CHAPITRE V

CHAPITKE CINQUIÈME

Des racines de l'unité^ et de l'influence de ces racines^ combinée AVEC CELLE DES OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES, SUR LA MUL- TIPLICITÉ DU NOMBRE ET SUR CELLE DE LA FORME DES RACINES DES ÉQUATIONS.

Sommaire. — I. La forme des racines de l'unité ne peut être que celle de Timaginaire. — II. La théorie de ces racines a été acquise à la science du moment où Ton a reconnu que la multiplication de — 1 par — 1 donne + i pour produit. — IIL La considération de ces racines combinée avec celle de rélévation aux puissances explique Tintroduction de Timaginaire dans les solutions. — IV. Les mômes considérations ren(ftnt compte de la multiplicité du nombre des racines des équations et de celle de leurs formes . — V. Application au troisième degré. — VI. Application au quatrième degré. — VU. Application au cinquième degré. — VIIL Conséquences théoriques et pratiques de ces faits .

C'est un fait très-remarquable^ très- extraordinaire, et en même temps très-fécond, que celui de l'existence des racines de Funité pour toutes les puissances, racines dont le nombre, on le sait, est toujours égal au degré même de la puissance considérée. Nous verrons que, dans le domaine concret, il n'est rien de plus facile que de s'éclairer sur les propriétés de ces racines, de se rendre compte de leur objet, de reconnaître à quels attributs des quantités elles correspondent. Dans ce domaine, les racines elles-mêmes passeront sous nos yeux, nous tracerons la figure géométrique qui en est la représentation matérielle et physique; nous pourrons voir et toucher ces deux moyens par excellence d'acquérir l'intuition dé toute chose.

Il n'en est pas de même dans le domaine abstrait où nous n'avons pour nous diriger que la seule idée de nombre. Or, parce que le nombre ne peut être conçu que sous la condition de ré-

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pétition par une unité indivisible, cette indivisibilité même vient se poser en contradiction avec Tidée qu^une telle unité puisse être un multiple quelconque. Et cependant si, en fait, il doit être reconnu que cette multiplicité peut être écrite en algèbre, nous trouverons encore ici une nouvelle application de nos principes; car nous pourrons dire dès à présent qu'à la contradiction dans les prémisses doit correspondre une impossibilité dans la conclusion^ et que par conséquent les formes des racines de Tunité ne peuvent être qu^maginaires ; c'est ce que la science confirme. Loin donc de s'effrayer,"" dans ce cas, de la manifestation de cette forme, et d'y voir un nouveau motif de ne pas comprendre, nous devons au contraire reconnaître la nécessité théorique de sa présence; c'était le seul moyen qu'eût l'algèbre de se mettre en rapport d'équivalence avec la contradiction écrite dans la demande ; de sorte que si, dans l'expression de ces racines, nous constatons une impossibilité opérative, nous ti^uvons du moins dans cette impossibilité même un effet de logique qui ne peut être que très-propre à nous familiariser avec ces expressions.

La théorie des racines de l'unité, pas plus que toutes les autres, ne s'est faite d'un seul jet. Dans les sciences, l'observation et la réflexion apportent peu à peu leur contingent journalier de faits et de découvertes. Les théories s'ébauchent d'abord, se développent ensuite, se complètent plus tard, et ce n'est qu'après un temps quelquefois assez long que l'esprit se trouve en état de les concevoir et de les exposer dans leur ensemble. Lorsque cet état de maturité s'est produit, passant en revue tous les détails, toutes les ramifications d'un certain ordre d'idées, nous parvenons à reconnaître qu'en général, avec un trèspetit nombre de principes, il nous est possible, aidés des lois du raisonnement, de rendre compte de tout ce qui se rattache à cet ordre, et alors la théorie se présente à nous avec un caractère aussi prononcé de simplicité dans ses éléments que de fécondité dans ses résultats.

Nous croyons que telle est la situation dans laquelle nous sonunes placés aujourd'hui par rapport à la théorie des racines