CHAPITRE YIl
curilé dans la science^ ce n'est pas sur l'idée de nombre, sur ridée de quantité, que ces obscurités devront rejaillir, c'est sur la seule idée d'opération ; cette première conséquence est de tout point rationnelle^ car Talgèbre ne fait pas le nombre, mais elle fait sur lui des opérations, ou, pour mieux dire, elle indique celles qu'il y a à faire, et elle n'a pas d'autre mission à remplir.
Ce premier point éclairci, nous ayons constaté que mettre un problème en équation, c'est établir que des nombres connus ou inconnus, soumis à certaines opérations préalables, doivent satisfaire à une condition imposée. Nous avons constaté, en outre, que toutes les transformations algébriques qu'on fait subir à ce premier énoncé doivent nécessairemeut lui être équivalentes et représenter comme lui un ensemble de nombres et d'opérations ; qu'il en sera par conséquent de même de la transformation finale qui forme la solution; de sorte qu'il est indispensable de voir dans cette solution, outre le nombre, les opérations; la présence de celles-ci étant donc justifiée dans le
résultat, si sf^y qui est une opération, devient la cause que Tintelligence de ce résultat se trouve obscurcie, nous serons de plus en plus confirmés dans celte pensée que ce n'est pas sur l'idée de nombre que nous devrons faire rejaillir ces obscurités^ mais sur l'idée seule d'opération.
Mous arriverons ainsi, non pas à une incompréhension, mais à une opération impossible, ce qui est bien difTérent; il y aura échec pour les moyens de réalisation, il n'y en aura pas pour la raison. Mais, s'il existe des impossibilités dans un résultat qui est la conséquence de déductions toutes logiques, il serait déraisonnable d'admettre qu'il n'y en a pas dans les prémisses. Nous ne saurions donc nous refuser à reconnaître qu'à l'impossibilité dans la réponse doit correspondre une impossibilité dans la demande : impossibilité existant au fond dans Tune et dans l'autre, mais manifeste, quant à la forme, dans la solution, dissimulée dans la demande.
La définition algébrique de \J^i rend d'ailleurs parfaitement compte de cette sorte d'antagonisme dans les apparences. En
effet, toutes les puissances paires de ^— i étant réelles, il suffit, pour faire disparaître toute idée de contradiction, d'admettre
que les nombres qui dans la solution sont affectés de v/^ se trouvent dans Ténoncé élevés à des puissances paires. Nous pouvons même nous borner à la considération des carrés; car
la conséquence la plus immédiate de la définition de y^^^ étant que le carré du nombre auquel il est accolé doit être négatif^ il en résulte que toutes les fois qu'une quantité a figurera dans un énoncé par son carré et que de l'introduction de ce carré avec un certain signe il résultera une impossibilité dans la demande, nous pourrons affirmer que Timpossibilité de la réponse
devra être figurée par a ^ — i; et, à l'inverse, la présence de
a kj — i dans une solution sera l'indice que dans renoncé le carré de a a été introduit avec un signe qui rend cet énoncé impossible. Tel est le fait arithmétique le plus immédiat et
parfaitement concevable de la manifestation de y^^ dans une solution; à Tim possibilité de changement de signe du carré par le réel, l'algèbre répond par Timpossibililé tout à fait équivalente de l'imaginaire de la racine; ce qui établit une analogie entre le point de départ et la conclusion.
En outre de cette cause de la manifeslation de l'imaginaire dans une réponse, il y en a une autre qui consiste en ce que^ l'unité ayant plusieurs racines pour chaque degré, toute élévation aux puissances aura pour offet inévitable, soit dans la préparation algébrique de l'équation qui exprime l'énoncé, soit dans les procédés employés pour résoudre celle-ci, l'introduction de ces racines de F unité qui, inapparentes sous le voile de ces puissances, se manifesteront à la fin sous leur forme naturelle qui est celle de l'imaginaire. Cette introduction, résultant en fait dans l'abstrait des propriétés reconnues comme appartenant à certaines expressions algébriques, sera parfaitement expliquée dans ses causes premières, et sa nécessité deviendra manifeste lorsque nous nous occuperons dans le concret des directions en géométrie.
En résumé, nous pouvons dire :
L'imaginaire \f^i n'estpas une incompréhension, c'est une impossibilité de calcul.
