CHAPITRE V

de l'unité; que leur existence pour tous les degrés, que leur nombre dans chaque degr^ peuvent être rattachés à un seul principe^ et que lorsqu'on a eu dit et admis en algèbre que —I multiplié par — I donne + 1^ cette théorie était^ sinon constituée, du moins acquise à la science.

Et en effet, dire que— i multiplié par — i donne le même résultat que + i, c'est reconnaître en fait que l'unité a deux racines du second degré -f i et — i ; or nous allons voir que tout le reste s'en suit naturellement.

On a pu, à l'origine, rester plus ou moins longtemps sur ce fait isolé et n'en déduire ni même en entrevoir aucune conséquence; mais du moment où les recherches algébriques ont

appelé notre attention sur \/^ et nous ont démontré la nécessité d'avoir à tenir compte de cette expression, à laquelle nous n'aurions peut-être jamais songé sans cela; de ce moment, disons-nous, les racines quatrièmes de Tunité venaient prendre place dans la science, car la conséquence la plus immédiate de

la forme même de v/— i a dû être que le carré de cette expression est égal à — i, racine seconde de l'unité, et par suite,

il était impossible de ne pas reconnaître que v^— i en est la quatrième. Hais alors, en vertu du même fait initial que

le produit (— yÇ^) (— v^^) donnera le même résultat que V— iv^— I, c'est-à-dire — i, de sorte qu'au point de vue de la seconde, et par suite de la quatrième puissance, — y— i conduisant aux mêmes conséquences que y^^ est aussi une quatrième racine de Tunité ; les deux autres sont =t: i •

Cela posé, il ne fallait pas plus que la constatation de ces premiers faits pour que l'attention, éveillée sur la singularité de ces résultats, ne fût pas portée à se mettre en quête de ce qui pourrait arriver dans les degrés autres que le second et le quatrième, et de savoir s'il n'existerait pas pour eux des circonstances analogues à celles qui viennent d'être constatées. Une fois ridée mise en avant, les conséquences étaient inévitables.

Il était donc naturel de se dire que, puisque v^ est la racine quatrième de l'unité, on serait certain d'en obtenir la huitième si Ton trouvait une expression dont le carré fût égal à

76 DES FORHES IMAGINAIRES.

V^— i; et comme à pari la raison générale que nous avons don* née pour que la forme de cette expression fût imaginaire, il y avait ici cette circonstance particulière que le résultat cherché devait être lui-même imaginaire^ on a été conduit à admettre

que cette expression ne pouvait être que delaformep+gy— i, de sorte que ce qu'il y avait à faire consistait à rechercher ce qui pourrait advenir de la condition

(p + (ïv/^)*=v'^.

Or, sans nous arrêter ici à des détails de calculs très-facileSi

on a reconnu que la valeur -=., commune à p et à o, satisfait à cette équation ; d'où on a conclu que

est la racine huitième de l'unité. Mais à ce compte le négatif de celte expression donnant aussi \/ — i pour son carré est une seconde racine huitième de l'unité. D'ailleurs les carrés de -y^

étant invariables quels que soient les signes de ces quantitéM, les effets de ces carrés resteront toujours les mêmes; quant

aux doubles produits^ ils prennent la forme + V-~^> 4^^ étant l'une et l'autre des racines quatrièmes de l'unité, autorisent à dire que finalement l'expression

quelle que soit la combinaison des signes qu'on voudra adopter^ sera une racine huitième de l'unité.

On a dû comprendre instinctivement qu'en continuant cette marche, on obtiendrait la seizième racine, puis la trentedeuxième, et ainsi de suite. Cette prévision n*a pas d'ailleurs tardé à être légitimée , parce qu'il est facile d'établir, par un calcul des plus simples^ que si a -f 6 ^^ est la racine du d^ré 2*, celle du degré 2*^* aura pour valeur