CHAPITRE II

quel peut être le résultat de Taddition de choses bétéroRènes. Nous devons donc admettre que les quantités A et B ^^ sont de même espèce; mais alors une difficulté se présente. Comment comprendre, dira-t-on, que le réel soit de même espèce que l'imaginaire? que ce qui est actuel, tangible, susceptible d'une représentation, soit de même espèce que ce qui est irréalisable? Cette objection est plus spécieuse que fondée. Remarquons d'abord que nous ne songeons pas à nous l'adresser, lorsque nous mettons un problème en équation ; et cependant que savons-nous alors de l'inconnue que nous supposons devoir résoudre ce problème? Sera-t-elle possible, sera-t-elle impossible, sera-t-elle finalement représentée par A ou par A + B \/-^ ? Qui pourrait au préalable l'affirmer? Or cela ne nous empêche pas de la soumettre à toute la série d'opérations qui résulte de lenoncé> et de la considérer, quelles que soient ces opérations, comme une quantité d'une certaine nature déterminée par les termes de cet énoncé; et si nous agissons ainsi, c'est parce que nous savons que c'est le propre de l'algèbre que les opérations de cette science ne sauraient en aucune façon modifier l'essence des quantités sur lesquelles elles sont pratiquées: elles n'ont d'autre mission à remplir, d'autre rôle à jouer que ceux de constituer ces quantités dans tel ou tel rapport rendu obligaloû*e par l'énoncé de la question.

Or, ici qu'y a-t-il d'impossible? Ce n'est certainement pasB ; en lui-même B se comprend aussi bien et au même titre que A, et rien ne s'oppose à ce qu'il soit de même nature que lui ; ce qui ne se comprend pas, c'est l'opération yj — i , à laquelle B doit être soumis. C'est un moyen d'agir sur B qui met celui-ci dans un rapport irréalisable, à la vérité, mais don) l'impossibilité purement algébrique ne saurait rien changer à la nature particulière de l'objet sur lequel il devrait s'exercer. En un mot, ce qu'il y a ici de différent, ce sont les états de A et de B, ce ne sont pas les espèces. Rien né s'oppose donc à ce que, conformément aux procédés et aux fonctions ordinaires de l'algèbre, les deux nombres A et B soient toujours considérés comme s'appliquant à une même espèce de quantité; seulement, tandis que l'un sera la représentation possible et même exécutée de cette quantité, l'autre en sera la représentation irréalisable tant qu'il sera retenu dans les entraves d'une opération préa-

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lable qu'il ne nous est pas permis de pratiquer; mais celui-ci sera toujours de même espèce que le premier^ il jouira des mêmes privilèges que lui^ et sera prêt à remplir les mêmes foDctions dès que l'opération impossible Tiendra à disparaître.

Qu'on ne perde donc pas de vue qu'une serrure à laquelle on a mis une entrave n'en est pas moins une serrure ; elle n'est pas devenue pour cela incompréhensible^ imaginaire, elle est seulement empêchée. Or, que l'entrave vienne à disparaître, et cet appareil ne nous rendra pas moins de services que ceux dont le fonctionnement est resté libre.

Hais après avoir suivi Tobjection sur son propre terrain, ne manquons pas de faire remarquer que nous avions parfaitement le droit d en sortir et de contester que le principe sur lequel elle s'appuie soit applicable dans le cas actuel.

Sans doute, lorsqu'on s'occupe de résoudre une question et qu'on a transformé l'énoncé en équation, il est nécessaire que tous les termes de cette équation soient homogènes, soient de même espèce ; on conçoit en effet que s'il n'en était pas ainsi, si l'on avait seulen^ent deux espèces, on pourrait grouper ensemble les termes qui s'appliquent à chacune, et alors de l'équation résulterait une équivalence entre des espèces diffirenies, ce qui est contradictoire. Et encore pourrait-on échapper à cette difficulté en soumettant chaque groupe à la condition d'être séparément nul.

Mais ici la réunion des deux termes A et B v/^ n'est soumise à aucune condition d'égalité ou d'inégalité avec autre chose; elle conserve une complète indépendance, et ne saurait par conséquent tomber sous le coup des obligations précédentes.

Or il n'y a rien de contraire à l'idée de pluralité, car c'est toujours à ce point de départ qu'il faut revenir, à ce que les choses ajoutées soient différentes; l'éducation de Tenfant en cette matière pourrait être fort longue à se produire, s'il ne lui était permis d'acquérir l'intuition du nombre qu'à la condition que les choses qui la font naître sont de même espèce, et s'il en était ainsi nous aurions grand tort de cumuler tant et tant de variétés dans sa boite à joujoux.

Gardons-nous donc d'imposer à l'idée de pluralité des restrictions qui ne sont pas dans sa nature, et dont la pensée ne nousvientqo'à la suite de circonstances dans lesquelles l'exprès-