CHAPITRE X. Si

vise en n parties égales la circonférence^ et y'i à celle de la ligne qui la divise en m parties^ choses essentiellement distinctes Tune de l'autre.

Hais comme, lorsqu'on nous a demandé de diviser la circonférence en n parties égales^ le procédé d'investigation que nous avons employé se borne à écrire qu'au bout de n répétitions d'un certain arc a le long de la circonférence nous arrivons à la ligne de départ; comme aussi^ si nous avions pris l'arc 2a au lieu de «^ et si nous l'avions répété n fois, nous serions évidemment arrivés à la même ligne de départ; comme encore^ si nous avions pris Tare 3a et si nous Tavions répété n fois^ nous serions également arrivés à la ligne de départ^ et ainsi de suite jusqu'à Tare na : il s'ensuit que ce que nous avons écrit doit également s'appliquer à ces différents cas, d'où nous devons conclure que notre condition de relation convient à n valeurs différentes de p, et qu'il doit par conséquent exister n racines n**»« de l'unité.

Enfin, parce que toutes ces valeurs de p répondent aux coefficients de direction des lignes qui sont déterminées par les arcs a^^2a^ 3a,..., na, et que dans, le cas actuel a est égal à

— , il s'en suit que les valeurs de p, et par conséquent celles

des n racines de l'unité^ seront les représentations des directions des lignes divisoires de la circonférence en parties égales , ce qui confirme la légitimité des formes admises en algèbre pour ces racines et la démontrerait au besoin.

Mais ce qu'il convient surtout de remarquer en ceci c'est que ces formes si mystérieuses, irréalisables en abstrait^ reçoivent par les considérations concrètes de la géométrie une interprétation des plus simples^ puisqu'elles sont représentées par l'image visible des lignes divisoires dejla circonférence en parties égales ; de sorte que rextrème{évidence vient ainsi pratiquement se substituer à l'une des:plus obscures considérations de la théorie.

Nous n'insisterons pas davantage sur les détails des calculs qu'on pourrait faire sur les expressions représentatives des directions : ces combinaisons ne peuvent qu'être familières à tous ceux qui s'occupent d'algèbre ; l'essentiel était de faire voir

le rapprochement intime qui existe entre ces formes algébriques et les directions, parce que c'est en cela surtout que consiste le point de vue nouveau qui doit être introduit dans la science. Une fois cette base bien établie^ le reste doit aller de soi et n'est plus qu'un simple jeu de combinaisons analytiques.

Mais ce qui est important^ c'est de bien s'expliquer sur les principes et nous présenterons à cet égard quelques obserrations.

Pour éviter toute confusion^ il ne faut pas perdre de vue que les angles se comptent, comme les arcs, à partir de la direction positive ; en conséquence on suppose toujours qu'un de leurs côtés est appliqué sur cette direction initiale ; leur second côté qui détermine la direction à laquelle ils correspondent tombera donc, savoir : entre la ligne de base et la perpendiculaire s'ils sont aigus, entre la perpendiculaire et la direction négative s'ils sont obtus, entre cette dernière direction et le côté négatif de la perpendiculaire s'ils sont compris entre deux et trois angles droits, enfin entre ce côté négatif de la perpendiculaire et la direction positive s'ils sont compris entre trois et quatre angles droits.

On ne devra donc jamais perdre de vue qu'en partant de la direction positive, c'est en s'élevant au-dessus de cette direction et en allant de droite à gauche que se développe la série des directions; il est vrai qu'une fois qu'en suivant cette marche on aura dépassé la direction négative, on progressera en fait de gauche à droite, mais au point de vue du mouvement circulaire qui engendre les directions; le sens primitif de ce mouvement se trouvera ainsi maintenu, et c'est là l'essentiel.

La seule chose d'ailleurs qu'il y ait d'obligatoire en ceci, c'est le maintien du sens de la rotation une fois qu'on en a adopté un. Je pourrai donc tout aussi bien procéder en-dessous de la ligne de base, comme je l'ai fait en dessus, mais dès l'instant qu'un choix est fait, il est nécessaire d'en maintenir, pour la supputation des directions, toutes les conséquences. Ces idées seront d'autant plus facilement comprises que ce sont précisé-