CHAPITRE II

je remarquerai que généralement le rapport entre deux quantitéSy quelles qu'elles soient^ ne peut être autre chose que le rapport même des collections d'unités qui en représentent la grandeur ou le nombre^ que ce rapport ne saurait être influencé par l'espèce de quantité dont on s'occupe; de sorte que^ quelle que soit la chose qui sera prise A fois d'une part, Â^ fois de l'autre^ que cette chose soit une longueur^ un poids^ un temps,

une opération^ le résultat cherché ne pourra être que T7.

S'il s'agit maintenant de multiplier A V—i par A^ V^i ^ous ne devrons pas perdre de vue que le caractère distinclif des procédés algébriques en matière de multiplication est que le multiplicande doit être successivement multiplié par tous les facteurs du multiplicateur^ non-seulement au point de vue de leur quotité numérique, mais encore à celui des opérations de toute sorte : additives, soustractives, radicales, etc., qui peuvent affecter ces facteurs. Telle est la règle; vouloir faire autrement que ce qu'elle indique, ne serait plus chercher ce que les principesadmisdeTalgèbre peuvent permettre lorsqu'on les applique à telle ou telle autre expression : ce serait admettre d'autres principes, faire autre chose que ce que veut cette science, et c^est au contraire de ce qu'elle autorise que nous nous occupons ici exclusivement K

Cela posé, si A^ se trouvait seul au multiplicateur, le produit de A V— ^ par A' serait égal, d'après ce qui précède, à A A' yf^l si maintenant nous introduisons le facteur V~î) î^ viendra : AA' (V--T)*> et nous aurons à rechercher ce que peut être le

' Le lecteur ne perdra pas de vue qu en nous exprimant ainsi nous ne Ikisons que nous conformer aux idées reçues, et nous avons prévenu en commençant que telle était la situation dans laquelle nous entendions nous placer; mais au fond nous sommes loin d'admettre, rationnellement parlant, Tidée que la multiplication puisse s'appliquer à des signes d'opérations. Que cette idée soit introduite après coup comme une règle pratique commode, parce qu'en fait elle se trouve en concordance avec l'ensemble des conclusions déduites de raisonnements théoriques, à la bonne heure! mais en principe, on multi^ plie des nombres par des nombres, on ne multiplie pas des signes par des signes. Dans le sixième chapitre, nous reviendrons sur ce sujet, et nous expliquerons comment, à notre point de vue, la règle dite des signes doit être iitiOTHiliriBriif éttUie.

24 DBS FOBMES IMAGINAIRES.

quarré de yj~i . Or, comme d'une part V—î exprime qu'il faut extraire la racine carrée de — i, comme d'autre part il est de principe général en algèbre que le carré est ce dont on extrait la racine, il^ensuit que pour rester fidèle à la fois et à la définition de yj^i et aux règles usuelles algébriques, nous ne pouvons admettre d'autre conclusion que celle qui consiste à dire que le carré de yf^i est égal à — i et qu'on a par conséquent

A\Pî X A^ V^ = —A A'.

Ce point de départ établi, et continuant d'appliquer à V^ les règles ordinaires du calcul algébrique, nous reconnaîtrons que la troisième puissance de V^ i sera — V^ , que la quatrième sera Tunité positive; après quoi, et sans qu'il soit nécessaire de plus amples explications, on voit qu'on repassera successivement par ^— î, — I, — V— !• +i> et ainsi de suite, en continuant indéfiniment cette période quaternaire.

Il résulte de ces premières recherches qu'en faisant aux expressions imaginaires Tapplication des règles admises en algèbre, on est conduit dans plusieurs circonstances à constater la disparition de ce signe d'opération impossible qui les caractérise. Ainsi se trouve de plus en plus confirmée l'opinion qu'au point de vue abstrait, il n'est pas possible de voir dans l'imaginaire autre chose qu'une opération, puisque c'est par le jeu régulier des opérations que tour à tour il disparaît et se montre dans nos calculs.

Connaissant, à Taide de ce qui précède, les moyens d'effectuer les quatre premières opérations de calcul sur les expressions de la forme A/^, il sera facile d'en déduire ceux qui doivent être mis en œuvre pour pratiquer les mêmes opérations sur les expressions complexes A -+■ Byf^ ; mais il est nécessaire, au préalable, de présenter quelques observations sur ces binômes.

On sait, pourra-t-ondire,— et cette objection nous a (Hé souvent adressée,— qu'il est de l'essence de l'algèbre de n'ajouter ensemble que des choses de même espèce , des longueurs avec des longueurs, des monnaies avec des monnaies, des vitesses avec des vitesses, et ainsi de suite; et il y aurait pour elle antipathie et par conséquent refus de coopération à rechercher