CHAPITRE Yl

pour l'autre. Il y a même plus, c'est que si l'on devait avoir des scrupules à cet égard, ce serait à coup sûr contre le nombre fractionnaire plutôt que contre le nombre négatif qu'il faudrait les concevoir en abstrait. Car, tandis qu'en abstrait la division de a par 6 ne peut pas se comprendre, ma raison ne fait aucune difQculté d'admettre qu^une pluralité quelconque puisse posséder la propriété d'être diminutive.

Nous reviendrons plus amplement sur ces questions lorsque nous nous occuperons des considérations concrètes. Hais il n'était pas inutile de donner, dès à présent, ce premier aperçu qui nous parait très-propre à faire voir que ce que nous avons fait pour le positif et le négatif n'est pas autre chose qu'une nouvelle application, d'ailleurs justifiée, de ces extensions qu'à tout instant dans la science on est conduit à donner aux idées primitives de nombre et d'opérations.

En ce qui concerne plus spécialement la multiplication, l'extension a consisté à abandonner l'idée restreinte de sa définition première pour, dire que c'est une opération qui consiste à former un résultat se composant avec le multiplicande comme le multiplicateur se compose avec l'unité. Or il est facile de se convaincre que la règle, dite des signes, joiy t de la propriété de pouvoir être englobée dans cette définition, de sorte qu'elle possède le double avantage d'être fondée en raison et d'être conforme aux habitudes de la pratique.

Présentons maintenant une dernière observation. Si, dans l'algèbre abstraite, pourra-t-on dire, l'indivisibilité de l'unité numérique est un si grand obstacle à la possibilité des réalisations, est-il bien nécessaire d'approfondir beaucoup cette partie de la science et d'en faire l'objet de recherches multipliées? Il est certain que si l'on ne voulait s'occuper que des solutions possibles pour le nombre, et si l'on mettait de côté, à mesure qu'ils se présentent, tous les cas d'irréalisation, le contingent àe l'algèbre abstraite se réduirait à peu de chose. Mais, limiter les fonctions de cette branche de la science à l'unique résolulion des questions qui intéressent le nombre abstrait, et qui

i^i DE l'abstraction en algèbre.

sont possibles pour lui^ ce serait restreindre considérablement SCS facultés productives. Nous allons voir qu'au contraire il n y a pas de spéculations sur l'idée de pluralité qu'elle ne soit susceptible d'aborder^ et que les limites de sa puissance^ au point de vue des opérations réalisables pour le nombre abstrait, sont fort loin d'être la mesure des indications utiles qu'elle peut nous fournir.

Mais avant de nous expliquer sur ce sujet, qu'on nous permette une courte digression. Ce qu'il y a de fort remarquable dans tout ceci, c'est que ce soit précisément sur les opérations, sur les rapports tout à fait inconciliables avec la nature du nombre, qu'on a facilement passé condamnation, et que ce soit sur ceux qui sont très-compréhensibles pour lui qu'on a greffé l'épouvantail de l'isolement. En effet, tandis qu'on ne peut pas se rendre compte du fractionnaire et de l'irrationnel sans recourir aux considérations concrètes, on peut parfaitement comprendre en abstrait qu'un nombre possède le caractère d'être augmentatif ou d'être diminutif, et on vient de voir que cela suffit pour donner l'intelligence des expressions négatives. Voilà donc de ce chef le champ de l'abstraction considérablement agrandi. Or, de là à l'imaginaire il n'y a pas si loin qu'on pourrait le croire. En suivant, en effet, le cours des idées que fait naître dans l'esprit la considération que l'attribut augmentatif répond à l'addition, et l'attribut diminutif à la soustraction, on est conduit à se demander si l'imaginaire ne serait pas un attribut susceptible de correspondre à quelque autre fait d'opération arithmétique, qui ne serait plus irréalisable

comme l'est V--î et qui deviendrait la clef de beaucoup d'explications. Or ce fait arithmétique existe, c'est le changement de signe de la seconde puissance du nombre qu'accompagne

V — I. Tel est l'attribut arithmétique et parfaitement réalisable qui correspond à l'état imaginaire,, état qui, par rapport aux carrés des nombres, est exactement ce qu'est le négatif par rapport au nombre lui-même. Nous avons vu que telles sont, en effet, les conclusions auxquelles nous ont conduit les diverses applicationsque nous avons présentées dans le chapitre IV. Mais ce qui a été expliqué alors s*appuyait sur les procédés usuels de l'algèbre dont les démonstrations, on Ta vu« sont tenues en suspicion par beaucoup d'esprits. Or si maintenant les doutes