PI I

cosa si lia

Si alors on désigne par a la distance comprise entre l'origine et le point M, où la projection de la première droite coupe l'axe des x et par 6 la distance comprise entre les points M et H, si l'on appelle a' et b' les longueurs analogues pour In

seconde droiie, on aura

rcosQ — a -h hcosa, r'cos6'= a' -f- 6'oosa, rsinQ — b sina, r'sinô'— fr'sina ;

d'oii Ton déduit

rcosO — r' cos6'=: /i — «'-h (6 — é') cosa, rsiïïB — f^ sin6' — (fr — é') sina.

Subsliluant dans la condition ci-dessus, il vient

=z b — 0 et par suite a~-a=o.

cosa

On conclut de là que Jorsque les projections des deux droites sont parallèles, la rencontre ne peut s'effectuer qu'à la condition que ces deux projections seront confondues. Dans ce cas, les deux droites sont évidemment situées dans un même plan, et Ton sait qu'alors la rencontre aura toujours lieu.

Quant aux distances auxquelles cette rencontre s'effectuera, elle sera obtenue pour la première droite par l'une ou l'autre des formules qui donnent p et qui, en ayant égard à la double égalité a :rt= aS â = a\ conduisent chacune à la valeur *

6h^Cp-?^')

On conclura de là que, pour la seconde droite, la valeur de f>' se présente sous la forme

h -h' sinp

sin((â — (!i') sinjâ'

Ces deux valeurs sont toujours réalisables, sauf le cas où, Ci' étant égal à p, elles deviennent infinies. C'est qu'en effet les droites sont alors parallèles et situées dans le même plan.

Pour les plans, comme pour les droites, nous avons d'abord supposé qu'ils passaient par l'origine, et cela nous a suffi tant

qu'il n'a été question que de la détermination de leurs directifs; mais nous avons déjà fait remarquer, au sujet des droites, qu'il n'est plus possible d'agir ainsi lorsque les questions que l'on a à résoudre ne porlent pas exclusivement sur leurs directions, mais sur des combinaisons de celles-ci avec les longueurs. Alors il n'est pas permis de transporter ces droites parallèlement à elles-mêmes, de manière à les faire passer par l'origine, et il est nécessaire de les considérer avec toute la fixité même que leur impose l'énoncé et dans toute la généralité que comporte le système de coordonnées destiné à les représenter. Nous avons d'ailleurs indiqué dans l'article LXlll les moyens simples à l'aide desquels s'effectue alors la figuration des droites.

Des observations analogues s'appliquent aux plans, et nous allons indiquer les modifications arMitives que subissent leurs équivalents lorsque, au lieu de supposer que ces plans passent par l'origine, on veut les assujettir à occuper toute autre po* sition définie et d'ailleurs invariable dans l'espace.

A cet effet, représentons par MN la trace d'un plag quelconque sur le plan des xy. Cette trace sera complètement déterminée lorsqu'on fera connaître, d'abord la distance OM qui sépare l'origine de son intersection avec l'axe des ar, en second lieu l'angle \l qu'elle fait avec le même axe.

Quant au plan, s'il est incliné sur le plan des xy d'un angle A, et si l'on désigne par <p l'angle que fait avec la irace MN une droite variable passant par M, et assujettie à rester dans le plan, nous avons constaté, dans l'article XL VI, que le di-« rectif du plan considéré isolément a pour équivalent algébrique

( coso -h v'— I cosA sîn9)(cosa H-\/— i sinw)

-4- ^—1 sinA sin9,

de sorte que, en appelant p la distance variable du point M à un point P quelconque du plan, le représentant analytique de ce point, rapporté au point M, sera égal au produit par p du directif ci-dessus.

Que restera-t-il donc à faire pour rattacher ce point à l'ori-

gineT II sufOra simplement d'ajouter à ce produit la longueur OH que nous représenterons par a; de ces explications il résulte que l'expression

n H-p[(co.s9 y'— I cosAsînojfcosa h- y-— i sînfx)