et a priori aucune affirmation, soit entre les divers états de l'objet défini» soit sur les rapports qui peuvent le lier à d'autres considérations. Sans doute, en étudiant les propriétés de cet objet et en appliquant à sa définition des raisonnements autorisés, je pourrai, presque immédiatement quelquefois, plus péniblement dans d'autres circonstances, être conduit à certaines affirmations qui, dans la spécialité de l'Algèbre, s'expriment par des équations ; mais commencer par établir dans cette science une égalité entre des expressions alors que celles-ci n'ont rien defacultatif, qu'on veuille bien le remarquer, alors que par ellesmêmes elles indiquent et imposent l'inévitable obligation d'exécuter certaines opérations de calcul plutôt que d'autres, ce n'est pas définir, je le répète, c'est établir entre deux choses une condition qu'on croit nécessaire sans doute, mais qui ne sera accep.table que lorsqu'elle aura été sanctionnée par l'Algèbre.

Ces deux choses, en effet, étant d'avance par leur constitution et leur forme une dépendance obligée de cette science. Il faudra bien, si Ton veut rester dans le vrai, que la nouvelle dépendance dans laquelle on prétend les établir l'une par rapport à l'autre soit en parfait accord avec les constitutions et les formes qui leur ont été primitivement imposées. Or cela ne s'établit pas par des mots, mais doit se justifier par des preuves» car, s'il en était autrement, on n'aurait défini ou pour mieux dire exprimé qu'une contradiction.

Qu'on veuille bien^ne pas perdre de vue qu'en ce qui concerne l'Algèbre, «V-» aussi bien que cosj? •+- ^— i sin^ sont dès l'abord et invariablement définis par eux-mêmes, puisque les quantités constantes et variables qui' figurent dans l'une et dans l'autre, ainsi que les opérations qui y lient entre elles ces quantités, sont parfaitement indiquées et qu'il est par conséquent impossible que c*v^ ou cosa?-t-\/— » sinx soient autre chose que ce que ces quantités et ces opérations leur permettent d'être. A cela ni les conventions ni les mots, quels que soient ceux qu'on voudra employer, ne sauraient rien changer. Un cadre déterminé d'opérations à efl'ectuer sur des nombres donnés est un type de génération qui ne subit d'autres lois que les siennes propres, dont les résultats s'imposent, et qui ne saurait créer que ce que sa constitution autorise.

Sans doute, si deux de ces types produisent exactement les mêmes résultats, l'un d'eux pourra servir à donner une idée de l'autre ; mais il faut qu'au préalable cette équivalence ait été établie et que la preuve ait précédé cette sorte de définition. Que penser d'après cela d'une assertion qui semble exprimer le contraire, en prétendant que la formule d'EuIer n'est pas un théorème, mais une définition ?

Serait-ce parce qu'il y a là des opérations dont le sens aussi bien que le mécanisme nous échappe, que nous croirions devoir Intervenir et ajouter à la définition première naturelle et constitutive de e'v^~* une nouvelle définition? M9is, comme nous le disions dans l'article précédent, ne devons-nous pas au contraire mettre d'autant plus de scrupule dans cette intervention que nous comprenons moins, nous pourrions même

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dire, que nous ne comprenons pas du tout ? Où trouver en effet la sanction de l'explication quelconque d'une chose dont nous avouons que l'inteUigence nous échappe, et que penser d'une telle tenlaiive alors que les moyens et les raisonnements algébriques sur lesquels elle s'appuie ne sont pas autorisés? Cela pourra être commode pour les faiseurs d'hypothèses, parce que l'incompréhension d'un objet rend plus difGclle la critique des propriétés qu'on lui attribue bénévolement ; mais, quoi qu'on fasse, la logique ne saurait y perdre aucun de ses privilèges; l'obscurité du sujet, au contraire, lui donnera toujours le droit de se montrer plus exigeante.

De quelque côté qu'on envisage la question, on ne saurait donc y voir que doutes et incertitudes, et telle est la situation d'esprit dans laquelle je suis resté jusqu'au moment où les flagrantes contradictions que j'ai signalées plus haut sont venues porter contre la formule d'Euler une nouvelle ei plus grave accusation, celle d'être inexacte.

En résumé, le développement de é' n'ayant été établi que pour le cas où x est réel, on ne saurait être autorisé à prétendre que ce développement devient la valeur de e*/-* lorsqu'on y remplace x par x)l—i . La formule d'Euler ne constitue donc ni un théorème ni une défînition, elle n'est qu^une hypothèse. De plus, cette hypothèse, conduisante des contradictions manifestes dans les applications qu'on en peut faire, doit être rejetée. Il suit de là que la réduction de la fonction e*V^ à la forme imaginaire simple A -f- B v'— i est un principe non justifié, qu'il en est par conséquent de même de toutes les conséquences qu'on voudrait déduire de ce principe, et

qu'en particulier il n'est pas exact de prétendre que ^'—\ est réel. Cette dernière expression constitue donc une espèce à part, non représentable par les autres formes connues et déjà étudiées, soit réelles, soit imaginaires, et ne saurait par conséquent être exclue de ce chef de la possibilité de devenir l'équivalent algébrique de la double perpendicularité de l'axe des z sur ceux des x et des r.