CHAPITRE DEUXIÈME

VALEURS DES LIGNES TRIGONOUÉTRIQUES DES ABCS, SOIT PERPENDICULAIRES A UN PLAN DE RASE, SOIT INCLINÉS SUR CE PLAN. — DÉTERMINATION DU DIRECTIP ALGÉBRIQUE d'uNE DROITE EN FONCTION DE SA LONGITUDE ET DE SA LATITUDE. — EXTENSION DU THÉORÈME DE MOIVRE.

Sommaihe. >- XVI. ÉquiYalenU algébriques des directions des droites situées sur les plans des coordonnées. Premières observations sur les différences qui existent entre ces trois sortes d'expressions. — XVII. Détermination des cosinus et sinus des arcs qui, partant de l'origine commune, sont inclinés sur le

plan de base et reyètent la forme a-h^y—i. — XVIII. Les valeurs ainsi obtenues sont en parfait accord avec les principes déjà établis. — XIX. Erreurs des géomètres au sujet de l'évaluation de cos(a + /9 ^ — i) et de

8În(flc-h^^— i). — XX. Détermination du direct! f des droites en fonction de leur longitude et de leur latitude. — XXI. Observations sur la constitution algébrique des directifs des droites. Caractères auxquels on reconnaît qu'un

trinôme A -+-B y — i -H C y — « e*t un directif, propriétés qui en résultent. — XXII. Directifs des perpendiculaires aux droites qui sont situées sur les plans des coordonnées. — XXllI. Directif d'une perpendiculaire à une droite quelconque dans l'hypothèse où la perpendiculaire est située dans le même méridien que la droite. — XXIV. Confirmation de la valeur obtenue pour le directif d'une droite par la considération des arcs dirigés. — XXV. Observation sur les procèdes mis en œuvre pour rétablissement de la formule de Moivre dans le cas où l'exposant est réel et positif. — XXVI. Examen du cas dans lequel l'exposant est réel et négatif. — XX VU. Extension de la formule

au cas où l'exposant est imaginaire de la forme "àzmyj — i . — X XVIII. Rédexions sur les erreurs auxquelles on peut être conduit en cette matière, lorsqu'on cède à l'entraînement des considérations analogiques.

Mous allons maintenant revenir à ce qui concerne plus spécialement les directions; mais il importe, avant de nous occuper d'une direction quelconque, de passer en revue ce qui s'applique plus particulièrement à celles qui sont situées dans les trois plans des coordonnées. Non-seulement ces premières

éludes nous conduiront plus facilement à l'intelligence du cas général, mais elles nous donneront Toccasion de nous éclairer sur les rapports qui lient entre elles les expressions algé-

briques dans lesquelles entrent di i , dt ^— i , ± ^— i , soit séparément, soit simultanément. Dans l'ignorance où Ton était de la signification des deux dernières formes, ces rapports ont été ou peu étudiés ou mal compris; mais, à l'aide des corrélations» désormais bien établies, de ces formes avec les propriétés géométriques des perpendicularités, tout ce qui se rattache à ce sujet va se simplifier. Nous pourrons ainsi formuler avec précision des principes qui nous permettront de rectiQer des erreurs, ainsi que nous avons déjà eu occasion de le faire, ou de généraliser certaines vérités qui n'ont été afûrmées jusqu'à ce jour que dans quelques-unes de leurs particularités.

En ce qui concerne le plan des xjr, ce travail est déjà accompli ; l'étude que nous avons faite des directions dans le plan est complète. Elle consacre ce fait principal que, dans ce plan, la direction répondant à l'angle a a pour équivalent algébrique cosa-i- v/— i sina, et que, tandis qu'en Géométrie le passage d'une direction à l'autre, par exemple de celle de a à celle de a augmenté de (3, se fait par l'addition des arcs en Algèbre elle s'obtient par la multiplication des deux facteurs directifs cosa + ^—i sina et cos|3 -h y — ' sinjS correspondant à chacun de ces arcs. Nous verrons plus tard quelles sont les modifications que les propriétés géométriques des directions dans l'espace viennent introduire dans ce principe.

Tout ce qui se passe dans ce premier plan des coordonnées s'applique aux arcs positifs et négatifs exclusivement et complète ce qui les concerne.

La considération des arcs dbav^— i, c'est-à-dire de ceux qui, à partir de l'origine des arcs, au lieu de rester confinés dans le plan des xy, s'élèvent perpendiculairement au-dessus ou au-dessous de ce plan, nous a conduit à l'examen de ce qui concerne le plan des xz. Nous avons vu que l'expression gé-

nérale d'une direction dans ce plan est cosa -4- ^—i sina. Si l'angle a est nul, elle se réduit à + 1, ce qui est la direc-

tion de l'axe de x. Si cet angle est droit, l'expression de la

direction devient V— < > de sorte que, dans ce plan, au point de vue de la double perpendicularité dont jouit l'axe des z, par rapport aux x et aux y^ nous voyons que Topéraiion de faire un angle droit sur la direction + 1 est algébriquement

représentée par le facteur V—* . Une seconde opération

semblable aura donc pour expression le produit de ^— i

par v^—i , ce qui donne ^— i ou — iv^. Mais comme, à l'aide de cette double opération, on arrive au négatif de la direction primitive, c'est-à-dire à — i, il s'ensuit que nous

sommes autorisé à considérer — i v^ comme étant égal à Tunité négative. En continuant d'ailleurs cette construction d'angles droits, la quatrième nous ramenant à la direction primitive sera représentée par v^— i ou -h i ^' : nous sommes donc également autorisé à dire que iv^~' est égal à l'unité positive. Cet exposant >l--\ , tout en n'altérant pas les directions positive et négative prises ici comme ligne de départ, aura l'utilité d'indiquer qu'au lieu de considérer celte direction comme appartenant au plan des xy^ on veut la considérer comme faisant partie de celui des xz. C'est d'ailleurs la seule qui soit commune aux deux plans, puisque c'est suivant elle que se fait leur intersection. Nos recherches ultérieures ne feront que confirmer les observations que nous présentons ici. Dans le plan qui nous occupe, comme dans celui des xy^ le passage d'une direction à une autre se fera algébriquement en prenant le produit des deux facteurs directifs

cosa-»-^— I sina et cos|3 -4- ^— i sin^ correspondant i chacun des arcs ajoutés. Il est évident, en effet, au point de

vue géométrique, que, les deux arcs ocyj—i et Pv^— ' étant dans le même plan, la direction correspondant à leur somme sera

cos(a-f- P) H- \/— I sin(a-f- P), et tel est en effet exactement le produit des deux facteurs ci-

dessus signalés. Cette propriété ne 5*applique d'ailleurs qu'aux plans des xy et des xz^ et nous ne manquerons pas d'indiquer dans la suite les faits géométriques qui l'expliquent dans ces deux circonstances et qui Finfirment dans toutes les autres.

Passons maintenant au plan des yz. Dans ce plan, les arcs sont comptés à partir de l'extrémité des y positifs; comme dans le précédent, ils s'élèvent perpendiculairement au-dessus de lui, passent d'abord par l'extrémité des z positifs, puis par celles des y et des z négatifs et viennent enGn rejoindre le point de départ. Il semblerait au premier abord résulter du fait de leur perpendicularité sur le plan de base que, comme précédemment, ils doivent être représentés par

ayf^\ mais II y a cette différence entre les deux cas que, pour le plan des xz^ ils partent de Torigine même à partir de laquelle on mesure tous les arcs, tandis que pour le plan des xz^ et au point de vue de cette origine, ils en sont séparés par un angle droit compté sur la circonférence de base, de sorte qu'en réalité la représentation algébrique des premiers

est a ^— I et celle des seconds est — ha v^— i . De là une différence essentielle entre la supputation des directions correspondant aux uns et aux autres. Ce cas est au reste une particularité de l'expression générale des directions sur laquelle nous ne manquerons pas de revenir après que nous aurons traité le problème dans son ensemble.

Quant à présent, nous nous bornerons à déduire la représentation algébrique des directions dans le plan des yz des faits géométriques aussi simples que directs qui se rapportent immédiatement à sa situation.

Ayant pris dans ce plan, à partir de l'extrémité de r, un arc a, et ayant joint l'origine avec l'extrémité de cet arc, on aura une direction faisant un angle a avec l'axe des y. Au point de vue des grandeurs, celle du cosinus de cet angle sera cosa, celle du sinus sera sina. Quant aux directions, celle du

cosinus sera celle des^, c'est-à-dire v^— i , celle du sinus sera

celle des z, soit v'— » > de sorte qu'au double point de vue

du continu et du directif, l'équivalent algébrique cherché sera

v/— I cosa-4- v^^^ sina.

Dans le plan deso:/, aussi bien que dans celui des xz^ nous venons de voir que la direction correspondant à la somme de deux arcs s'obiient algébriquement par la multiplication des facteurs directifs de ces arcs, et l'on pourrait être tenté par analogie de croire qu'il doit en être de même dans le plan des yz. Ce serait là une erreur contre laquelle il est utile de se prémunir dès l'abord.

Au point de vue des considérations géométriques, la direction correspondant à a + p dans le plan des yz devra être évidemment

v/— icos{«-4- (3)-i- v'— I sin(a-h P),

puisque nous venons de reconnaître que telle est la forme que doit revêtir la direction pour un tingle quelconque dans ce plan. Or on vérifiera que le produit des facteurs directifs de

a et de p, c'est-à-dire le produit de v^— i cosa -+- v~i sina

par v^'— I cosjî + v'— » sin (3 est

— cos(a— p) 4- V--Ï sin(a-4- j3),

expression qui, dans aucun cas, ne peut être égale à la précédente.

Il y a donc à cet égard une différence essentielle dans les lois algébriques qui régissent les directions dans le plan des yz et celles qui leur sont applicables dans les deux autres plans des coordonnées. Nous verrons plus tard, avec tous les détails nécessaires, à quoi tient cette différence et nous traiterons cette question non-seulement pour les directions spéciales qui nous occupent ici, mais pour toutes les autres. Nous nous bornerons, quant à présent, à faire remarquer que, s'il existe à ce sujet une loi algébrique commune, pour les plans des xy et des xz, c'est qu'il y a aussi des faits géométriques communs à ces deux plans ; car, dans l'un et dans

l'autre, c'est la direction + i qui est le point de départ de la supputation de toutes les directions, et en outre les arcs, toujours perpendiculaires à cette direction, y sont comptés â partir de leur origine commune qui est l'extrémité de Taxe des X.

Dans le plan des xy au contraire, le point de départ des arcs

spéciaux à ce plan est distant de - de leur origine commune,

et toutes les directions y sont comptées à partir de celle représentée par v^^^ au lieu d'être rapportées à la direction primitive + 1. On conçoit donc que de telles diiférences dans les faits géométriques peuvent et doivent produire des modifications dans les moyens algébriques à mettre en œuvre. Nous verrons plus tard comment toutes ces choses se lient les unes aux autres.

Jusqu'à présent les arcs dont il a été question, se trouvant situés dans les plans mêmes des coordonnées, constituent une grande exception et s'appliquent à des catégories de direction particulières. Occupons-nous maintenant de ceux qui peuvent être propres à caractériser une direction quelconque.

Il résulte des principes géométriques du parallélisme que la direction d'une droite quelconque sera la même que celle de toute autre droite qui lui sera parallèle. Cette circonstance nous permet de simplifier nos recherches et de les réduire à la détermination du coefficient directif des droites partant de l'origine, puisqu'à une droite donnée on peut toujours mener une parallèle passant par ce point.

Cela posé, soient 0 {fig. i) l'origine, Qx et 0/ les axes des X et des y et concevons toujours une sphère ayant son centre à l'origine et l'unité pour rayon. L'intersection de cette sphère par le plan des xy est représentée sur la figure par la circonférence ABC, et, comme précédemment, c'est à partir du point A, où l'axe dès x rencontre la sphère, que seront comptés les arcs.

Une droite quelconque parlant de l'origine percera la sphère

en question en un ceruin point P. Par cette droite et par l'axe des Xf faisons passer un plan qui coupera la sphère suivant un arc de grand cercle AP partant de A, origine commune des arcsi et aboutissant au point P. Cet arc, dans son plan OPA,

Fig. I.

aura un sinus et un cosinus, et, s'il était perpendiculaire au plan de base, nous savons qu'en grandeur et en direction soi^

cosinus serait cosAP et son sinus y-- 1 sinAP. Mais son obliquité doit nécessairement modifier ces conséquences, et nous nous proposons de rechercher ce que peuvent être ces modifications. Dans ce but, nous allons tâcher de ramener la détermination de ces cosinus et sinus dirigés à celle d'éléments angulaires rentrant dans la catégorie de ceux déjà étudiés, c'est-à-dire d'arcs, ou situés dans le plan de base, ou perpendiculaires à ce plan.

A cet effet, soit projetée sur le plan de base en Ofi la droite donnée OP ; le plan projetant coupera la sphère suivant un arc de grand cercle PB que nous désignerons par p et que, par rapport au plan de base, on peut appeler la latitude du point P. Nommons ensuite a l'arc AB ; cet arc, par rapport au plan des xz^ sera la longitude du point P.

Or c'est un fait géométrique évident que, sur la sphère, en parlant du point A et suivant le chemin curviligne AP, on arrivera au point P, comme on y serait arrivé en suivant d'abord l'arc AB et ensuite Parc perpendiculaire BP. II ne résulte pas de là que la longueur de l'arc AP est égale à la somme des longueurs des arcs AB et BP, mais que cette longueur com-

binée avec les inflexions successives que lui impose la Géométrie est l'équivalent de la somme des longueurs AB et BP parcouraes égalemeni en teiMini compte des inflexions qui leur sont propres.

Mais, d'après notre manière de compter les arcs, AB dirigé

étant représenté par a, BP dirigé doit l'être par (3 ^— i; d'où il résulte que, dans les conditions de la situation géométrique faite à l'arc AP, conditions que, pour éviter toute confusion, nous pouvons résumer dans le symbole APdirigé, on doit avoir

AP dirigé = a -h jâ v^^;

il s'agira donc maintenant de déterminer, tant en grandeur

qu'en direction, les cosinus et sinus de a 4- Pv^— i •

A cet effet, projetons le point P sur le plan de base; cette projection tombera au point P' de OB ; puis menons P'P''pe^ pendiculaire à l'axe des Xy et joignons P avecP''.

Comme il résulte de celte construction que PP^ est perpen* Iliculaire à OA, il s'ensuit, d'une part, que OP'^ est, en grandeur et en direction, le cosinus de PA ou de a-4-pV^— i; d'autre part, qu'également en grandeur et en direction PP^en est le sinus.

Il en résulte en outre que la direction du cosinus est celte même de Taxe des x ; déterminons sa longueur. Or, d'après la figure, OP*' étant la projection de OP', on aura

cos(a -h (3 v^) = OP' cosa.

D'ailleurs OP' étant le cosinus de (3, il viendra définitivement

cos (a -h p \/— i) = cosa cos(3.

De là on conclura que, quant à la grandeur seulement, on doit avoir pour le sinus

sin(a-f- Pv""^) = V^'-~ cos^acos'P,

ce qui, au surplus, se déduirait du triangle OPP^ rectangle en P'.

Disons maintenant ce que sont les directions.

Quant au cosinus, nous venons de constater que sa direction est celle de l'axe des x; son coefficient directif sera donc

±1, suivant que l'arc a -+- pV— ' pf>s, posUtvement ou négativement, sera plus petit ou plus grand qu'un angle droit.

Pour le sinus, les choses, sans se passer aussi simplement, ne présentent pas de difficulté.

Si l'on désigne par x le coefficient inconnu de la direction du sinus, le chemin dirigé P^P aura pour valeur

a7Sin(a-t- j3 V^— i) ou xyji— cos'ôTcos'P;

or ce chemin doit être égal è P'^P' dirigé -+- Y ^ dirigé ; maïs, parce que P^F est perpendiculaire à l'axe des^r, on aura successivement

P''PV/ri^é=v~iP''P' = v~«OP'c<>sOP'P' — V~ïCospsina.

D'ailleurs PP' dirigé est évidemment égal à v^— i sinp; on aura donc l'égalité

x\j\— cos'acos'P = \l—\ cos^sina-t- v^— i sin^, de laquelle on déduit

y/— I cosp sin a -t- y/— i sin(3

V^i — cos*acos'(3

Tel est le coefficient de direction de sin (a -4- Py/— ij.

Nous aurions maintenant à faire usage des valeurs que nous venons de déterminer dans l'article précédent pour arriver à la connaissance de l'équivalent algébrique des directions dans l'espace ; mais, avant de procéder à cette recherche, il nous paraît nécessaire de présenter des observations sur deux con« séquences auxquelles conduisent ces valeurs et qui, pour n'être qu'accessoires, n'en sont pas moins importantes. Lorsqu'il s'agit de théories nouvelles, cet examen de certains détails est d'autant plus utile qu'en même temps qu'il peut servir à confirmer la vérité des principes et à fixer les idées sur les

procédés à suivre pour en faire usage, il est aussi irès-propre à dissiper les doutes et les erreurs qui ont pu s'introduire sur quelques points délicats de la Science.

La première observation que nous avons à faire a pour objet de constater que Texpression algébrique ci-dessus de

sin(a + Pv^— i) est bien conforme à une des lois qui régissent les directions dans le plan.

Si Ton suppose pour un instant que Ton transporte l'origine au point P'' et si Ton considère le plan qui, passant par P% est perpendiculaire à l'axe des Xy on remarquera que le

sinus de a + (3 v^— i est situé dans ce plan et que, par conséquent, l'expression de sa direction doit revêtir tous les caractères propres aux directions planes. Or nous avons déjà constaté que l'expression de toute direction qui est dans ce cas, pour être rationnelle et acceptable, doit jouir de la propriété que la somme des carrés des grandeurs ou des rapports de grandeurs qui y figurent est égale à l'unité. Il faut donc dans l'espèce actuelle que la somme des carrés des quantités qui

multiplient les signes directifs ^—x et y — i soit égale è I ; qu'on ait par conséquent

sin'P -4- cos'P sin'a = i — cos*a cos'(3.

Or il est très-facile de se convaincre que c'est ce qui a lieu en effet, de sorte que l'expression ci-dessus possède bien à cet égard le caractère essentiel d'une direction.

Remarquons en outre, toujours au point de vue directif, que les deux expressions

cos(3sin« sin(3

v/i — cos'acos'P V^i — cos*acos'P

doivent être équivalentes, la première au cosinus d'un certain angle, la seconde à son sinus, ledit angle devant se trouver dans le plan qui, passant par P'^ est perpendiculaire à l'axe. En conséquence, si l'on désigne par x cet angle encore inconnu, la direction du sinus pourra être représentée par

V^— I cos:c 4- sj— I sm X.

Or ce type, ainsi que nous l'avons établi à l'article XVI, est précisément celui des directions tracées dans le plan des/z, puisque, dans ce plan, tous les cosinus sont perpendiculaires à l'axe des x et tous les sinus parallèles à celui des 2. Il faut

donc que la direction de sin(a + |3^— i) soit parallèle au plan des yzy et c'est ce qui a lieu en effet, puisque ce sinus est perpendiculaire à l'axe des x.

Tâchons maintenant de déterminer l'angle x, A cet effet, nous remarquerons que, le sinus de a + ^ v^~ i étant parallèle au plan des/z, sa projection sur ce plan aura même direction que lui, de telle sorte que, si 0 est l'angle que fait cette projection avec l'axe des j, sa direction sera

V^— 1 COS0 -h v^— I sin0,

d'où il suit que x est nécessairement égal à 0« Or 6 est à son tour égal à l'angle PP^P' que fait avec le plan de base celui qui, passant par l'axe des x^ contient la direction OP ; il faut donc que nous ayons les égalités suivantes :

cosp sina

cosPP''P' = cose =

sinPP"P' = slnO =

V^i — cos'acos'P sin|3

Vi — cos'acos'P

C'est ce que la Hgure ci-dessus permet de vérifier avec la plus grande facilité.

L'accord le plus parfait existe donc entre ces diverses considérations.

La seconde observation que nous avons à présenter a pour objet le redressement de quelques erreurs.

Les géomètres, sans toutefois y être autorisés par des démonstrations, agissent comme si les formules qui donnent les sinus et cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs, lorsque ces arcs sont réels, continuaient d'être applicables au cas où, l'un des arcs étant réel, l'autre devient imaginaire. Ils

écrivent en conséquence (t;oi> l'ouvrage cilé deNavier, p. 1 16)

cos(a-+-j3\/— i) = cosacos((3v/— i) — sina sin((3^— i), sin(a-+- j3\/— i) = sina cos(j3v^— i) -i-cosasîn(p v^— i).

Or ces formules dans lesquelles on a cru pouvoir faire figurer des arcs imaginaires, sans savoir ce que peuvent être de pareils arcs, ces formules dont de simples déductions analogiques ont fait tous les frais de découverte ont le double tort de n'être ni justifiées ni vraies. Il résulte évidemment des démonstrations directes que nous venons de donner que les valeurs qu'elles indiquent pour les sinus et cosinus de a + [3 ^^i doivent être remplacées par celles auxquelles nous ont conduit les considérations précédentes, basées sur la véritable signification de la forme imaginaire.

Mais il ne suffit pas de signaler une erreur, il est encore très- utile de faire connaître pourquoi on l'a commise.

Or nous dirons à ce sujet que si les deux arcs sont réels,

s'ils sont tous deux imaginaires de la forme Q^ — i, les formules trigonométriques ordinaires de leur somme ou de leur différence seront applicables; mais, si l'un des arcs est réel et l'autre imaginaire, il n'est plus possible qu'il en soit ainsi, et voici les motifs de cette distinction.

Il faut remarquer, en effet, que, lorsqu'on démontre les formules ordinaires qui donnent les valeurs de sin(a + ^), cos(a±: j3), on part de ce principe, que les arcs a et p s'ajoutent à la suite l'un de l'autre ou se retranchent sur une même circonférence. Les figures géométriques qui résultent de cette manière de procéder présentent alors des rapports tels entre les diverses lignes dont elles se composent, qu'on en déduit les valeurs connues decos(adi{3) etde-sin(a±:p}. Or que ces additions ou soustractions des deux arcs à la suite l'un de l'autre s'opèrent dans le plan de base, auquel casa et |3 sont réels, ou dans un plan qui lui est perpendiculaire, auquel cas a et j3 sont tous deux imaginaires, cela ne changera absolument rien aux rapports de grandeur dont nous venons de parler; car, pourvu que l'addition ou la soustraction des arcs s'opère sur la même circonférence, quelle que soit la situation

de son plan, les figures en question resteront identiques pour toutes ces circonférences.

Mais si, au lieu d'additionner les arcs en les portant à la suite Tun de l'autre dans un même plan, on les ajoute perpendiculairement l'un à l'autre, c*est-àdire si l'un est réel et l'autre imaginaire, n'est-il pas évident que les nouvelles formes géométriques qu'on obtiendra seront complètement différentes des précédentes? Dans ce cas, des figures à trois dimensions viennent se substituer à des figures planes, et les rapports des lignes qui les copnposent cesseront d'élre les mêmes que ceux des Ogures primitives. De là des résultats distincts des premiers non-seulement par la nature différente des éléments qui y entreront, mais encore par la manière dont ils seront appelés à y fonctionner.

Que faudra-t-il donc faire dans ce cas pour connaître les véritables formules? Étudier k nouveau les rapports des lignes qui entrent dans les figures actuelles et conclure les valeurs cherchées de ces nouvelles études. C'est ce que nous venons de faire, et l'on a vu que, quant aux grandeurs, on parvient aux résultats suivants :

cos(a -f- Pv^— i) = cosacos(3, sîn(a -*- pV~"0 = \/ï — cos'acos='(3.

Nous sommes maintenant en mesure de procéder à la détermination algébrique d'une direction quelconque dans l'espace. En effet, a et |3 étant, conformément aux définitions précédentes, les éléments angulaires qui servent à la détermination géométrique de cette direction, celle-ci ne sera autre

chose que celle correspondant à l'angle a -f- (3^— i . Or le directif du cosinus étant le même que celui de Taxe des j:, si Ton désigne par m celui du sinus, la direction cherchée sera représentée par l'expression

ros(a -h P^—i) -f-y3sin(a-+- (3 V'— ij,

qui, si Ton y remplace cos(a-hp^— ij, sin(a-f-pV^) et?; par leurs valeurs ci-dessus déterminées, devient finalement

cosacos^ -h v'— I cos|3sina -f- y — i sin(î.

Sous cette première forme, les trois termes réel, imagîDaire simple, imaginaire composé sont apparents ; ils représentent en grandeur et en direction les projections sur les axes de la longueur unité prise sur la direction proposée.

En donnant une autre forme à l'expression de la direction dans l'espace, sa raison d'être se manifeste pour ainsi dire d'elle-même. En effet, à ne considérer d'abord que le plan de l'angle p perpendiculaire à celui de base, la direction serait

cosp-hv — < sinP;

mais, parce que cos^, qui est sur le plan de base, s'y confond avec le second côté de l'angle a, sa valeur dirigée sera néces* sairement

cosp(cosa-l- v^— I sina),

et l'on devra par conséquent, en ayant égard à toutes ces conditions, obtenir l'expression suivante de la direction :

cosp (cosa -h \/^sina) -h v'^ sinp,

qui est exactement la même que la précédente.

On aurait encore pu dire plus simplement que, si Ç est le directif de cos(î, et si m est celui de sinp, l'expression de la direction sera nécessairement

$cos(3 -j-Yîsinp.

Or, lorsque (3 est nul, la direction devient celle de a sur le plan des xjr, c'est-à-dire cosa -h y^sina, et, comme aloif l'expression ci-dessus se réduit à ^, on devra avoir

I = cosa -h V — I sina.

D'un autre côté, lorsque (3 est égal à -i la direction devieni

celle de Taxe des z ou y — i ; d'ailleurs, dans ce cas, Texpression ci-dessus se réduisant à ri, on aura

d'où l'on déduit la valeur que nous venons de formuler pour l'équivalent algébrique de la direction.

Voyons maintenant comment cette expression générale coïncidera avec les expressions particulières auxquelles nous avons été conduit pour les directions situées dans les trois plans des coordonnées.

Lorsque Tangle (3 est nul, la direction vient se placer sur le plan des xy, par suite l'expression générale doit se réduire à celle de la direction plane relative à l'angle a; c'est ce qui a lieu en effet, puisque alors, cos|3 étant égal à i et sin|3 étant nul, il ne reste plus qu6

cosa-f v^— I sina.

Si, au contraire, c'est l'angle a qui est nul, on passe a une direction située dans le plan des xz, et l'on a, comme cela

doit être,

cos(3-hy— I sinj3.

Enfln, si l'angle a est égal à un angle droit, la direction vient se placer dans le plan des yz. Alors, cosa étant nul et sina étant égal à i, on a pour son expression

v'-— 1 cosp -h v^— I sin(3,

qui est en effet le type de celles appartenant à ce plan.

Toutes les coïncidences voulues du particulier au général sont donc conOrmées.

Lorsque, dans un précédent Ouvrage, nous nous sommes occupé des directions planes, nous avons signalé l'accord qui existe entre la conception que nous nous faisons de la direr-

lion ei sa représentation algébrique. Comme un pareil accord doit exister pour les directions dans l'espace, il n'est pas inutile de reproduire ce que nous avons dit pour les premières, en y ajoutant les extensions que la considération de l'espace rend naturellement nécessaires.

Voici comment nous nous sommes exprimé : a La conception naturelle que nous avons de la direction ne nous permet pas de comprendre qu'elle soit divisible; il nous est impossible de nous rendre compile de ce que serait une fraction d'une direction donnée. L'angle qui la détermine est évidemment susceptible d'être divisé ; mais ce que nous obtenons alors par ces divisions, ce sont des directions nouvelles, ce ne sont pas les diverses parties de la première. Une direction forme donc un tout unique et indéûni qui ne saurait être dépouillé de cette considération de l'infini, ce qui ne permet pas de pouvoir en prendre une partie; du moment où nous voudrions lui imposer une limite, ce ne serait plus la notion seule de la direction que nous aurions dans l'esprit, ce serait son association avec celle de longueur, et c'est sur celle-ci que devrait s'appliquer la conception du fractionne* ment ; toute idée d'augmentation ou de diminution est donc antipathique à la raison ; on ne peut que passer d'une direction à une autre, on ne les fractionne pas plus qu'on ne les multiplie.

» Il résulta de là qu'il devait être impossible que la représentation algébrique de la direction fût numérique ; car, s'il en avait été ainsi, en divisant le nombre nous aurions divisé la direction, ce qui ne se peut pas. Aussi, dans cette représentation, tout est rapport et opération : cosa est un rapport, sina est également un rapport, V^— i est une opération. En outre, ces deux rapports sont nécessairement liés l'un à l'autre; enfin tous ces rapports et opérations, pour une même direction, sont invariables et conviennent au même titre à tous les points en nombre infini qui appartiennent à cette direction, ils ne changent que lorsqu'on passe de l'une à l'autre. Il ne faudrait pas cependani dire qu'on peut concevoir qu'on prend la moitié, le tiers, le quart de cosa et sina; cela n'est pas impossible sans doute, mais ce qu'on aurait alors ne serait

plus une direction, car le caractère essentiel de la représentation de celle-ci consiste en ce que les deux parties réelles du binôme qui y est employé doivent être les cosinus et sinus d'un même angle. Or, si cosa et sina jouissent de celte pro-

-x^± cosa , sina ...... ,

prieté, et n en jouissent jamais, quel que soit m,

puisque la somme de leurs carrés ne peut devenir égale à i que lorsque m est égal lui-même à l'unité.

D II y a donc complet accord entre la conception que nous nous faisons de la direction et les formes algébriques qui la représentent : la première, par le prolangement infini de la direction, nous défend d'admettre qu'elle soit divisible, et les secondes à leur tour, lorsque nous voulons y introduire la division, perdent le privilège d'être les représentants des directions. B

Lorsqu'on généralise la question en la reportant du plan à l'espace, des observations analogues doivent exister. On voit que, en effet, l'équivalent algébrique de la direction ne contient que des rapports et des opérations, savoir: cosa, sina,

cosp, sînp d'une part; ±1, di v— i» =±= y — i de l'autre. Pour une même direction ces rapports sont invariables ; on les retrouve les mêmes, quel que soit le point d'une direction qu'on voudra considérer. Ils ne varient que lorsque l'on passe d'une direction à une autre ; mais, une fois le passage opéré, ils reprennent pour celle-ci la même constance que pour la première.

Il ne faudrait pas croire d'ailleurs que tout trinôme de la

forme A -f- B v^—i -f- C v^— 1 est susceptible de représenter une direction dans l'espace, pas plus que le binôme simple

A + B v^ — I ne peut être constamment l'équivalent d'une direction dans le plan. Nous avons vu que, de l'essence même de cette dernière, il résulte qu'un tel binôme ne saurait la représenter qu'à la condition que la somme des carrés de A et de B sera égale à l'unité.. Or, pogr les directions dans l'espace, il existe une propriété distinctive et caractéristique analogue, sur laquelle nous allons nous expliquer.

Nous avons déjà fait remarquer qu'en mettanl i'expressîon d'une direction sous la forme

cosacos(3 -h V~t cosjîsina -4- v--T sinp,

les trois termes réel, imaginaire simple et imaginaire composé représentent en grandeur et en direction les projections sur les axes de la longueur unité comptée sur la direction dont il s'agit. Or on sait que, si Ton considère ces trois projections au seul point de vue de leurs grandeurs, la somme de leurs carrés est égale au carré de la longueur projetée. On devra donc avoir dans le cas actuel

(cosa cos(3 )* 4- (cos(3 sina)^-f- sin'P = i,

ce qui, en effet, se vérifie immédiatement.

Ce principe étant d'ailleurs général, on voit que toute expression composée de trois termes, quoique ces termes fussent successivement affectés des signes d'opération ±:i,

±: v''— » » =t: v' — I , mais qui ne jouirait pas de la propriété ci-dessus relative à la somme des carrés des grandeurs qui y entrent, ne saurait être l'expression d'une direction.

Cette propriété nous donne un moyen de reconnaître, en toute circonstance, si la détermination de l'équivalent algébrique d'une direction est exactement formulée. Nous en ferons de nombreuses applications dans la suite.

Le point de doctrine que nous venons d'établir est d'ailleurs tout à fait concordant avec l'idée que la direction forme un tout indéfini, non susceptible de division ; car,, si l'on voulait introduire cette opération dans l'expression d'une direction, elle deviendrait

cosacosô , cosôsina , v^sinô

et, comme alors la somme des carrés des trois grandeurs qui y figurent cesserait d'être égale à Tunité, cette expression deviendrait par ce fait impropre à être l'équivalent algébrique d'une direction.

Mais nous pouvons affirmer, comme conséquence de ces ob-

servatîons, que tout trinôme de la formeA-hB^— i -f-Cv'— i peut être considéré comme une longueur dirigée, c'est-à-dire ' comme une association de Télémeni continu avec l'élément directif, éléments qu'il sera toujours possible de séparer l'un de l'autre.

Si, en effet, nous désignons par p la somme des carrés A'-f- B'-i-C% le trinôme dont il s'agit pourra s'écrire

Or en cet état le trinôme compris entre parenthèses, jouissant de la propriété que la somme des carrés des grandeurs qui y figurent est égale à l'unité, constitue l'élément directif,

tandis que ^p est le représentant de l'élément continu, c'està-dire de la longueur.

D'ailleurs, si, dans l'élément directif, on veut connaître en particulier la latitude ^ et la longitude a de la direction qu'il représente, on aura

cosa cos(3 = -r=» cos(3sinai= —=» sin[3 = -^*

La dernière donne directement la valeur du sinus de la latitude et l'on en déduit

cos(3 = y/i--^.

Substituant cette valeur dans les deux autres conditions, elles donnent

cosia =-===» sma =

On remarquera que la détermination de a peut aussi se

faire directement et très-simplement par la tangente, puis-

B qu on a tanga = ---«

SI, parexemplCyOn donnait le trinômei-f- 2^—1 H-Sy^— i

on aurait

On verrait immédiatement que tanga=:2, ce qui correspond à un angle d'environ 63^3o% et que sin^ a pour valeur -^ï soit 0,802, qui appartient à un angle de 53*»2o' environ.

En conséquence le trinôme en question représente une

longueur dirigée dont l'élément continu a pour valeur ^i4 ou 3,74», et dont l'élément directif est déterminé par une latitude de 53** 20' et par une longitude de 63** 3o',

Il n'estpas inutile de faire remarquerque,A,B,C étant les projections sur les axes de la longueur v//7, les trois expressions

-Tir» — =» -p sont les cosinus des angles que fait la direction SP \lp sp

donnée avec ces axes ; on conclut de là que, dans le cas particulier dont nous venons de nous occuper, ces cosinus ont pour valeurs successives 0,2673; o,5346; 0,8019, lesquelles correspondent à très-peu près aux angles 74^ 3o'; 57" 3o'; 36" 4o'- On vérifiera d'ailleurs que la somme des carrés de ces cosinus est en effet égale à Tuniié.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations. L'essentiel était d'établir les principes ; chacun sera ensuite en mesure d'en pratiquer facilement les applications autorisées.

Nous avons dû, au début de ce travail, nous occuper de rechercher les liaisons algébriques qui rattachent les unes aux autres trois droites perpendiculaires entre elles. Cette détermination était la base essentielle sur laquelle devaient nécessairement s'appuyer nos études ultérieures. Maintenant que nous sommes en possession de l'équivalent algébrique d'une direction quelconque, nous pouvons donner une plus grande extension au problème important de la perpendicularité et l'envisager à un point de vue général qui aura pour objet, une direction étant arbitrairement donnée, de lui me-

ner une perpendiculaire et de savoir comment l'élément dîreclif de celle-ci se déduira de celui de la direction proposée.

Mais une première observation se présente à ce sujet. Ce n*est pas un problème déterminé que celui qui consiste à mener une perpendiculaire à une droite donnée dans l'espace. On sait, en effet, que toute droite tracée dans un plan perpendiculaire à la première jouira de la propriété énoncée. Or nous ne savons encore rien des plans et de leurs éléments directifs, et nous devons, par conséquent, ajourner ce que nous avons à dire sur la question envisagée à ce point de vue. Nous simplifierons donc nos recherches actuelles en supposant que la direction donnée est située dans un certain plan, et que c'est pour ce même plan que nous voulons procéder à la recherche de la perpendiculaire.

Pour aller du simple au composé, nous examinerons d'abord le cas où ce plan est successivement celui des xy^ des xz et des yz.

La propriété géométrique de la perpendicularité, envisagée comme ne devant pas sortir d'un même plan, consiste en ce que sa direction est celle qui correspond à Tangle qu'on obtient lorsqu'on ajoute dans ce plan un angle droit à celui de la direction primitive.

Si donc a est l'angle primitif, a -f- - sera celui de la direc-

tion cherchée ; mais il a été établi que, pour le plan des xy^ l'élément directif répondant à la somme de deux angles s'ob* tient en faisant le produit des éléments directifs de chaque angle considéré isolément. Ici l'un de ces éléments est

TT

cosa -t-^— I sina, l'autre est cos--l- ^— i sin- qui se réduit

à V — ■ » ^^^ l'o^ ^^^^ qu'on peut poser pour règle que dans ce plan on passe d'une direction à sa perpendiculaire en multipliant son équivalent algébrique par /^. Ce résultat est d'ailleurs conforme au principe établi, que, dans ce plan, l'opération algébrique v^— i est le représentant de l'opération géométrique qui consiste à faire un angle droit. Passons au plan des xz. Nous avons vu que les directions y

sont représentées par c.osa -f- v^— i sina; dès lors i'élémenl direciif de la perpendiculaire sera

cosfa -f--) -h sf^ sin (a H- - ]•

Or nous avons constaté, à l'article XVI, que pour ce plan,' comme pour le précédent, l'élément directif répondant à la somme de deux angles s'obtient en faisant le produit des éléments directifs de chacun de ces angles considérés isolé-

ment. Ici l'un des éléments est cosa -f- ^— i sina, et l'autre cos - -h \l—i sin -> qui se réduit à J— i . On voit donc

qu'on est autorisé à dire qu'on passe, dans ce plan, d'une direction à sa perpendiculaire, en multipliant son équivalent

algébrique par y— i • On remarquera encore que ce résultat est tout à fait conforme au principe établi que, dans ce

plan, l'opération algébrique y — > ^st le représentant de l'opération géométrique qui consiste à faire un angle droit.

Occupons-nous enfin du plan des 7^. 11 a été constaté à l'article XVI que, dans ce plan, l'expression des directions est

y — 1 cosa -f- y— i sina, quel que soit a. Or, lorsqu'on veut

passer à la perpendiculaire, cet angle devenant a -f- -» on

aura pour l'équivalent algébrique de cette perpendiculaire

y'— I cos (a -h- ) -4- V— I sin(a-f-- j-

Mais, dans le cas actuel, il n'est plus possible de faire usage du principe que l'élément directif de la somme de deux angles est égal au produit des cléments directifs de chaque angle considéré isolément, puisque nous avons établi que, pour le plan des jjz, ce principe n'existe pas. Il faut donc déduire la valeur cherchée de l'expression ci-dessus, en y remplaçant

directement cos (a 4- - j par — sina, et sin (a -h - j par cosa;

on obtient ainsi, pour le directif de la perpendicularité dans ce plan, l'expression

— V^— I sina H- y^— i cosa.

Nous avons tacitement supposé dans ce qui précède que l'angle a «st aigu ; mais on vérifiera facilement que les règles ci-dessus sont applicables, quel que soit le cadran qui, dans chaque cas, contiendra la direction primitive.

On voit donc que, pour les deux premiers plans des coordonnées, c'est à l'aide d'une opération algébrique fort simple qu'on passe d'une direction à sa perpendiculaire. Cette opération consiste à multiplier l'expression de cette direction par

le directif v'—i dans le premier cas, par le directif v^— i dans le second. Pour le plan des yzy un procédé analogue n'existe pas ; il n'y a pas de facteur qui, multipliant le directif

donné sj—i cosa H- y — i sina, puisse donner pour produit

— V^— I sina 4- sj—i cosa, ou du moins il n'y a pas de facteur exprimant une direction appartenant à ce plan qui jouisse de cette propriété. Ainsi, même avant d'aborder le cas général et sans sortir des spécialités, l'analogie avec les deux premiers cas cesse d'exister, nouvelle preuve de la nécessité qu'il y a en Algèbre de se tenir toujours en méflance contre ce qui n'est qu'induction.

Mais, si la voie de la multiplication, telle que nous l'avons définie et appliquée pour les deux plans des xj et des xz^ nous

fait défaut pour celui des/z, on peut se demander si une autre opération algébrique, différente de la multiplication et pra-

tiquée comme elle sur v^— i cosa -h ^/— i sina ne serait pas susceptible de produire l'équivalent de la perpendicularité dans ce plan. C'est une question qu'il serait prématuré de chercher à traiter en ce moment. Nous nous bornons à en consigner ici l'énoncé, et nous y reviendrons lorsque les études que nous allons poursuivre auront augmenté le contingent de nos connaissances.

Envisageons maintenant la perpendicularlté à un point de vue plus général. A cet effet, une* direction quelconque étant donnée, nous la concevrons située dans un plan perpendiculaire à celui des jr/ que nous continuons de considérer comme notre plan de base. L'intersection de ces deux plans représentera sur ce dernier la direction répondant à la longitude a, et la droite donnée fera, dans le plan vertical qui la coniient, avec l'intersection l'angle ^ que nous avons appelé la latitude.

Or le caractère géométrique auquel on reconnaîtra que, dans ce plan, une droite est perpendiculaire à la proposée, consistera en ce que cette droite est angulairement distante de la première de 90 degrés ; elle aura donc même longitude

qu'elle, et, quant à sa latitude, elle sera égale à (ÎH — - Ces

deux éléments étant ainsi déterminés, la direction de la perpendiculaire sera algébriquement représentée par

cosf (3 -h - j(cosa-f-\/^sina) -h y^^ ~'sin((3 -h -]•

Mais cos ( (3 -4- - j est égal à — sin p et sin ( (î -4- - j a pour

valeur cos|3; dès lors l'expression de la perpendiculaire devient

— sin(3(cosa -+- ^— i sina) -4- v^— i cosp.

Cela revient, comme on voit, à remplacer dans la direction primitive le cosinus de la latitude par son sinus pris négativement, et à substituer au sinus de cette même latitude son cosinus. Ce nouvel énoncé n'est autre chose que la traduction autorisée de la règle générale ci-dessus énoncée, en vertu de laquelle, pour avoir la perpendiculaire, il faut, sans changer

la longitude, augmenter la latitude de -•

Ce procédé, déduit de ce qui concerne l'expression d'une

direction quelconque, est nécessairemenlgénéral. On vérifiera sans peine, en ce qui concerne les deux plans veriicaux des xz et des x^> ^}l'\\ conduit à des conséquences identiques à celles que nous avons constatées dans l'article précédent. Nous n'avons donc rien à ajouter à ce sujet au point de vue

des résultats obtenus ; mais, au point de vue de l'esprit des méthodes, il y a une observation intéressante à faire touchant le plan des xz.

Nous avons vu que, dans ce plan, et par exception, le directifde la perpendiculaire s'obtient à l'aide de la multiplication du directif proposé par le facteur y^— i^ . Si Ton examine en détail les effets de cette multiplication sur le binôme

C0SJ3-I- v/— I sinj3, on voit que, dans ce qu'ils ont d'apparent et d'immédiat, ces effets peuvent s'exprimer en disant

que le coefficient v^— i change de place. La multiplication, en effet, le transporte du sinus, auquel il était primitivement associé, au cosinus, et il en est de même du coefficient -h i du premier terme, lequel passe à son tour au second, mais en changeant son signe, qui de positif devient négatif. Telle est bien la conséquence de la multiplication du binôme ci-dessus

par v/— I ; mais 11 importe de remarquer qu'une telle manière d'envisager les choses n'est acceptable que pour la spécialité qui nous occupe, qu'elle n'est pas la conséquence naturelle du procédé général, et que, si en fait elle lui est équivalente quant au résultat, elle en diffère essentiellement quant à la conception des moyens propres à ce procédé; elle s'en écarte à ce point que, loin d'en indiquer la nature, elle la dissimule sous des formes qui lui sont tout à fait étrangères. __

En effet, la direction cosj3-+-V— » sinj3 étant donnée dans le plan des xz^ l'esprit de la méthode géométrique et générale pour obtenir la perpendicularité est de substituer

(3 -f- - à l'angle (3, ce qui donne

cos

Or on voit que, sous celle foi*ine, les coefficients i cl

^—i ne changeni pas de place; lis restent chacun à celle qui leur a été primitivement assignée : ils s'appliquent toujours Tun à un cosinus, l'autre à un sinus. Ce sont ces derniers au contraire qui, par le fait du changement de ô en ô + - 9

prennent, quant aux grandeurs, la valeur l'un de l'autre, mais sans quitter leurs positions.

Tel est le vrai sens sous lequel il faut envisager ce qui se passe ici. Nous avons tenu à faire cette observation, parce que, après avoir remarqué qu'il y a pour le plan des xz un coefQcient constant de perpendicularité, on aurait pu, par analogie, être conduit à penser qu'il pourrait bien y en avoir aussi un pour le cas général, et que la recherche de celui-ci, au cas où l'on voudrait l'entreprendre, devrait être poursuivie dans le sens d'une assimilation avec les effets remarqués dans le plan des xz.

On voit tout ce qu'il y aurait d'illusoire dans une telle conception analogique, et il importait de restituer aux règles à l'aide desquelles on passe d'une direction à sa perpendiculaire le véritable caractère que leur impriment les considérations géométriques dont elles sont la conséquence directe. Ce n'est pas en dehors de l'esprit de ces règles qu'il faut courir à la recherche de procédés algébriques qui leur seraient équivalents. Agir autrement ce serait se priver des moyens de découvrir les véritables concordances qui peuvent exister entre la science du calcul et celle de l'étendue.

Quant à savoir si, en effet, il existe des procédés algébriques équivalant à l'opération par laquelle en Géométrie

on substitue (3 -f- - à l'angle (3, nous avons établi depuis long-

temps que, dans le plan des x;^, la multiplication par ^^^ produit le même effet que cette substitution; nous venons de voir que, dans celui des xz, il en est de même de la mul-

tiplication par ^—i . Enfin nous parlerons bientôt d'une propriété analogue pour le plan des^z, mais qui consiste à employer l'élévation à la puissance V~» >au lieu de la multipli-

cation. En dehors de ces cas spéciaux nous ne pouvons que déclarer notre insuffisance.

Les idées étant ainsi bien fixées sur la manière dont il faut entendre et résoudre le problème général de la perpendicularite» nous nous trouvons en mesure de nous expliquer, en ce qui concerne les directions dans l'espace, sur leur représentation, non plus au moyen de lignes droites, mais au moyen d*arcs dirigés. Disons d'abord quelques mots sur la manière dont la question doit être comprise.

Si, sur notre sphère de rayon unité (voir la figure de la page 6i), nous prenons un point quelconque P et que nous le joignions avec l'origine 0, nous déterminerons une direction dont, ce et p étant la longitude et la latitude, l'expression algébrique sera

cosp(cosa-hv^— I sina) -h y^— i sinp.

Or il est bien certain qu'en partant de l'origine on peut également arriver au point P en suivant d'abord le chemin rectiligne I sur l'axe des ;r, puis le chemin circulaire a sur la sphère et dans le plan des xy^ puis enfin le chemin circulaire

^^-^ sur le méridien passant par P.

On ne pourrait cependant pas dire que la direction de OP

est égale à i -h a -4- (3v^— i , parce que, au point de vue algébrique, a et p ne représentent que des grandeurs, tandis que, au point de vue géométrique, au moyen duquel a et |3 nous conduisent au point P, il y a à la fois, dans l'une et dans l'autre de ces quantités, considération de grandeur et considération de direction. Il n'y aurait donc pas équivalence entre ces deux ordres d'aperçus ; mais, si nous tenons compte de la propriété complexe que possède tout arc d'être une longueur soumise à certaines inflexions, d'exprimer, par conséquent, une suite d'éléments continus ayant chacun sa direction, nous serons autorisé à dire que l'expression i -h a dirigé -+- (3 y^— i dirigé sera le représentant de la direction OP, et nous allons voir qu'en

effet, en nous rendant compte de ce que peuvent être en Algèbre les arcs a et |3^'— i dirigés, nous retomberons sur la précédente valeur de la direction.

Et d'abord, nous avons constaté, en nous occupant des directions planes, qu'on a

I H- a dirigé = cosa H- ^'— i sina ; il ne nous reste donc plus qu'à voir si Ton aura aussi

OP dirigé = cosa H- v^— i sin a -*- (3 y — i dirigé.

Il faut concevoir que, dans son méridien, l'arc P\^— i se compose d'une succession d'éléments linéaires qui changent à tout instant de direction. Ce sont ces divers éléments dirigés qui, ajoutés depuis le plan des xjjusqu'à rexlrémîtéde(3v^— i, représenteront ce que nous appelons (3 ^^--i dirigé.

Cela posé, lorsque, dans le mouvement de progression que nous concevons sur l'arc (3 y/— i à partir du plan des xy^ nous aurons parcouru un arc quelconque x, l'élément linéaire du très-petit arc suivant étant représenté par dx, sa direction sera celle de la tangente à la circonférence méridienne à Textrémité de x ; c'est-à-dire une direction perpendiculaire au rayon qui aboutit à cette extrémité.

En conséquence, d'après ce qui vient d'être expliqué dans l'article précédent, cette direction sera représentée par

cosix -f- -f 1 (cosa-f-/— I sina)-+- v^— I sin (wc -4- - j.

L'élément dirigé aura donc pour valeur Je produit de cette expression par dx^ et la somme de tous ces éléments, depuis X = 0 jusqu'à ^ = P, sera p ^'— i dirigé.

Nous pourrons donc écrire que la direction cherchée de OP est égale à

cosa-f-v^— I sina-H I 1 cos(a:4- -) (cosa -h v^— isina)

— I sinf JT -4- - I rfr,

le signe / indiquant la sommation de zéro à p.

Dans cette expression, a étant constant, on aura pour la première partie de celte somme

(cosa-+- v'^sina) / cos (f -+- - | rfx, et pour la seconde

v'— I I sinl j?-i- - j or.

Procédant à l'intégration et ajoutant, on irouve

(cos« -f- v^~sin «) Fsin f (î -f- -^ — sin -1

-s/=nr^'^[cos(p-K^^-cos^]; mais on a, d'une part,

sinfp ■+- f ) ^ cosp, cos ^p-h ^W- - sinjî;

on a, d'autre part

sin ~ .-^ I, cos - = o. a 2

Substituant, il viendra, pour le chemin dirigé ^ v^—i ,

COsp(cosa-HV'^sina) — (cosa-hv/^sina)-+-y^^ "'sin (3.

Mettant donc dans l'expression de la direction OP cette

valeur de (3 y^— i dirigé^ et remarquant que les deux termes de

signe contraire coscc-\-^J—is\ï\a se détruisent, on trouve définitivement pour la direction cherchée

cosp (cosa -f- v'— I sin a) -h y^— ï ' sin p,

ainsi que nous l'avons précédemment constaté.

La concordance de ces résultats obtenus par des moyens si différents ne peut que contribuer à confirmer la vérité des principes sur lesquels nous nous sommes appuyé ; elle est en

même lemps très-propre à donner une idée des ressources que TAigèbre peut offrir dans les investigations géométriques. Nous ajouterons, mais à titre d'indication générale seulement, que, de son côté, la Géométrie pourra très-grandement venir en aide à l'Algèbre dans certaines circonstances. L'espèce actuelle, par exemple, nous offre des expressions dans lesquelles les intégrales définies relatives au cercle sont combinées 'avec des équivalents de direction. Or des combinaisons analogues existeront pour toutes les courbes, soit planes, soit à double courbure; on entrevoit ainsi la possibilité d'utiliser cet ordre de considérations pour la détermination d'un grand nombre d'intégrales définies; mais nous ne saurions en ce moment faire autre chose qu'indiquer ce sujet. Les nombreux développements dont il est siisceptible nous écarteraient trop de la question principale qui doit ici plus spécialement nous occuper.

Les recherches dont nous venons de présenter l'exposé et les constatations diverses qui en ont été la conséquence nous permettent de préciser et d'étendre les idées qu'il faut attacher à l'une des plus curieuses et des plus importantes formules d'Algèbre, celle connue sous la dénomination de for^ mule de Moivre,

On sait que le théorème dont elle est la représentation consiste en ce que l'élévation à la puissance m du binôme

imaginaire cosa -hy^— isina s'obtient en multipliant par m l'angle a et que par conséquent on peut écrire

(cosa -h ^-— I sin«)"'= cosma -4- /— ï sin ma.

Les divers principes que nous avons établis pour les directions planes rendent fort simple la conception de cette vérité et sont en outre très-propres à nous diriger dans l'interprétation qu'on en doit faire pour les divers cas dans lesquels m peut se trouver. Il est d'autant plus important d'entrer en discussion sur ce sujet que les raisonnements qui s*y rattachent,

lels qu'ils sont ordinairement présentés par les auteurs» prêtent i la critique et sont de nature à donner des idées erronées sur le sens qu'il faut attribuer, soit aux quantités, soit aux opérations qui figurent dans la formule. Nous remarquerons d'abord que la signification du binôme

cosa -f- ^— I sina a été complètement inconnue à Moivre et' à ses successeurs, que par conséquent jusqu'à ce jour on n'a eu que la seule ressource des combinaisons analytiques pour s'éclairer sur les conséquences des diverses hypothèses qu'on a pu faire touchant les valeurs de m. Or ce moyen est d'autant plus dangereux que, ne possédant pas l'intelligence de ce que

représente un binôme de la forme cos<x + ^— i sina, on a été privé de tout contrôle dans l'usage qu'on a fait de ces combinaisons analytiques, et que, par suite, moins on a compris, plus on a été entraîné à procéder par voie d'induction et d'analogie.

Aujourd'hui on est en mesure d'éviter cet écueil. Sachant,

en effet, que le binôme cosa -h ^—i sina est le représentant algébrique de la direction correspondant à l'angle a, sachant en outre que c'est en multipliant entre eux les directifs de plusieurs angles qu'on obtient le directif de la somme de cesangles,

nous pourrons dire tout de suite que (cosa -i- v^—i sina)" représente la direction à laquelle on parvient après avoir ajouté m fois l'arc a, et que par suite cette expression est né-

cessairement égale à cos/na + ^— i sin ma.

On voit, d'après cela, que la formule de Moivre est la traduction en Algèbre d'un fait géométrique des plus simples, et ce rapprochement vient mettre entre nos mains un moyen de contrôle des plus précieux.

Tant que m est réel, entier et positif, l'application de la formule ne présente aucune difficulté. Dans ce cas, la valeur

de (cosa -h ^—i sina)"* est unique.

Mais, si l'on suppose que m, tout en restant réel et positif,

devient fractionnaire de la forme ~9 la question ne se présente

plus avec la même simplicité.

On remarquera d'abord que, dans ce cas, il suffira de savoir

ce qu'est (cosa -f- v'^^sinaj^, pour être édifié sur ce qu'il

faut penser de l'élévation à la puissance ^- Admettons, en

effet, qu'il soit établi que cette expression est celle d'une direction correspondant par exemple à l'angle 0, on aura donc

(cosa -4- ^—i sina)'^ = cosô-i- ^^sînfl.

Élevant alors à la puissance entière p^ on arrivera à cette conclusion que la puissance - de cosa + ^—i sina est égale à cospQ -4- ^—1 sinpO. Si, au contraire, il était établi que

(cosa -f- ^—i sina)^ n'est pas une direction, la question resterait incertaine, et il faudrait chercher à la résoudre par d'autres moyens.

Or il est très-facile de connaître la vérité sur ce point. En effet, une direction correspondant à un angle quelconque a

peut être considérée comme celle de l'angle - répété q fois; on devra donc avoir

(cos — h V—' sin -) = cosa -f-*/^^ sina, et, par suite, en extrayant la racine g, il viendra

(cosa -+■ v/— I sina)^ = cos- -h i/— i sin--

Il en résulte que l'angle 9 existe en effet et qu^l est égal i -« de sorte que finalement on est autorisé a écrire.

(cosa + v^— I sîna)^ = cos^a-4- iZ—Tsin^a,

La formule de Moivre s'applique donc au cas où l'exposant réel et positif est supposé fractionnaire.

Mais, tandis que, dans l'hypothèse où l'exposant est entier,

la valeur de (cos« -h /— T sina)* est unique, cette valeur devient multiple lorsque cet exposant est fractionnaire. En effet, un angle quelconque a étant donné, son cosinus et son sinus ne changent pas, quel que soit le nombre entier de circonférences qu'on ajoute à cet arc ; par conséquent

cosa-h^—i sina est exactement la même chose que

cos(a-4- 2/rir)H- ^— I sin{a -+- 2Ar7r).

Lorsqu'on élève cette expression à la puissance m, le résultai étant

cosm(âe -h 2A*7r) -f- ^—i s\nm(a -h nkn)

n'a qu'une seule valeur tant que m est entier, mais, s'il est fractionnaire, l'expression ci-dessus prendra autant de valeurs

distinctes que peut en recevoir la fraction -'i quand

on y fait varier Ar, c'est-à-dire le nombre q»

Dans ce qui précède, nous avons tacitement supposé que

la fraction ^ a ses deux termes entiers. Dans le cas où p e\q q ^ ^

seraient des nombres décimaux dont la partie décimale serait composée d'autant de chiffres qu'on voudra, on pourra toujours, en multipliant ces deux termes par une puissance convenable de lo, les ramener à être entiers, et l'on rentrera ainsi

dans le cas précédent ; mais on voit qu'alors le nombre de

valeurs que recevra (cosa-<- V~i sina)^ pourra devenir trèsconsidérable ; il serait même infini, au point de vue théorique, si l'une des parties décimales ne pouvait pas être écrite sous forme finie. Dans la pratique, on pourra toujours limiter ce nombre d'après le degré d'approximation auquel on sera convenu de s'arrêter.

Enfin, si l'exposant devenait une expression radicale ^m, m étant entier ou fractionnaire, il faudrait remarquer qu'en vertu de la généralité qui appartient à un tel radical, la ques-

tîon deviendrait multiple. En effet, au point de vue de cette

généralité, |x étant la valeur arithmétique de y^m et p\ ff p*, . . . , p" représentant les n racines de Tunité du degré n,

l'expression ^m aurait les n valeurs successives f£p\ fxpS ILç^^, . ., /xp". Or sur ces valeurs une seule, juip", qui se réduit à fx, est positive et réelle ; les autres sont toutes imaginaires lorsque n est impair, et, parmi celles-ci, une seule d'entre elles devient réelle et négative quand n est pair. Nous ne sommes donc pas encore en mesure de nous prononcer sur ce qui les concerne. Quant à la valeur /x, qu'elle soit entière ou fractionnaire, on lui appliquera les règles ci-dessus exposées.

Les considérations géométriques auxquelles nous venons de faire appel, au sujet de la formule de Moivre, impriment dès l'abord le caractère d'une grande évidence a la vérité qu'elle représente; mais elles possèdent en outre l'avantage de rectifler certaines indications inexactes données par les auteurs sur l'usage de la formule, ainsi que nous allons l'expliquer.

Sous l'influence de cette tendance générale et très-fâcheuse de vouloir toujours généraliser les expressions algébriques, sans s'être sufQsamment rendu compte de leurs propriétés constitutionnelles, on a dit que la formule de Moivre, s'appllquant à un angle quelconque, devait être vraie dans l'hypothèse où l'angle a est négatif et qu'en conséquence on devait avoir alors

(cosa -h \/— I sina)"= cosma — \^--i sinma.

C'est là une manière très-vicieuse d'interpréter la formule, et qui, dans un grand nombre de circonstances, conduirait i des résultats inexacts.

Sur quoi s'appuie cette conclusion? Sur le principe que pour les arcs négatifs le sinus devient négatif. Or la vérité est qu'un arc négatif peut avoir son sinus aussi bien positif que négatif. La première circonstance se réalisera lorsque l'arc

négatif dépassera 180 degrés, la seconde lorsque l'arc sera inférieur à 180 degrés. Voilà- ce que nous avons à observer pour le premier membre. Quant au second, de ce que a est négatif, qui est-ce qui peut prévoir quel sera le signe du sinus de ma et pourquoi dès lors lui appliquer à l'avance le signe moins? Prenons, par exemple, la direction correspondant à l'angle de — 175*», son carré devra correspondre à la direction de l'angle double, c'est-à-dire de l'angle de — 35o^ Or cette direction est exactement la même que celle de l'angle positif de +10^ et sera, par conséquent, représentée par un binôme dont les deux termes seront positifs, tandis que d'après la formule telle qu'on a l'habitude de l'écrire, le second terme du binôme devrait être négatif.

Concluons donc, au sujet de la formule de Moivre, que, si l'on veut se conformer à l'esprit même de sa constitution, parfaitement élucidé par les considérations trigonométriques ci-dessus, il est nécessaire de ne rien préjuger à l'avance sur les signes des termes des binômes qui y figurent. Ces signes seront ce que daa d'une part, zizmoc d'autre part, exigeront qu'ils soient, ce qui est toujours particulier à a et ne peut jamais s'exprimer d'une manière générale, en dehors de la valeur numérique de cet angle, qu'il soit positif ou négatif. La seule forme qu'il est donc possible d'assigner à la formule est

celle

(cosa ■+• V'— -1 sina)'"= cosma -+- ^— i sinma,

dans laquelle chaque binôme n'exprime pas autre chose que Tadjonction de deux termes, adjonction qui se fera par les signes que les valeurs particulières des arcs ±: a, =h ma attribueront, dans chaque cas, aux sinus et aux cosinus de ces arcs. Ce n'est qu'en se soumettant scrupuleusement à ces prescriptions qu'il sera possible de faire des applications dûment autorisées de la formule de Moivre.

Voyons maintenant ce qu'il faut penser de la formule lorsque l'exposant m, restant réel, devient négatif. L'expression

(cosa -f- v''— I sina)"" prend la forme