CHAPITRE VllI

DE l'attribut de CONTINUITÉ.

Sommaire. — I. Des attributs des quantités et de leur élude. — II. Définition de la continuité. — III. Comment on doit comprendre la continuilô en algèbre. — IV. Toutes les espèces continues sont susceptibles d'être algébriquement étudiées. — V. Du passage de la pluralité à la continuité, accord des lois naturelles avec nos conceptions. — VI. Les quantités .continues sont susceptibles d'être indéfiniment divisées. — VII. Extension de ridée de nombre aux expressions fractionnaires. — VIII. De l'addition et de la soustraction des nombres fractionnaires. — IX. De la multiplica« tion et de la division des fractions. — X. Du rapport fraciionnaire. — XI. Des expressions puissancielles et radicales. — XII. De la représentation algébrique des quantités irrationnelles ; cette représentation exige une série infinie de divisions. — XIII. Des opérations de calcul sur les expressions irrationnelles. — XIV. L'iufiniment petitesse de l'unité module conduit à la considération des limites de la continuité. Pour les longueurs on arrive à la conception que le point géométrique est cette limite. — XV. Sous quelles conditions on conçoit qu'on passe de la longueur au point et réciproquement; ces passages ne peuvent se faire sans la considération de l'infini. — XVI. Point de départ de l'introduction du calcul infinitésimal dans la science. — XVII. Observations et détails justificatifs. — XVIIi. Le calcul infinitésimal constitue en algèbre le procédé à l'aide duquel nous passons d'une espèce à une autre lorsque d'ailleurs les espèces sont liées entre elles par des lois naturelles.

Les différents objets qui tombent sous nos sens ou sous les spéculations de notre intelligence n'existent pas tous de la même manière : ils sont diversifiés soit par des propriétés naturelles lorsqu'ils sont du domaine physique^ soit par des fonctions plus ou moins nombreuses qu'ils ont a remplir^ lorsqu'ils sont de Tordre intellectuel.

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Ces différentes propriétés on fondions qui appartiennent anx ohjels sont ce que nous apf)elkTons leurs attributs, et leur ensemble dans un objet constitue le mode général d'existence de cet objet.

Tous ces attributs sont dénatures tellement diverses, les lois qui les régissent sont si variables qu tl nous serait impossible de procéder à leur étude simultanée. Noire raison conçoit cependant qu'il doit y avoir certains liens entre les unes et les autres, qu'il doit exister quelque cause en vertu de laquelle un objet possède tel ensemble d'attributs plutôt que tel autre; mais ces sortes de questions, qui dès l'abord viennent se présenter à l'esprit, ne peuventêtreimmédiatementlraitées,etnous ne saurions avoir l'espoir de parvenir aies résoudre que lorsqu'au préalable nous serons en possession de la connaissance des lois principales qui régissent en particulier chaque attribut; ce n'est qu'après ce premier travail qu'il pourra être permis d^étabiir des comparaisons utiles entre les uns et les autres, et de s^élever jus(|u'à la conception des causes nécessaires à leur association sur un même objet.

Le besoin de simplifier les études et de venir ainsi en aide aux opérations de l'esprit nous porte donc à envisager séparément chaque attribut, à rechercher par conséquent, et à déterminer quelle est la part particulière que prend chacun d'eux dans le mode d^existence des objets.

C'est ce dont nous allons nous occuper pour celui qui a reçu le nom de continuité. Disons d'abord en quoi consiste l'idée qu'il faut attacher à ce mot.

Considérons deux quantités quelconques A et B de même espèce, dont l'une B est plus grande que l'autre, leur différence sera B-A; or, si l'espèce considérée est telle qu'il nous soit permis de concevoir que cette différence peut devenir aussi petite qu'on voudra le supposer sans que A et B cessent d'être des quantités distinctes de la même espèce, on dit que l'espèce en question jouit de la propriété d'être continue.

Il résulte de là qu'il n'y a aucun état D susceptible d'êlre conçu pour cette quantité entre A et B, qu'on ne trouve nécessairement parmi les valeurs intermédiaire^ qui existent de l'une