ALGÉBRIQUE DES QUANTITÉS

Sommaire. — 1. Résumé des considérations développées dans ]a première partie. — IL Conséquences relatives à Timaginarité. — III. L'étude de ce qui est impossible pour le nombre n'est pas moins utile que celle de ce qui est possible, et conduit à la généralisation de Talgèbre. — IV. Définition de la quantité. Les seules quantités pour lesquelles nous avons la conception de l'égalité sont susceptibles d'être algébriquement étudiées. — V. Delà constatation de l'égalité entre deux quantités de même espèce. — Vï. De la représentation algébrique des quantités. — VII. Inconvénients résultant de l'habitude introduite en algèbre d'employer le mot unité à deux usages différents. Nécessité de bien distinguer l'unité numérique de l'unité concrète. — VIII. C'est dans l'unité concrète, ou module, qu'il faut chercher l'interprétation et la réalisation de tous les rapports impossibles pour l'unité numérique. — IX. Insuffisance des méthodes d'enseignement pour l'exposition des principes de la science,

Il ne sera pas inutile, avant d'aborder Texposé de ce qui concerne le concret, de revenir succinctement sur Tensemble des considérations développées dans la i""' partie, et, sans nous astreindre à suivre Tordre même qu'il nous a paru nécessaire d'adopter pour les besoins de )a discussion, de signaler les horizons les plus saillants de la situation nouvelle dans laquelle il nous est permis de nous placer.

Nous insisterons d'abord sur ce point essentiel que la mission de l'Algèbre n'est pas autre que celle de soumettre les nombres qui lui sont confiés à des opérations de pluralité, à des

opérations qui ont pour unique objet de produire le plus ou le moins suivant les différentes manières dont nous concevons que la pluralité peut s'amplifier ou se restreindre. Notre raison doit se refuser dès lors à admettre que, du fait de ces opérations; il puisse résulter quoi que ce soit qui, de près ou de loin^ entraîne la conséquence que l'idée de nombre doit s'effacer dans notre esprit, non pas pour disparaître, ce qui serait le résultat de la soustraction de deux pluralités égales, mais pour que la conception si précise et si nette que nous en avons soit remplacée par des choses non définies, incompréhensibles, fantastiques, inqualifiables, et pour lesquelles le mot imaginaire vient se poser en antagoniste du mot raison. Ne faudraitil pas atout jamais renoncer à se servir des lois du raisonnement, s'il se pouvait faire qu'elles nous conduisissent à de telles alternatives et qu'elles eussent le pouvoir de nous faire passer, du monde réel que nous leur demandons d'expliquer, dans un monde idéal qu'il nous serait défendu de comprendre ?

Il n'est donc pas possible que l'imaginaire et les autres choses incomprises de l'algèbre soient de véritables interdictions jetées à notre intelligence. Nous devons nécessairement en avoir raison et nous pouvons accepter la lutte qu'elles nous pro))Osent avec la conviction que le succès couronnera un jour nos efforts.

Car ce n'est pas nous qui avons inventé Timaginaire. S'il en était ainsi, après avoir reconnu que ce ne peut être (|u un égarement de notre intelligence, nous n'aurions purement et simplement qu'à y renoncer; c'est l'algèbre elle-même qui est venue nous l'imposer comme réponse à certaines questions et cela à la suite des raisonnements les plus inattaquables. Examinons donc ce qui a pu se passer dans ces questions; scrutons avec soin ce que nous avons pratiqué lorsque nous les avons proposées à l'algèbre; étudions en même temps la forme particulière que revêt l'imaginaire, rendons-nous compte des propriétés algébriques qui appartiennent à cette forme, et sans doute il résultera de cet examen quelque utile enseignement.

C'est ce que nous avons fait dans ce qui précède, et de l'ensemble de ces recherches il est résulté d'abord que l'imaginaire n'est ni un nombre, ni une quantité, ni une convention; c'est une opération algébrique définie par sa forme même* Si donc la présence de celte forme est une cause d'obs^