CHAPITRE VI

ont disparu, ce qu'on peut dire et concevoir sur Timaginaire prend une tout autre consistance.

Ceci explique^ entre autres choses^ de quel fait compréhensible et purement arithmétique résulte l'impossibilité qu'une expression réelle puisse être jamais égale à une expression imaginaire. Ce n^est pas par cette raison banale et nullement algébrique qu'on comprend le réel et qu'on ne comprend pas l'imaginaire ; car^ outre qu'il y a des personnes qui ne comprennent pas même le réel négatif, l'impossibilité de celte égalité, se trouvant ainsi subordonnée à un état d'incompréhension que rien ne prouve devoir être permanent, ne saurait être considérée comme une vérité absolue. Or quelle que soit la situation de notre intelligence vis-à-vis de l'imaginaire, il nous sufflt de l'examen de sa constitution algébrique pour affirmer que jamais il ne pourra être égal au réel. Cela résulte de ce que le réel, quel que puisse être son état de réalité, est soumis à la condition essentielle de ne pouvoir créer que des carrés positifs, tandis que l'imaginaire, qui est privé de ce privilège, possède celui de produire des carrés qui, lorsqu'ils sont réels, sont nécessairement négatifs : propriété tout à fait pratique et fort précieuse dans un grand nombre de circonstances. Telle est la dissemblance réellement et arithmétiquement formulée qui existe entre ces deux expressions et en vertu de laquelle elles possèdent, vis-à-vis des carrés, des propriétés antipathiques qui s'opposent virtuellement à leur équivalence.

Revenons maintenant à la question relative aux facultés productives de l'algèbre abstraite.

Nous ferons remarquer à ce sujet que lorsque, dans une recherche quelconque, nous sommes parvenus au résultat, ce résultat, qu'il soit susceptible de réalisation ou qu'il ne le soit pas, n'en est pas moins l'indication rigoureuse et mathématique des conditions auxquelles il faudra satisfaire pour que la conclusion obtenue soit en parfaite concordance, en rigoureuse équivalence avec le point de départ. Il se manifestera alors un rapport algébrique nécessaire dépendant à la fois de ce point de départ et des raisonnements légitimes que nous

iS6 DE l'abstraction en ALGEBRE.

aurons mis en œuvre. La vérité de ce rapport préexistera donc à Tusage^ aux applications que nous en voudrons faire et le succès ou Tinsuccès de ceux-ci ne saurait en aucune façon la justifler ou la contredire. Ce succès ou cet insuccès dépendront seulement de la nature du nombre dont les propriétés limitées ne permettront pas. toujours d'exécuter les opérations indiquées ; mais ces opérations n'en seront pas moins celles qu'il faudra faire pour mettre en concordance la conclusion avec le point de départ, et, par conséquent^ pour résoudre la question lorsque la nature de la quantité .étudiée rendra possibles les opérations Anales, f/est ainsi que telles divisions, telles extractions de racines impossibles pour le nombre seront réalisables pour la longueur et pour beaucoup d'autres espèces.

Que résulte-t-il de là au point de vue des conceptions générales ? Que la considération de tant et tant d'impossibilités qui sont la .conséquence de la nature du nombre abstrait n'est nullement un obstacle à la recherche des rapports algébriques qui les caractérisent. Nous voyons en effet que non-seulement ces rapports auront l'utilité de nous édifier sur les circonstances dans lesquelles les questions ne sont pas résolubles pour le nombre abstrait, mais qu'en outre ils nous feront connaître^ par leur forme même, la nature particulière de ces impossibilités: leur définition algébrique sera donc connue dans chaque cas. Dès lors nous serons en mesure d'apprécier si cette définition correspond à un ensemble d'opérations que l'étude des propriétés d'une quantité autre que le nombre nous démontrera pouvoir être pratiquées sur elle; et s'il en est ainsi, les rapports en question passeront pour cette quantité dans la phase de réalisation.

Nous arrivons ainsi à la conception d'une algèbre dont l'abstraction ne consistera pas dans la suppression des attributs des quantités autres que ceux du nombre abstrait, ce qui serait une abstraction restrictive, ou pour mieux dire un privilège d'élection, mais dans la supposition largement libérale que les attributs peuvent être quelconques ; que nous ne voulons pas nous attacher à quelques individualités, afin d'avoir le droit de les accueillir toutes sans exception ; ce sera Tabstraction du particulier en faveur du général, sauf, dans les applications^ à faire un choix judicieux des mesures et des formes