CHAPITRE YIII

module 17 (ois plus petit, ce qui s'écrira -— J — , et il faudra, • 11x17

pour que je n'altère pas la valeur de la première grandeur, que je prenne 17 fois plus de ces parties devenues 17 fois plus petites, ce qui s'écrira 8 x 17. Dans ces circonstances^ la première

grandeur aura pour représentation 8x17 — ^ — ; passant maintenant à la seconde grandeur^ je remarquerai que si je rends

son module 1 1 fois plus petit, il deviendra ~^ — et sera par

conséquent égal au précédent; d'ailleurs, en répétant le même raisonnement que précédemment, on se convaincra que la représentation de la seconde grandeur avec ce nouveau module

devient 1 3x 1 1 -r^; — ' ''ai ainsi ramené les deux représentations à être faites avec le même module ; supprimant alors celui-ci, je rentre dans le cas précédent, et de là je déduis les règles connues pour l'addition des fractions lorsqu'elles n'ont pas le même dénominateur.

Ce que nous venons de dire pour l'addition, nous le répéterions exactement pour la soustraction, et il est inutile d'insister snrce point.

La conséquence générale à déduire de l'ensemble de ces considérations c'est que finalement, pour les deux premières opérations de l'arithmétique, on se trouve autorisé à supprimer l'inscription du module, que cette suppression revient, comme nous l'avons vu, à substituer l'unité numérique à l'unité module, en attribuant mentalement à la première toutes les propriétés de la seconde; mais en ne perdant pas de vue qu'en réalité ce n'est pas à cette unité que s'appliqueront des opérations qui le plus souvent seraient impraticables avec elle, et que c'est sur l'unité module que la conception et la réalisation des calculs devront être définitivement reportées.

Il ne saurait donc y avoir de difficulté dans cette manière de Yoir les choses pour l'addition et la soustraction ; mais, lorsqu'on passe à la multipUcation, les analogies sont loin de paraître aussi évidentes, et il est nécessaire d'entrer à cet égard dans quelques explications.

462 DE l'attribut de* GONTINDITÈ.

Si l'on réfléchit à la nature de la multiplication^ et si Ton se rappelle sa définition en abstrait, on reconoaitra que le multiplicande étant un nombre quon répète, qu'on ajoute avec luimême, peut être, soit un nombre abstrait, soit un nombre -concret, puisqu'on peut se proposer d'ajouter plusieurs fois ayec elle-même soit une pluralité, soit une quantité. Quant au multiplicateur, il ne saurait être qu'un nombre de fois; il est nécessairement abstrait, car il n'est pas possible de se rendre compte de ce que pourrait être l'opération qui consisterait à multiplier une chose par une autrechose. Si donc on demandait quelle est, par exemple, la valeur de 5 mètres d étoffe dont chacun coûte 7 francs, je verrais que ce qu'il s-'agit de trouver ici est une somme d'argent, que par conséquent la considération du module monétaire doit être maintenue. Quant à celle du module des longueurs, elle est ici tout à fait indifférente, nonseulement quant à la valeur numérique du résultat, mais encore quant à sa nature, de telle sorte que si, au lieu de parler d'étoffe et de mètre, on avait demandé d'une manière générale quel est le prix de cinq choses égales à une autre qui coûte 7 francs, la réponse dans ce cas général aurait indistinctement convenu à tous les cas particuliers.

Il suit de là qu'en ce qui concerne I^ multiplicande, son module, quoique sous-entendu, doit toujours être restitué au produit, et qu'en ce qui concerne le multiplicateur, alors même qu'un module figurerait dans sa représentation, il ne faudrait y avoir aucun égard, et qu'on ne doit voir dans cette représentation que le nombre de fois qui y figure.

Telle est, au point de vue des modules, la distinction essentielle qu'il faut voir entre le multiplicande et le multiplicateur.

Cela posé, si on demande quel est le prix de cinq choses dont

chacune coûte t? de franc, restituant à -^ la conception du module que je désignerai par f , je reconnaîtrai que cela veut dire qu'on l'a divisé en trois parties et qu'on en a pris deux pour obtenir le prix d'une chose; le prix total s'obtiendra donc en

CHAPITBB VIII. 163

répétant cinq fois ces deux parties du tiers de ^, ce qui donnera 5x2^. Supprimant ensuite Tindication du moduiej'au-

rai —T—f 6^ bî6° que la division de 5 x 2 par 3 ne puisse pas se

fiiire, je n'en comprendrai pas moins que ce résultat sera réalisable, parce que la division par 3 pourra toujours s*effectuer snr le module, lorsque celui-ci sera connu.

Mais^ au fond^ on voit qu'ici il y a autre chose qu'une multiplication^ il y a en même temps une division. En effet, la multiplication de 2 par 5 ne suffirait pas à elle seule pour obtenir le résultat; il faut encore y joindre la division du module en trois parties. On a cependant continué de donner à cette double opération l'unique désignation de multipllcalion*

Supposons maintenant que^ sachant que le prix d'une c^ose

est de 1 1 francs, on demande quel sera le prix des - de cette

chose, voilà certainement une question qui rentrerait encore moins que la précédente dans l'opération de la multiplication, car, tandis que là le multiplicateur est un nombre de fois, ici il ne Test plus, de sorte que le caractère essentiel de la multiplication manque tout à fait. Recherchons néanmoins comment la question pourra être résolue. Je remarquerai que puisque le prix d'une chose est de 1 1 francs ou 11 9, le prix du

septième de celte chose sera — ?, ou pour mieux dire 1 1 ^.

parce que la division par 7, qui ne peut pas se faire sur le nombre 11, peut toujours être exécutée sur le module; dès lors, les cinq septièmes coûteront cinq fois plus, le prix cherché sera donc 5x 1 1 ^> dont la forme, en supprimant Tindica-

5x II tien du module, se réduit à , résultat toujours compréhensible, en ne perdant pas de vue que la division par 7 se fera sur le module.

Nous trouvons donc encore ici la combinaison d'une multiplication et d'une division ; cependant, dans ce cas comme dans le précédent, on a continué de donner à cet ensemble le nom de multiplication.

i6^ DE l'attribut de CORTIIfClTÉ.

Comme notre intention n'est pas de faire un ouvrage d'enseignement, mais d'indiquer seulement Tordre d'idées suivant lequel un pareil ouvrage devrait être conça^ nous ne pousserons pas plus loin l'examen des procédés à suivre pour exécuter sur les fractions les diverses règles de calcul qu'on peut concevoir sur elles. Ce qu'il y a d'important dans tout ceci, c'est de bien remarquer que toutes les divisions impossibles à exécuter sur les nombres et sur l'unité numérique sont toujours reportées sur des modules jouissant de la propriété d'être divisibles à volonté^ ce qui fait disparaître Fobstade et l'impossibilité résultant pour notre raison de concevoir que ces opérations doivent être pratiquées sur des nombres.

Il est toutefois nécessaire de faire observer qu'en prenant la résolution d'appeler multiplication une opération ou^ pour mieux dire, un ensemble d'opérations autre que celle à laquelle on a primitivement réservé ce nom^ il devient nécessaire, pour éviter toute confusion, de donner de la multiplication une définition nouvelle qui, en même temps qu'elle comprendra la première, sera applicable aux nouveaux cas qu'on se propose de considérer désormais comme des multiplications. C'est ce qu'on a fait en disant que c'est une opération qui consiste à trouver un résultat qui se compose avec le multiplicande comme le multiplicateur se compose avec l'unité, étant bien entendu que cette unité sera l'unité numérique en abstrait et Tunité module en concret.

11 est maintenant important de remarquer que de cette définition, parfaitement convenable à tous égards, il résulte que le résultat ou produit sera nécessairement de même nature que le multiplicande : abstrait lorsque celui-ci sera un nombre abstrait, et de même espèce que le multiplicande lorsque celuici sera une quantité. Quant au multiplicateur il ne saurait jamais être concret, car, d'après la définition, il n'est autre cbose que la manière dont il se compose avec l'unité, c'est-à-dire l'ensemble des nombres et des opérations seulement qui concourent avec cette unité à définir l'espèce qui a donné lieu à son concours ; cette considération doit toujours être présente à l'esprit.

Résumant maintenant, dans une considération unique, toutes celles qui ont dû être exposées ci-dessus en détail, nous