CHAPITRE VIII

rait été la dixième partie de {a,, on aurait eu évidemment la relation [A, = îiî- et par suite [x, = *^, de sorte que l'expression de la grandeur serait devenue :

fli [Al -h a, ^ + a,-^-^

lo - • lOO,

qui^ lorsqu'on supprime i^^, se réduit à

a, -ha. h û» —

et; sous les réserves ci-dessus, cette forme pourra sans inconvénient être adoptée comme représentation de la quantité^

Ainsi; tandis qu'en abstrait^ si les nombres a, et a. ne sont pas directement divisibles par lo et par loO; une expression de cette forme ne saurait être réalisée, il n*en est plus ainsi en concret; parce que l'idée de division doit être reportée sur le module; bien qu'il ne soit pas écrit; et que dès lors ces opérations sont toujours possibles.

Il suit delà que, pour toutes les espèces douées de l'attribut de continuité, la forme fractionnaire seule ou combinée avec la forme entière sera parfaitement compréhensible pour la représentation des quantités; dèsIorS;il devient nécessaire de rechercher; à l'aide du raisonnement; le sens qu'il faudra attacher aux différentes opérations de calcul appliquées à ces formes, et d'indiquer, en outre; quand ce sens aura été déterminé; les diverses règles qu'on devra suivre pour que l'exécution algébrique des opérations soit en parfaite concordance avec celle des mêmes opérations si elles étaient directement pratiquées sur les grandeurs.

Nous ne saurions procéder ici à l'exposition des nombreux détails que ces recherches comportent; mais il ne sera pas inutile d'indiquer; à l'aide de quelques exemples; dans quel esprit elles doivent être entreprises.

Je suppose; par exemple; qu'il s'agit de procéder à Taddi-

tion de deux grandeurs continues représentées par - et - Si nous

160 DE l'attribut de continuité.

restituons le module, cette représentation deviendra - yn et

- f*i> et, d'après ce que nous avons dit, Tidée de division devant se reporter sur le module, la véritable représentation de ces grandeurs sera 3 -> 2 —, ce qui veut dire que le module principal ayant ^été divisé en sept parties, on en a pris 3 pour former la première grandeur et 2 pour former la seconde. Leur addition donnera donc 3 fois plus 2 fois le septième du

moflule, ce qui s'écrira (3 4-2) '-^. Voilà certainement ce qu'en réalité donnera Taddition des deux grandeurs, et, par la sup-

pression du modulé, cela se réduit à . Celte constatation

établie, on voit qu'on peut tout à fait se dispenser, dans les calculs relatifs à Taddilion des fractions, de faire intervenir le module, et ériger en règle que le résultat de cette opération est une nouvelle fraction, ayant même dénominateur que les fractions données, et ayant pour numérateur la somme de leurs numérateurs.

Dans cet exemple, les fractions ont même dénominateur, mais elles pourraient les avoir différents. Supposons, par

8 i3 exemple, qu'il faut ajouter r- ^ ~. La restitution du module

nous apprendra que la première grandeur a été obtenue en divisant le module principal en 11 parties et en en prenants, que la seconde Ta été en divisant le module en 17 parties et en en prenant i3. Celte différence (Jans^les nombres diviseut*s compliquant la question, il y aurait intérêt à la faire disparaître. Or, on y parvient à Taide de la remarque précédemment faite que pour la représentation des grandeurs l'emploi d'un module particulier n'est pas obligatoire et que nous pourrons, sans apporter aucune altération à une grandeur donnée, la représenter par un module qui serait un certain nombre de fois plus petit que le premier, à la condition de prendre le même nombre de fois plus de parties que précédemment. ProGtant de cette

ressource, il me sera loisible de substituer au module ~ un