CHAPITRE X

somme de ces arcs^ et cela sans que les arcs soient connus. Si, à lïnyerse^ les directions étaient inconnues et que les arcs fussent donnés^ la direction résultant de leur somme s'obtiendrait de toutes pièces en cherchant directement les cosinus et sinus de cette somme.

Par exemple on donne les deux directions

dont les arcs ne sont pas connus; je pourrai affirmer que la direction qui correspond à la somme de ces deux arcs est

qui étant développée donne

Si, à rinverse, je saisque la première direction correspond à un angle de 4^ degrés et la seconde à un angle de 120 degrés, je pourrai immédiatement connaître la direction résultante en cherchant directement les cosinus et sinus de Tangle de i65 degrés. Ces sortes de questions ne sauraient présenter aucune ditBcuIté.

Hais une direction répondant à un angle quelconque d étant donnée, il m'est permis d'admettre que la direction relative à un angle a, moindre que 0, est une des composantes de la première; d'où il suit que le facteur cosa-|-^^sina, quel que

soit a, est nécessairement contenu dans cos 0 -|- y^sin 0, et que la division de cette dernière expression par la première doit nécessairement donner pour quotient un résultat qui sera l'expression de la direction répondant à Tangle d — «. Rien ne s'oppose, en outre, à ce que je conçoive que Tangle a

est la n*^*^ partie de 6, auquel cas l'expression cosô +^^ sin ô pourra élre considérée comme égale à la n^^^ puissance de

cos a + ^ — I sin a et, par suite, celle-ci sera la n^^^ racine de la première.

On peut donc en résumé proclamer le principe que le quotient de deux expressions de la forme cos 6 + y^— i sin 6 est nécessairement une expression de la même forme et représente, par conséquent, une direction; qu'il en est de même de Tex-

traction d'une racine quelconque n de cosô-fV^^î" 6^ et que

cette racine représente la direction correspondant à l'angle -•

11 est très-facile, à Taide de ce dernier principe^ de se rendre compte de ce que représentent géométriquement les diverses formes

En effet si, partant de la direction — i, qui correspond à l'arc 7c, j'en extrais successivement les racines 2*^"^, 3*«»«, 5*^, fiième^ il résulte de ce qui vient d'être établi que les résultats de ces extractions seront les directions répondant successivement aux arcs

IC TT 1t 7C

d'où l'on voit immédiatement que les expressions ci-dessus représentent les directions des lignes qui divisent la demi-circonférence en 2, 3^ 4) •••) ^ parties égales.

Supposons maintenant qu'au lieu de la demi-circonférence on s'occupe de la circonférence entière^ et qu'on conçoive celle-ci divisée en 2, 3, 4> ••••^ parties égales, le coefficientde direction de la première ligne divisoire étant p, celui de direction de la dernière n sera p*" ; mais cette dernière est précisément la ligne de base^ de sorte qu'on devra avoir p'*= i d'où

p=')/u Remarquons en passant que de ceci il résulte qu'on ne sau-

rait indifféremment dans les calculs substituer ^ i ùl ^ i e\ ^

à I. En effets v^T s'applique à la direction de la ligne quidi-