CHAPITRE YIll. i

instantanément éprouvé une modification profonde; cette idée n'aura pas sans doute cessé de faire partie de nos conceptions, mais tout moyen de la préciser aura disparu, toute raison d'affirmer qu'elle est encore ce qu'elle était d'abord, qu'elle doit par conséquentcontinuer d'être désignée par le nombre n, nous aura échappé. Celte pluralité pourra être quelconque, parce qu'à la simple vue des longueurs, ainsi confondues par leur intime rapprochement, il sera complètement impossible d'affirmer que la quantité continue qui en résulte est la conséquence nécessaire de la réunion d'un nombre particulier de longueurs plutôt que de tout autre.

Il y a donc, comme on voit, un lien naturel entre la pluralité et la continuité, et, en outre, nous retrouvons exactement dans ce lien les conditions mêmes auxquelles nous a conduits la conception théorique du rapprochement quMl est possible de faire entre ces deux ordres de considérations. Qu'on suppose en effet, maintenant, pour que tout soit semblable de part et d'autre, que les longueurs ajoutées sont égales, chacune d'elles pourra être prise pour module, et comme l'idée de la longueur particulière de ce module aura disparu au moment où la fusion s'est opérée, on voit qu'en fait comme en raison il sera possible d'adopter un module quelconque, et, par suite, d'assigner une valeur variable, et même tout à fait arbitraire, à l'élément numérique qui doit figurer dans la représentation de la quantité. L'analogie est donc à tous égards aussi complète que possible.

Une conséquence importante du principe de lu continuité est que toute quantité qui possède cet attribut peut être considérée comme divisible en tant de parties égales qu'on voudra; car si après avoir pris arbitrairement une quantité moindre que la première comme représentant le quotient probable de cette division et l'avoir ajoutée à elle-même autant de fois que l'indique le diviseur, il arrive que le résultat de cette opération diffère en plus ou en moins de la première, je pourrai, en ifertu du principe de la continuité, substituer, suivant les cas, à cette première représentation, une suite d'autres qui en seront des diminutions ou des augmentations telles que la diffé-

i56 DE l'atthibgt de continuité.

rence primitivement constatée s'atténue et devienne aussi petite que je le voudrai. Je parviendrai ainsi à la conception d'une quantité qui réalisera la condition qu'elle soit une division exacte de la proposée. Quant au point de vue pratique, il n'y aura d'autres limites à l'exactitude de l'opération que celle résultant de l'imperfection de nos sens.

D'ailleurs, au point de vue de la pratique, chacune des sciences qui s'occupe de déterminer les lois naturelles relatives aux espèces considérées pourra nous donner des moyens plus ou moins simples à concevoir, plus ou moins faciles à réaliser^ i

mais toujours certains^ pour exécuter ces opérations : c'est \ ainsi que la géométrie nous apprendra à faire la division des longueurs, des surfaces et des volumes^ la statique nous indiquera comment nous devons nous y prendre pour faire celle des forces, etc.^ etc. Hais alors même que ces moyens nous manqueraient^ nous n'en concevrionspas moins la possibilité de leur existence^ et cela nous suffit pour que^ dans les éludes sur la continuité, l'intelligence de la division^ qui nous manque si souvent pour le nombre^ ne nous fasse jamais défaut pour les quantités.

Nous allons voir maintenant comment ce nouvel élément d'interprétation va nous conduire à une extension de l'idée de nombre qui^ indépendamment de plusieurs autres services, . nous rendra celui d'introduire plus de simplicité dans la représentation des grandeurs.

Nous avons fait remarquer, en parlant de cette représentation, que dans certaines circonstances nous pourrions être obligé de faire choix d'un module très-petit; or, si cette petitesse est un avantage dans ces cas particuliers, elle pourrait être un grand inconvénient pour les autres, parce que, plus le module sera petit, plus il faudra le répéter de fois pour se rendre compte des grandeurs, ce qui sera lon^ et pénible dans la pratique, dans l'écriture et dans le langage. Or, voici comment cette diflicullé pourra être aplanie.

On commencera par faire choix d'un module qui ne soit ni trop grand ni trop petit, eu égard aux grandeurs les plus babiluelles dont on aura à s'occuper, et on réi)étera ce module