CHAPITRE V

partirons toujours d'une équation du premier degré pour nous élever au 3% au 4e et au o«; par ce moyen, si l'imaginaire se manifeste, on ne pourra pas dire que c'est nous-même qui l'avons placé au début, et cette manifestation n^aura évidemment d'autre cause que les opérations.

y. Troisième degré.

Prenons pour point de départ l'équation

et appelons £ et £* les racines imaginaires cubiques de l'unité.

Si en cet état nous élevons l'équation au cube, le résultat conviendra non-seulement à cette équation, mais encore à celles qu'on obtiendrait en multipliant le premier membre successivement par £ et par £*. D'ailleurs, comme ces facteurs n'exercent aucune influence sur la valeur de x qui reste la même dans chaque cas, on aura des racines égales, on en aura trois, mais on n'aura pas créé de racines nouvelles.

Hais si nous écrivons a;=6 + c, l'élévation aux puissances conviendra non-senlement kb + e, mais à ses produits par £ et par£*, et par suite l'équation flnale aura les trois racines

6 + c, £(ft-|-c), ff(b+c).

Si Ton prend la forme x — 6 = c, le résultat de l'élévation au cube sera le même, soit qu'on eût pris c ou c£ou c&; les trois racines seroré donc dans ce cas

Ainsi, à chaque distribution spéciale qu'on fera des termes de l'équation primitive, et bien que cette équation reste la même, l'élévation au cube donnera des formes différentes pour les racines.

Mais il est d'autres procédés de calcul, d'ailleurs autorisés^ qui conduiront encore à de nouvelles formes.

Partons en effet de x = b + c el développons le cube de

82 DES FOfiMES IMAGINAIRES.

b+c; nous serons conduit à une relation que nous pourrons mettre sous la forme

et^ en cet état, nous avons constaté que ses racines sont

Cela posé, si, à la place de b + c, je mets sa valeur primitive X, réquation satisfera toujours à la condition première^ mais elle cessera d'être applicable aux deux autres. Dans la seconde, par exemple, 6 et c sont remplacés par £6 et par £c; cette modification n'en entraîne pas dans la fonction c* + 6', mais elle change bc en bcff, et on n'aurait plus ainsi la même équation finale. Toutefois, on peut remarquer que si alors on combinait b£ avec cf ', toutes les fonctions de fr et de c resteraient invariables, et l'on conclut de là que b£ + c& satisfera à l'équation au même titre que 6 + c; il en serait d'ailleurs évidemment de même de 6£* combiné avec c£, d'où il suit que les trois racines de l'équation du S"" degré

x^ — 36ca?— (&• + c') =o sont

Et ce sont encore là de nouvelles formes de racines introduites par le jeu des opérations.

Ce n'est pas tout. U est parfaitement permis d'écrire l'équation primitive x—b=c comme il suit :

pa;— 6 = (p— i)x-f-c.

Sous la première forme les racines résultant de l'équation primitive sont

or il n'en va plus être de même de Télévation au cube faite sur la seconde forme. En effet, le résultat de cette opération conviendra, non-seulement à la proposée, mais encore à deux autres dans lesquelles, le premier membre restant le même, le second serait successivement multiplié par £ et par £*; dès lors les nouvelles racines qui viendront s'adjoindre à b -{- ^^ ^u