CHAPITRE YIII. i

yariabilité de Tespèce considérée, et je ne sors pas des conditions définies.

Il est facile de se convaincre que toutes les espèces qui jouissent de Tatlribut de continuité sont susceptibles d'être soumises aux spéculations de l'algèbre. Il suffit pour cela de s'assurer que de la définition de la continuité résulte la possibilité de concevoir que l'idée d'égalité se réalise dans ces espèces. En effet, prenons -en deux, quelconques, et supposons qu'elles soient inégales; diminuons celle qui est la plus grande, nous approcherons ainsi de la plus |)etite, et parce que nous pourrons le faire de manière que la différence entre les deux soit aussi petite qu'on pourra le désirer, nous arrivons ainsi à la conception de deux choses égales; d'où il résulte, d'après ce qui a été expliqué au sujet de la représentation des quantités, que nous pourrons employer les nombres pour la supputation de toutes les espèces continues.

Arrêtons-nous maintenant un instant sur quelques circonstances relatives à ce rapprochement auquel nous venons d'être conduit entre la pluralité et la continuité; puisque l'idée de l'une peut s'associer avec l'idée de Tautre, nous devons nécessairement admettre que ce qui se trouve infailliblement lié dans nos conceptions doit l'être également dans l'ordre naturel, et ce n'est pas une chose indifférente de chercher à reconnaître comment les choses se passent à cet égard.

Pour cela, il est nécessaire de se rendre compte des conditions sous lesquelles nous concevons que la représentation de la continuité peut devenir numérique; nous verrons ensuite si dans la nature nous trouverons les mêmes conditions.

Or, d'après tout ce qui a été exposé sur la représentation des quantités, on a vu qu'après en avoir pris une pour module de cette espèce, nous cherchons combien de fois celle-ci doit être répétée pour produire les autres, et ce nombre de fois joint au module représente la quantité. Mais il se produit ici cette circonstance particulière que le choix du module est tout à fait

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arbitraire; nous avons même vu que^ pour satisfaire à tous les cas, nous pourrions être forcé de prendre pour ce module des quantités de plus en plus petites.

Il faut conclure de là que, dans la représentation d'une quantité, l'élément numérique n'est pas une chose fixe, il deviendra d'autant plus petit que le module sera plus grand et inversement. Il 7 a donc, dans Tapplication de la pluralité à la continuité, quelque chose d'arbitraire; nous devrons, par conséquent, dans l'ordre naturel, retrouver le même arbitraire, et, s'il en est ainsi, il y aura accord parfait enti'e cet ordre et nos conceptions.

Examinons maintenant comment il peut nous être permis de comprendre que nous passons en fait de la pluralité à la continuité.

Comme dans la continuité nous ne sortons pas de la même espèce, considérons aussi la pluralité de choses semblables. Pour simplifier les idées, prenons des longueurs toutes rectîlignes; nous en aurons un nombre quelconque n; faisons varier à volonté la position respective de ces longueurs, nous aurons toujours la même pluralité. Chacune de ces longueurs rectilignes possède séparément la propriété qu'elle est situçe tout entière sur une même ligne droite; or, comme notre but actuel est de reconnaître si la pluralité qui s'applique à toutes ces longueurs peut nous conduire à une idée de continuité qui serait également applicable à leur ensemble, tâchons de nous approcher, autant que possible, de cette condition de continuité générale à toutes, et pour cela imaginons que nos diverses longueurs sont situées sur une même ligne droite, mais séparées les unes des autres. Dans cet état, l'idée de la même pluralité n reste dans notre esprit, car jusqu'à présent nous nous sommes borné à opérer un arrangement particulier plus favorable qu'un autre à la réalisation d'une continuité générale, et nous savons qu'un arrangement quelconque ne change pas la pluralité.

Cela fait, si nous supposons que sur la ligne en question nos diverses longueurs se rapprochent de plus en plus , pendant que ce rapprochement s'effectue, la pluralité n subsistera toujours telle qu'elle était à Torigine. Hais au moment même où toutes les longueurs se seront rapprochées jusqu'à se loucher', où la continuité générale se sera établie, l'idée de pluralité aura