CHAPITRE V

sans être Texplication de Timaginaire^ est du moins l'explication logique de sa manifestation finale.

Ces modifications des données primitives^ ainsi introduites par le fait d'opérations algébriques^ ont donc une grande importance selon nous^ puisqu'elles expliquent, d'une part^ pourquoi en résolvant une question nous trouverons réponse^ nonseulement à ce que nous avons mis dans cette question, mais à beaucoup d'autres choses qui, d'après nos intentions, ne figurent pas dans son énoncé; d'autre part^ que, parmi ces choses introduites, plusieurs étant imaginaires, il n'est pas étonnant que cette forme se manifeste dans les conclusions; enfin ces modifications conduisent en outre à comprendre les causes en vertu desquelles la multiplicité du nombre des racines sera d'autant plus grande que le degré de l'équation sera plus élevé.

L'intérêt qui s'attache à ces propositions^ au double point de vue des conceptions théoriques et de l'utilité pratique^ est évident. Mais il n'en est pas tout à fait de même des formes diverses que ces propositions peuvent recevoir en exécution et de la relation de ces formes avec le jeu des calculs. Nous devons même dire qu'à ce sujet nous avons trouvé de l'hésitation dans quelques esprits. Aussi croyons-nous devoir indiquer à l'aide de quelques exemples comment, par l'effet des opérations, se produisent dans les racines des équations la multiplicité du nombre et celle de la forme.

Mais avant d'en venir à des applications, disons comment d'une manière générale la question doit être entendue.

Étant donnée une équation d'un degré quelconque ti, on distribue d'une manière arbitraire ses différents termes entre les deux membres, et, en cet état, on élève ces deux membres à une même puissance m; on obtient ainsi une équation qui con] tiendra infailliblement les n racines de la proposée, mais qui, en outre, en contiendra mn — n autres. Tel est le fait brut que la théorie nous force d'admettre, et cela en vertu de ce principe général, qu'une équation du degré mn possède mn raci-* nés. Mais> à côté du fait imposé comme conséquence, il y a

l'étude des origines, la recherche des causes qui peuvent le provoquer et l'expliquer, et il n'est pas sans intérêt de voir comment la considération de l'élévation à la puissance m, combinée avec celle de Fexistence des racines de l'unité pour le même degré, doit nécessairement conduire à la conclusion indiquée par la théorie. Cette première recherche touche évidemment et directement aux causes premières de la multiplicité du nombre des racines des équations.

A côlé de cela, comme il est naturel d'admettre que les nouvelles racines devront être dépendantes des premières et se trouver dans un certain rapport avec elles, on est conduit à se demander quels pourront être ces rapports ; et il sera important de le faire pour qu on puisse distinguer celles qu*il faudra conserver comme se rapportant à Tétat primitif de la question, de celles qui, nouvellement introduites, devront être rejetées. Ceci s'appliquera à la forme. Or ce qu'il est utile de remarquer, c'est que, pour une même puissance et pour une même équation primitive, cette forme des racines changera incessamment, suivant qu'avant l'élévation à la puissance on aura distribué de telle ou de telle autre manière les divers termes de l'équation entre ses deux membres.

En résumé, la considération des racines de l'unité combinée avec Télévation aux puissances explique la multiplicité des racines d'une équation; quant à la forme de ces racines, elle est à la fois une dépendance des mêmes éléments et des racines primitives; mais en outre, celte forme change chaque fois qu'on modifie celle qui, avant Télévation aux puissances, a été donnée à la position des termes de Téqualion qui a servi de point de départ.

Nous ne saurions entrer ici dans les innombrables détails de tous ces faits; nous nous bornerons à ce qui concerne le 3% le 4^ et le 5'' degré, et Ton verra en vertu de quelles circonstances premières se produisent successivement les diverses propositions connues, soit sur le nombre, soit sur la forme des racines dn ces équations. Ces exemples seront d'ailleurs très-sufûsants pour indiquer la marche qu'il faudrait suivre si Ton voulait procéder à des études analogues pour d'autres degrés.

Comme notre but essentiel est ici d'expliquer l'intervention de Timaginaire par le seul jeu des opérations algébriques, nous