v-"" sinAsinç

conviendra à tous les poinis du plan.

Dans cette expressioni les quantités a, /a et A sont coustantes, 9 est un angle variable de zéro à 27r» et p est une longueur qui varie de zéro à l'Infini et qui doit toujours être comptée à partir du point M.

A Taide de cette préparation fort simple, combinée avec celle qui, d'après les indications de l'article XLIII, s'applique à la fixation des droites, il n'est pas de question» concernant les droites et les plans, qui ne puisse être facilement et îmmédiaiement résolue.

Nous nous bornerons à en donner deux exemples dans lesquels nous combinerons d'abord une droite et un plan, en second lieu deux plans.

Supposons en premier lieu qu'une droite et un plan sont situés d'une manière quelconque dans l'espace, et proposonsnous de rechercher leur intersection.

Si l'on accepte, pour le plan choisi, les données précédentes, son équivalent sera

a -h p[cos9 -+-\/— -I cosAsin9)(cos/yn- V^— i sin^t)

-h \' — i sinAsinç

Quant à la droite, R étant le point où elle perce le plan des JT^*, si l'on désigne par r la longueur OR, par 0 l'angle que fait celle-ci avec l'axe des x, par a et ^ sa longitude et sa latitude, enfin par p' une longueur variable comptée sur

elle h partir du point R, son équivalent sera

r(cosô-f- )/~s\n6) •4-p'[cos(3(cosarH- v^^slna)

, — /-; 1 -f-V' — I sinpj.

Or, comme pour le point commun ces deux équivalents doivent être égaux, il suffira d'écrire cette égalité, et le problème sera mis immédiatement en équation.

Egalant ensuite le réel de part et d'autre et les imaginaires des divers ordres, on aura les trois conditions

tf 4- pcos<pcos/jt — pcosAsInf sin/x = rcosô h p' cos ^ cosôt, pcoscpsinfx -f- pcosA sinç>cosfc=: rsinfl -f-p'cos^ sina,

p sin A sin f = p' sin (3.

Les trois inconnues sont d'abord les longueurs p et p\ en second lieu l'angle f que fait avec la trace du plan la direction suivant laquelle 11 faut appliquer p dans ce plan pour aboutir au point de rencontre.

Les valeurs de ces inconnues s'obtiendront d'ailleurs à l'aide des procédés ordinaires de l'Algèbre, et il est inutile d'insister ici sur ce point, qui rentre dans l'application des méthodes connues.

Pour second exemple, proposons-nous de déterminer l'intersection de deux plans situés d'une manière arbitraire dans Tespace.

En adoptant pour les plans les notations dont nous avons fait usage dans les articles précédents, l'équivalent algébrique d'un plan quelconque sera

a -f- p[( COS9 -4- v^— I cos A sin o ) ( cos «. 4- v^— 1 sin/x)

•4- V — ï sin A sinç

En désignant par les mêmes lettres accentuées les données

analogues pour un second plan, Téquivalent algébrique de celui-ci sera

a'-*-p'[(cos9'-4- V^^cosA'sin9')(cos/x'-f- /^sin/x'}

+ \/^ sinA'sInç'j.

Or, pour les points conimuns aux deux plans, il faudra que ces deux expressions soient égales ; le problème est donc ainsi mis immédiatement en équation, et se trouvera résolu après qu'on aura satisfait aux trois conditions

a -4- p(cos9 cos/x — cosÂsinf sina) = a' -+- p'(cos(p' cosjx'— cosA'sin9' sin/i' ).

p(cos<psinp. + cosAsincp cos/x)

= p'( C0S9' sin /x' 4- cos A' sin 9' cos \i! ),

p sin A sin 9 = p'sin A' sin 9'.

Dans ces équations, les quantités A, \x.^ a et A', ^y cd sont constantes ; on peut prendre à volonté pour variable indépendante Tun des angles 9 ou 9', et les trois inconnues sont ^^^' et celui des deux angles 9 ou 9' dont on n'aura pas disposé.

On aurait pu envisager la solution de cette question à un autre point de vue et lui appliquer les considérations suivantes.

Si les deux plans passaient par l'origine, leur intersection serait une droite dont nous avons déterminé le directif à Parttcle LI. Or ce directif, que nous désignerons par (D, ne changera pas lorsque les plans seront retirés de l'origine parallèlement à eux-mêmes et transportés dans leur position actuelle; de sorte que, si P est le point de rencontre des traces des deux plans, la droite cherchée passera par P, et un point quelconque de cette droite aura pour équivalent r(D; la lettre r désignant une longueur variable comptée sur la droite à partir du point P, il n'y aura donc plus, pour représenter la droite danssa véritable position, qu'à la rattacher à l'origine, c'est-à-dire qu'à ajouter à r(0 réquivalenl du point P. Cet équivalent sera ou bien «-f-XcosfJt si l'on veut suivre la |iremière trace, ou bien

a'+ Wcosfx' si Ton veut suivre la seconde, a, ci ^ fx, fx' conservant d'ailleurs les désignations ci-dessus, et X, X' étant les longueurs interceptées sur les traces entre le point P et l'axe des X. Va détermination de ces dernières longueurs s'effectuera très-facilement par les procédés ordinaires de la Géométrie plane, puisqu'elles sont situées l'une et l'autre dans le plan des xy\

Nous ne pensons pas qu'il soit nécessaire de multiplier ces exemples pour fixer sufBsamment les idées sur les principes essentiels applicables, soit aux droites, soit aux plans, soit à leurs combinaisons. A cet égard nous ne saurions entrevoir aucune difficulté, et, sauf les questions accessoires de coordination et d'exposition méthodique, on peut, ce nous semble, considérer d'ores et déjà comme constituée dans ses bases et définitivement acquise toute la partie théorique qui concerne ces sortes de lignes et de surfaces.

Il n'en est pas de même pour les êtres géométriques dans lesquels les éléments exclusivement et invariablement linéaires sont remplacés par des éléments courbes, de manière â présenter sur toute l'étendue de leur parcours des directions soumises à d'incessantes variations.

Non-seulement les nouveaux points de vue que nous venons d'exposer ne sauraient nous dispenser de soumettre ce sujet a de sérieuses investigations, mais nous pouvons affirmer, et nous en donnerons des preuves suffisantes, qu'il y a beaucoup à reprendre, même dans les méthodes généralement acceptées et suivies, si Ton veut rationnellement réglementer la théorie des courbes et restituer à cette théorie, dans les rap^ ports qu'elle doit avoir avec l'Algèbre, toute la précision, l'autorité, la puissance de production qui lui manquent et dont l'absence constitue un très-fâcheux état d'infériorité.

Les réflexions que nous aurions à présenter à ce sujet sont trop nombreuses, trop importantes et, nous ajouterons, trop contraires quelquefois aux idées reçues, pour que nous puissions en faire ici un exposé, qui ne pourrait être que fort in-

complet. C'est une matière qu'il faut traiter, in exlenso, en elle-même, en dehors de toute autre préoccupation, et qui, parce qu'elle est susceptible de nombreux redressements, exige une critique spéciale très-approfondie, très-déveioppée.

Les considérations directives y sont incessamment mêlées avec le réel; or c'est précisément parce qu'on a voulu Taire le silence au sujet des premières, parce qu'on s'est efforcé d'en dissimuler les effets, ou t]u'on s'est évertué à leur échapper, que les méthodes d'exposition sont souvent vagues, diffuses» que, dans certaines circonstances, elles manquent de rigueur, que, quelquefois même, elles sont contraires aux vrais principes.

Cet important sujet formera la quatrième partie de nos recherches, dans laquelle nous traiterons à un point de vue plus large et plus général qu'on ne l'a fait jusqu'à ce jour la question si digne d'intérêt des rapports qui rattachent la science de l'Algèbre à celle de l'étendue, non-seulement pour ce qui concerne le réel, mais pour les cas bien plus nombreux et bien plus importants dans lesquels intervient l'imaginaire.

Déjà l'on a pu se convaincre de l'intérêt qui s'attache à ce sujet lorsque, dans notre seconde Partie, nous avons appris à construire géométriquement les racines des équations même lorsque, étant imaginaires, on leur refuse toute compréhension, ou lorsque, étant réelles, elles subissent tous les empêchements algébriques de l'irréductibilité.

• Ce que nous avons dit dans les premiers Chapitres du pré* sent Ouvrage, sur les erreurs qu'on a commises en voulant assimiler l'exponentielle à exposant imaginaire à une fonction de certaines lignes trigonométriques, ce que nous avons exposé sur l'utilité des considérations géométriques pour obtenir une extension remarquable du théorème de Hoivre nous parait aussi de nature à faire comprendre tout l'intérêt que doit présenter l'examen approfondi des questions que soulève une étude vraiment rationnelle des lois et des principes comparés de l'Algèbre et de la Géométrie.

Je ne crains pas de le dire, c'est dans les premiers pas qu'on a faits dans la Science qu'il faut chercher le point de départ de toutes les incertitudes qui nous assiègent. En Géométrie, le

vrai rôle de l'aUribut directif nous 4 échappé. Ce n*est pas que nous n'ayons eu une certaine intuition de la direction; mais la conception de cet attribut dans toute sa netteté, dans son action individuelle, propre et caractéristique, nous a Tait défaut; nous avons vaguement reconnu son existence, nous ne l'avons pas franchement légitimée, nous n'avons pas su comprendre qu'il fallait en faire l'objet d'une catégorique et indiscuuble affirmation, agissant en hommes disposés a croire qu'en matière doctrinale on doit ne rien admettre et tout démontrer.

Il faut cependant à toute science des origines, car, faire de la science, c'est raisonner. Or l'exercice du raisonnement ne se pratique pas dans le vide, et, sous peine de nullité, il lui faut un point de départ.

En Arithmétique, par exemple, cette origine c'est la conception préalable de l'idée de pluralité, et je défle les maîtres les plus habiles de faire comprendre les propositions les moins compliquées de la théorie des nombres à toute intelligence qui, réfraciaire i l'idée de pluralité, n'a pas le sentiment de ce que peut être la collection de un avec un.

Si, dans les êtres géométriques, nous n'avions à considérer que les longueurs proprement dites, la conception préalable du seul principe de continuité serait sufflsante ; mais, parce que dans la Géométrie il y a autre chose que des longueurs, et que nous sommes ainsi faits que nous ne saurions nous empêcher de reconnaître qu'une même longueur peut occuper dans l'espace plusieurs positions différentes, nous devons en conclure que la constitution de ces êtres nous conduit nécessairement à deux ordres de considérations préalables, l'un concernant les grandeurs, l'autre les situations, et que, bon gré, malgré, il faudra que nous comptions avec l'un et avec l'autre.

Quant au premier, celui qui concerne le continu, les conséquences qui en découlent ont fait l'objet, de la part des géomètres, de nombreuses et productives études. Le second, au contraire, a été fort peu discuté en luininéme. On l'a subi, et Il était impossible qu'il en fût autrement; mais, loin de prendre sa conception comme l'une des bases essentielles et inévL

tables de renseignement, loin de reconnaître et de proclamer ses nécessités naturelles» absolues, on semble avoir pris à tâche, par je ne sais quelle inexplicable aberration, de lui refuser tout accès officiel dans l'exposition des méthodes. On Ta subi. Je le répète, on n'a pas su même entrevoir toute la puissance de vivîfication qu'il est susceptible de communl-* quer à la Science.

C'est à cet oubli, dans lequel on a laissé le principe direc* tif, qu'il faut attribuer les vices qu'on rencontre dans les premières notions de l'enseignement géométrique, c'est parce qu'on n'a pas su comprendre toutes les nécessités de sa consécration que nous en sommes encore à maintenir dans nos livres et dans nos leçons cette étrange doctrine, que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; mais quand donc saurai-je ce qu'est un chemin, sinon lorsque je connaîtrai cette même Géométrie que je n'ai pas encore apprise? Comment ensuite apprendrai-je qu'un chemin est plus court qu'un autre? Ne sera-ce pas en m'appuyant sur des principes et en faisant usage de règles que l'étude à laquelle je vais procéder peut seule me révéler? Ne faudra-t-il pas comparer le chemin dont il est question avec des chemins courbes? Or quels sont ces chemins courbes d'après les définitions usitées ? Ce sont ceux, répondra-t-on, qui ne sont pas celui dont on s'occupe. Est-ce assez d'obscurités et de pétitions de principe, et ne vaudrait-il pas mieux en vérité, lorsqu'il s'agit de ligne droite, se borner à tracer son image sur le tableau, plutôt que de chercher à faire pénétrer dans les esprits de semblables définitions? Enfin cette limitation imposée à la ligne droite» qu'on semble vouloir confiner entre deux points, n'est-elle pas antipathique à cette conception préexistante que nous avons de son prolongement illimité jusqu'à l'infini.

A vrai dire, cette définition de la ligne droite n'est nullement une explication primordiale de laquelle doivent être déduites toutes les propositions conséquentes intéressant ces sortes de lignes : c'est, au contraire, Texpression d'une de ses propriétés dont la connaissance ne pourra être légitimement acquise qu'à la suite de démonstrations ultérieures. En outre, cette propriété n'est pas individuelle, intrinsèque à la droite.

indépendante de toule autre considération» puisqu'elle ne la caractérise que comparativement à d'autres espèces, lesquelles d'ailleurs ne sont pas autrement définies qu'en disant qu'elles ne sont pas la droite.

Pense-t-on, si je me laissais entraîner sur cette pente, que je serais bien accueilli des géomètres en venant leur dire, au début même des études sur le cercle, que la circonférence est une courbe qui jouit de cette propriété que, sous une même longueur d'enveloppe, elle embrasse la plus grande surface? Cependant cette définition est exactement, pour la comparaison des surfaces enfermées dans une limite périphérique d'étendue invariable, la reproduction de celle qui, pour la ligne droite, s'applique aux comparaisons de longueurs comprises entre deux limites fixes ; mais les géomètres peu séduits, sans doute, par un pareil trait de génie, tout en reconnaissant la vérité d'une telle assertion, me renverraient sans hésiter au Calcul infinitésimal, et ils auraient parfaitement raison.

Il est grand temps d'effacer de pareilles taches, de savoir reconnaître que toute science a nécessairement pour point de départ des faits d'intuition primitive sans lesquels l'exercice du raisonnement serait impossible ; que, pour ces faits, on doit se borner à en admettre la conception intime et préalable, et que c'est une puérilité que de cherchera les définir, puisque, du moment qu'ils seraient définissables, ils cesseraient d'être primitifs pour devenir subordonnés.

Or ces redressements sont faciles en Géométrie, en attribuant «u principe directlf sa part de légitime et nécessaire influence. Pour peu qu'on y réfléchisse, on reconnaîtra sans peine qu'au sujet de la ligne droite les idées qui, involontairement peut-être, ont dirigé et entraîné les géomètres sont exclusivement celles de la continuité. Comparer entre elles les longueurs de différents chemins, c'est, en effet, du moins en apparence, ne faire que du continu ; mais tous les artifices de langage ne sauraient enlever aux choses naturelles rien de ce qu'elles possèdent par essence, et comme en Géométrie il n'est pas possible de concevoir une longueur qui ne soit pas dirigée d'une manière ou d'une autre, il faudra bien que, bon gré, malgré, l'idée de direction, quelque voilée qu'on veuille

la faire, joue son rôle. Cest ce qu'on trouve, en effet» dans Ir déQnition ordinaire de la droite où, sous le couvert du ino« cheminj l'idée de direction abonde ; mais le grand tort ici, c'est qu'au lieu de la considération d'une direction unique qui, en réalité, caractérise la droite on en fait très-inutllemeni intervenir une infinité, puisqu'un chemin ne saurait se concevoir sans direction et que ce qui distingue essentiel! emenf les divers chemins qui vont d'un point à un autre, c'est l'en^ semble et Tordre des directions successives qu'on y rencontre. Enfin, comment espérer qu'avec une définition qu'on p voulu subordonner aux seules considérations du continu, ou qui tout au moins ne saurait se passer d'elles, comment espé rer, dirons-nous, qu'on pourra établir les propriétés de Is droite qui intéressent uniquement le directif, c'est-à-dire ton ce qui a trait à la théorie exclusive du parallélisme. Aussi h point de départ rationnel de cette dernière théorie est-il tou jours resté à l'état de desideratum.

Quant à nous, nous n'hésitons pas à déclarer que, vis-à-vi: des personnes qui ne possèdent pas au préalable la conception du continu et celle de la direction, l'enseignement de la Géométrie est chose impossible ; mais en même temps nous affirmons que, lorsque, au contraire, ces deux conceptions sont nettement acquises et préalablement acceptées, il devra être possible de tout définir et de tout démontrer.

Dans cet ordre d'idées nous dirons que la ligne droite es' celle qui, en chacun de ses points, possède constamment U même direction; et l'on voit que celte définition, sans nou^, interdire de considérer telle partie restreinte de la droite qu'on voudra, en lui appliquant la conception de la longueur ou du continu, respecte l'idée que nous nous faisons de son prolongement indéfini.

On voit, en outre, que cette définition de la droite est directe, personnelle, pour ainsi dire, à l'objet défini, et ne fait aucun appel à des aperçus comparatifs entre elle et toute autre espèce de lignes.

Nous dirons ensuite que deux droites sont parallèles lorsqu'elles possèdent la même direction, d'où résulte immédiatement l'impossibilité qu'elles se rencontrent; car là où cette

rencontre aurait lieu, se manifesteraient nécessairement deux directions, ce qui est contraire a l'hypothèse que la direction est la même pour les deux droites.

Nous ajouterons que la ligne brisée est celle qui se com* pose de portions de lignes droites placées les unes à la suite des autres, et qui, par conséquent, possède la même direction sur des étendues finies et déterminées de son parcours.

Nous dirons eniin que la ligne courbe est celle pour laquelle il y a changement de direction d'un point à un autre, quelque rapprochés que soient ces points.

il est temps maintenant de mettre un terme à ces réflexions dont rà-propos et l'utilité sont incontestables sans doute, mais dont les développements nous feraient évidemment sortir du sujet spécial que nous nous sommes proposé de traiter dans le présent écrit. Si nous en avons consigné ici l'expression sommaire, c'est qu'il nous a paru convenable, au moment où nous venions de constater pour les directions dans l'espace les remarquables équivalences qui s'établissent entre les procédés de la Géométrie et ceux de la science analytique, il nous a paru opportun, disons-nous, d'appeler l'attention sur le rôle de plus en plus important que doit prendre le système directif dans l'étude de la Géométrie et dans celle des rapports qui lient cette science à l'Algèbre. Nous aurons ainsi donné un premier aperçu de l'intérêt qui s'attache à cet ordre d'idées ; quant aux nombreux développements qu'il comporte, ils seront l'objet de la quatrième Partie de nos recherches.

FIN DB LA TROISlfcHE TARTIB.

TABLE DES MATIÈRES

Chapitbe premier, — Principe général des perpendicularités dans l'es' pace, soft pour les droites, soii pour les arcs i

SoHHAiiB.— I. Coup d'oeil rétrospeetif sur les directions planes. — II. Détermination de TéquiTsIent algébrique de la double perpendîcularité. — 111. Nécessité d'explications subsidiaires. — IV. L'impossibilité d'exécuter certaines opérations algébriques ne fait pas obstacle à ce qu'elles interviennent dans nos supputations. — Y. Obsenrations sur les exposants réels et ima-

• ginaires de ^— i. — VI. De l'hypothèse des perpendieularités de divers ordres et de leur représentation algébrique. — VII. Objection déduite de ce

que v^— I "* est réel. — VIII. Des arcs positifs, négatifs et perpendiculaires, de leur représentation et de celle des directions qui leur correspondent. — IX. Nécessité de bien distinguer, dans les lignes trigonométriques des arcs, ce qui concerne les longueurs de ce qui concerne les directions. — X. Le point de départ de la mesure des arcs est celui où l'axe des x rencontre la sphère de rayon unité ayant son centre à l'origine. Tous les arcs de grand cercle issus de cette origine ont leur cosinus réel. — XI. Discussion sur

les erreurs commises au sujet de l'évaluation algébrique de cos(x^— i) et

de sîn(j;^— i).— XII. Réfutation des assertions émises sur .la réalité de

j ■ Il ^zr^ V — I .— XIII. Le point de départ de ces assertions, la formule d'Euler,

n'est qu'une hypothèse, et cette hypothèse n'est pas exacte. — XIV. Discussion à ce sujet. — XV. Examen de cette opinion, que la formule d'Euler serait non pas un théorème, mais une définition.

Crapitrb DBUXIJEME. — Valeurs des lignes trigonométriques d^sarcs, soit perpendiculaires à un plan de base, soit inclinés sur ce plan, — Détermination du directif algébrique d'une droite en fonction de ta longitude et de sa latitude, — Extension du théorème de Moivre. 55

SomiAmB. — > XVI. Équivalents algébriques des directions des droites situées sur les plans des coordonnées. Premières observations sur les différences qui existent entre ces trois sortes d'expressions. — XVII. Détermination des cosinus et sinus des arcs qui, partant de l'origine commune, sont inclinés sur le

plan de base et reTètent la forme a-f-/3^IIT. — XVIU. Les Taleun ainsi obtenues sont en parfait accord avec les principes déjà établis. — XIX. Erreurs des géomètres au sujet de l'évaluation de cos(« + /3 v--i] et de sin(«-i-/3/^). — XX. Détermination du directif des droites en fonction de leur longitude et de leur latitude. — XXI. Obserrations sur la constitution algébrique des direct! rs des droites. Caractères auxquels on reconnaît qu'un

trinôme A -H B v/— » ■+■ C ^^ est un directif, propriétés qui en résultent.

— XXII. Directifs des perpendiculaires aux droites qui sont situées sur les plans des coordonnées. — XXIII. Directif d'une perpendiculaire à une droite quelconque dans l'hypothèse où la perpendiculaire est située dans le même méridien que la droite. — XXIV. Confirmation de la valeur obtenue pour le directif d'une droite par la considération des arcs dirigés. — XXV. Observation sur les procédés mis en oeuvre pour l'établissement de la formule de Moivre dans le cas où l'exposant est réel et positif. — XXVI. Examen du cas dans lequel l'exposant est réel et négatif. — XXVII. Extension de la formule

au cas où l'exposant est imaginaire de la forme ± m ^ — i . — XXVIII. Réflexions sur les erreurs auxquelles on peut être conduit en cette matière, lorsqu'on cède à l'entratnement des considérations analogiques.

Chapitre troisième. — Formules directives pour les droites définies par d'autres éléments que ceux de la longitude et de la latitude 98

SomiAiRK. — XXIX. Diverses catégories d'éléments qu'on peut choisir pour définir les droites; notations relatives h ces éléments. — XXX. Variétés obtenues pour les directifs torsqu^on rapporte la longitude et la latitude aux divers axes et plans des coordonnées; directif d'une droite définie par l'angle qu'elle fait avec l'un des axes et par celui que fait le plan de cet angle avec les plans des coordonnées qui contiennent l'axe en question.

— XXXI. Directifs des droites définies, soit par les angles qu'elles font avec deux des axes des coordonnées, soit par ceux qu'elles font avec deux des plans des coordonnées. — XXXII. Procédé général pour obtenir l'expression des directifs correspondant à telle combinaison qu'on voudra des données ci-dessus. — XXXIII. Première application de ce procédé. — XXXIV. — Deuxième application. — XXXV. Accord des principes et des formules ci-dessus avec les propriétés connues du triangle sphérique rectangle. — XXXVI. Dans l'espace il n'existe pas, comme dans le plan, des opérations vraiment algébriques propres à faire passer d'une direction à une autre. — XXXVII. Les directifs des droites situées dans le plan des xz jouissent à cet égard des mêmes propriétés analytiques que ceux des droites situées dans le pian des xjr\ il n'en est pas de même pour les directifs qui appartiennent au plan des^z. — XXXVllI. Examen de la même question pour un directif quelconque ; relation qui s'éublit entre les directifs de deux droites à l'aide de l'angle qu'elles font entre elles, conséquences analytiques qui en résultent pour la question qui nous occupe. — XXXIX. Une droite étant donnée sur le plan des x^', lui mener une perpendiculaire dans un

plan qui, paMsnt par cette dfoita, faft'un angle donné avec ce même plan des xjr, — LX. Détetmloation de l'angle de de» droites à Taide de leurs directifs.

Chapitre quatrième. — Représentation algébrique des directions pour les plans, — Rapports des plans, soit entre eux, soit avec des droites, au point de vue directif» 1^3

Sommaire. — XLI. Nécessité de se rendre compte des moyens géométriques à Taide desquels on procède à la détermination des plans. Exemples divers et discussions y relatiTes. — XLII. Indication des principes à l'aide desquels il a été possible d'établir des analogies et des équivalences entre la Géométrie et l'Algèbre, en ce qui concerne les directions des droites. Conditions auxquelles devront satisfaire ces équivalences, si elles existent, pour ce qui est relatif k l'élément directif des plans. — XLIII. Détermination de l'équivalent algébrique de la direction des plans qui passent par les axes. — XLIV. Intersection de ces plans avec le plan des coordonnées auquel ils sont perpendiculaires. Intersection de deux plans passant par deux axes différents. Double forme sous laquelle se présente le directif de cette intersection. Identité de ces deux formes. — XLV. Directifs des plans perpendiculaires aux plans des coordonnées ou perpendiculaires à une droite tracée sur l'un des plans des coordonnées. Les correspondances géométriques qui existent entre ces deux catégories de plans et celle dont il à été question à l'article XLIII se reproduisent exactement en Algèbre. — XL VI. Directifs des plans passant par une droite tracée sur le plan des xjr et qui font avec ce plan un angle donné. — XLYII. Intersections de ces plans avec ceux des coordonnées. Nouvelles concordances remarquables entre les faits géométriques et les principes analytiques. — XLVIII. Directifs des plans passant : \^ par une droite tracée sur le plan des xz et faisant avec ce plan un angle donné ; i9 par une droite tracée sur le plan des jrt et faisant avec ce plan un angle donné. — XLIX. Détermination des angles A, B, C que fait un plan donné avec les trois plans des coordonnées. — L. Vérification des formules précédentes et usage des valeurs de A, B, C pour obtenir le directif d'une perpendiculaire à un plan. — LI. Détermination du directif de l'intersection de deux plans. — LU. Concordances entre les formules déduites des principes directifs et celles qui, d'après les seules considérations géométriques, constituent la théorie complète de la Trigonométrie sphérique. — LUI. Détermination de l'angle formé par l'intersection de deux plans. — LIV. Directif d'un plan faisant avec un autre plan un angle donné. Examen du cas particulier où cet angle est droit. — LV. Conditions auxquelles doit satisfaire une droite pour être contenue dans un plan donné. -^ LVI. Conditions auxquelles doit satisfaire un plan pour passer par une droite donnée. — LVII. Détermination de l'angle que fait un plan avec une droite donnée. — LYIII. Expression du directif d'un plan passant par deux droites données. — LIX. Examen des cas particuliers on les deux droites sont deux des axes des coordonnées. — LX. Limites entre lesquelles nous devons maintenir les

présentés recherchet. Grande rationnalité de la méthode directive. Supériorité de sa puissance productive sur celle des procédés ordinaires d'investigation.

Chapitrb ciNQUifcME. — Considérations sur les conséquences essentielles et sur l'application des principes ci'dessus exposés 2 la

SoMMAiRB. — LXI. Conséquences des faits développés dans les Chapitres précédents pour l'établissement d'une théorie au moyen de laquelle toutes les investigations de la Géométrie seront immédiatement ramenées à la résolution d'équations algébriques. Les bases de cette théorie sont dès à présent posées, des travaux ultérienn la compléteront. — LXII. L'équivalent algébrique de la direction d'une droite dans l'espace conduit directement à l'équivalent des sphères et des cônes à axe vertical qui ont leur centre ou leur sommet à l'origine. — LXIII. Équivalent algébrique des longueurs dirigées ne passant 'pas par l'origine et situées d'une manière tout à fait arbitraire dans l'espace. — LXIV. Recherche de l'intersection de deux cônes à axe vertical ayant même angle générateur et dont les sommets sont situés sur le plan des xjr. — LXV. Équivalents dés sphères et des cônes dont le centre ou le sommet occupe une position quelconque. — LXVI. Équivalent des cônes à axes inclinés. — LXVII. Équivalents des cylindres dont les génératrices font avec le plsn de base un angle quelconque. — LXVllI. Réflexions sur les deux principes générateura des êtres géométriques. Comparaison entre les procédés directs d'investigation géométrique et ceux que l'Algèbre emploie. Les premiers ne consistent guère qu'en tâtonnements; avec les seconds on est toujours certain d'atteindre le but qu'on a en vue. — LXIX. Application à un eiemple particulier. — LXX. Détermination par le procédé directif : 1** de la diagonale d'un cube; a^ de la diagonale d'un parallélépipède à base carrée ayant toutes ses arêtes égales, dont deux des faces latérales sont verticales et les deux autres inclinées d'une manière quelconque; 3^ de la diagonale d'un parallélépipède à arêtes inégales et à inclinaisons arbitraires. —LXXI. Conditions auxquelles doivent satisfaire deux droites situées arbitrairement dans l'espace pour qu'elles se rencontrent. — LXXII. Équivalent algébrique des plans ne passant pas par l'origine et situés d'une manière quelconque dans l'espace. — LXXIII. Rencontre d'une droite et d'un plan dans le cas le plus général. — LXXIV. Intenection de deux plans situés d'une manière quelconque dans l'espace. — LXXV. Réflexions Anales sur le système directif. Grande nécessité de son intervention, de son affirmation doctrinale dans les études de Géométrie. Discussion à ce sujet sur l'exposition vidense des premières notions de la Géométrie. Redressement facile de ces erreura par les considérations directives.

Fi:< DE LA TABLE DES HATifiRES.

t078 Paris. — Imprimerie de GAUTHIER-VILLA RS, qval des AnKSBtiM, v».