CHAPITRE

doit être le côté d’un carré soumis à la condition que sa surface ajoutée à une surface donnée produise une somme égale à une autre surface donnée.

On procède aux opérations nécessaires pour résoudre la question, et l’on ^uve que le côté du carré cherclié est représenté par «v — h c’est-à-dire par la quantité très-réelle a, mais sur laquelle il faudrait au préalable pratiquer l’opération indiquée par — i ; nous arrivons ainsi à une impossibilité manifeste.

Mais, parce que dans cette circonstance, ce qui importe, c’est moins le côté du carré que sa contenance, parce que cette contenance s’obtiendra en multipliant ay^— i par lui-même; parce que cette multiplication entraînera celle de v* — i par\' — i, parce que celle-ci est précisément l’inverse de l’opération radicale; que par conséquent elle la fera disparaître, et gu’après cela le seul signe d’opération accompagnant a’ sera le signe—, c’est-à-dire celui de la soustraction; parce qu’enfin cela indique que la surface a- au lieu d’être ajoutée devra être retranchée, on comprend que, dans ce cas, la présence d’une solution de la forme a V — i peut fort bien ne pas être un indice d’impossibilité absolue, au point de vue de l’espèce de question qu’on se propose de résoudre, mais simplement celui d’un redressement très-compréhensible dans les termes de l’énoncé; on voit enfin très-clairement dans cet exemple que la grandeur continue de rester ce qu’elle est, et que les entraves s’introduisent et disparaissent par le simple jeu des opérations, parce qu’elles sont elles-mêmes des opérations.

Pour ne pas interrompre le cours des idées, nous avons pris ici une expression imaginaire toute faite et nous avons examiné son influence sur l’énoncé de la question ; nous nous expliquerons plus tard sur la considération inverse de celle-ci, c’est-à-dire sur le |)oint de départ et sur les causes de la présence de l’imaginaire dans les solutions des [iroblèmes algébriques.

Quant à présent, nous ferons remarquer que tout ce que nous venons de constater ici pour un exemple particulier est

susceptible d'être généralisé. Toutes les fois en effet que, pour satisfaire à une question, il faudra que le ^ultat obtenu soit élevé au carré, une solution de la forme — i sera acceptable et compréhensible, à l’instar des solutions négatives ordinaires; cette circonstance sera l’indice que le carré dont on doit faire usage, au lieu d’être ajouté, devra être retranché, ou, pour mieux dire, devra être pris dans un sens in verse de celui qui est indiqué dans l’énoncé : ce qu’on peut énoncer brièvement en disant que l’imaginaire est le négatif des carrés transporté sur leurs racines; et l’on trouve encore ici une nouvelle confirmation de t’idée que l’imaginaire ne saurait être autre chose qu’une opération.

Or ce principe peut recevoir une foule d’applications dans l’étude des sciences. Pour convaincre le lecteur à cet égard, il suffira de faire remarquer qu’une de scs conséquences tes plus immédiates est que, dans ta mécanique rationnelle, on devra dire qu’une vitesse imaginaire correspond à une force vive négative et par conséquent bien réelle; dès lors un grand nombre de solutions qu’on pourrait être tenté de considérer comme imaginaires, en optique, en acoustique, dans la théorie de la chaleur, de l’électiicité, etc., seront tout aussi acceptables, tout aussi compréliensibles que peuvent l’être les solutions négatives ordinaires.

Voilà donc un premier pas fait sinon vers la compréhension de l’imaginaire en lui-même, du moins sur certaines circonstances propres à justifier sa présence dans les calculs, sur lu nature des interi)rélations auxquelles il peut nous conduire quant à ses effets ultérieurs. Ce n’est pas tout sans doute, mais n’est-ce pas quebpie chose, n’est-ce pas beaucouj) ?

Nous nous bornons en ce moment à ces simples explications. Plus lard, nous en développerons la suite avec tous les détails nécessaires.

11 résulte de tout ce qui précède que les éludes algébriques qu’on peut entreprendre sur les expressions imaginaires n’ont rien d’illogiijue et d’inutile, non-sculenicnl parce qu’en vertu de sa forme, qui est en même temps une définition, V— i est tributaire de l’algèbre, mais encore parce que, par l’effet

CIIAPITRI' II.

de calculs ultérieurs , l’entrave imaginaire peut disparaître.

On est ainsi naturellement conduit à se demander (|uelle peut être la nature des calculs qu’il sera permis d’entrefirendre et d’exécuter sur les expressions imaginaires, quels seront les rapports qui lieront ces expressions soit entre elles soit avec le réel.

Sans chercher à faire ici une réponse complète à cette question, nous présenterons sur ce sujet quelques réflexions qui non-seulement nous paraissent propres à éclairer la marche qu’il faudra suivre et à faire éviter certains écueils, mais qui contribueront à mieux préciser encore l’idée que nous devons nous faire de la nature de rimaginaire et du véritable rôle qui lui appartient en algèbre.

Bien c|ue dans l’expression AV^ la quantité réelle A soit accompagnée d’un signe d’opération que l’algèbre est impuissante à effectuer, il ne doit pas pour cela répugner à l’esprit qu’on puisse pratiquer certains calculs sur cette expression. Les observations que nous venons de présenter conduisent à cette conclusion, essayons d’en donner une plus complète iustifiçation.

On conçoit que les calculs que l’algèbre exécute sur la généralité des objets qu’elle soumet à ses investigations, que ces objets soient définis ou indéterminés, que leur désignation soit explicite ou implicite, qu’ils appartiennent à l’ordre physique ou à 1 ordre intellectuel, qu’ils soient, par exemple, une longueur, un poids, une intensité calorifique, lumineuse, ou bien un nombre, un rang, le degré d’une puissance, une probabilité; on conçoit, disons-nous, que ces calculs pourront être à titre égal appliqués à l’objet représenté par V^, et que, bien que cet objet soit irréalisable dans sa forme actuelle, il n’en reste pas moins susceptible, comme tous les autres, de tomber sous le coup des spéculations de nombre et de rapport qui constituent le dofnaine de l’algèbre. 11 le peut d’autant plus que, quoique intraduisible, quant au résultat, en langage algébrique, il n’en a pas moins dans celle langue une définition nette

et précise qui nous servira de fil directeur dans nos recherches.

Ces spéculations, en effet, et c’est là un de leur caractère distinctif, restent étrangères à l’essence des objels auxquels

elles s’appliquent; elles ne se préoccupent pas de la nature particulière de ces objets ; leur mission consiste seulement à faire connaître le plus ou le moins qu’il en faut prendre, à rendre manifeste la série des opérations de calcul qui doit réaliser ce plus ou ce moins pour qu’en cet état l’objet en question devienne susceptible de satisfaire à certaines conditions préalablement indiquées.

Je n’ai pas besoin, par exemple, de savoir ce qu’est une chose pour être convaincu, alors même que cette chose serait impossibleà obtenir, qu’elle se contiendra elle-même une fois; qu’ajoutée à elle-même elle produira deux fois celte chose, que retranchée d’elle-même elle donnera zéro pour reste, qu’ajoutée à des choses égales elle ne détruira pas l’égalité préexistante à cette addition, et ainsi de suite. Ce sont là des relations générales, universelles, dont la vérité n’est nullement dépendante de la définition des choses auxquelles elles s’appliquent.

Seulement, il arrivera le plus souvent, si l’objet soumis au calcul est irréalisable, que la plus ou la moins grande partie de cet objet qui constitue la solution soit tout aussi irréalisable que l’objet même ; mais la relation algébrique qui sera l’expression de ce plus ou de ce moins continuera de subsister dans toute sa force, parce qu’il faudra bien qu’elle soit toujours prête à produire ses effets, si les empêchements qui frappent l’objet venaient à disparaître.

Il ne sera pas d’ailleurs toujours nécessaire que cette sorte d’impossibilité existe au début pour que le résultat ne puisse pas être réalisé; cela dépendra, d’une part de la nature de l’objet, d’aulre part de celle des opérations ullérieures auxquelles il devra être soumis. Si, par exemple, on demandait de faire équilibre à un poids de 200 kilogrammes avec des hommes pesant chacun kilogrammes : bien que l’idée d'un homme de ce poids soit parfaitement concevable, il ne serait pas possible d’appliquer à l’objet homme l’opération qui consiste à en

prendre 2 parce que cet objet par lui-même est essentiellement indivisible.

Et, à l’inverse, bien que l’idée d’un tiers d’homme soit une impossibilité pournotre intelligence, il ne s’ensuit pas que toute

Digiiized ïg CoogU

CUAPITRB II.

question dans les données de laquelle figurera cette impossibilité conduise par cela même à un résultat irréalisable; cela dépendra de la nature des opérations à exécuter qui, soit dans le cours des reclierches, soit à la fin, pourront quelquefois détruire l’impossibilité initiale. Si par exemple on demandait combien il faut de tiers d’homme, chaque tiers pesant 25 kilogrammes, pour obtenir un poids de y5 kilogrammes, on trouverait qu’il en faut trois, réponse qui reconstituerait l’homme unité, et rendrait réalisable ce qui, d’après l’énoncé, ne paraissait pas pouvoir l'être.

Que conclure de ces observations et de ces exemples si simples? Qu’en ce qui concerne les supputations de l’algèbre sur le nombre et le rapport des choses, il serait hasardeux, ou tout au moins prématuré, d’affirmer qu’il y a des impossibilités absolues, persistantes ; que souvent ces impossibilités ne seront que relatives, parce que, dans toute question, les moyens de solution sont représentés par des opérations qui , tantôt mettent à jour des impossibilités non prévues, tantôt dénouent des impossibilités existantes.

En conséquence de ce que \f^ est une opération irréalisable, ce ne sera pas une raison pour nous de nous abstenir de la recherche des rapports algébriques qui peuvent lier les expressions de la forme A V — i, A -f BV — r, soit entre elles, soit avec les expressions réelles, et nous pouvons même prévoir, d’après ce que nous venons de dire, que plusieurs des rapports déjà connus et constatés dans la science leur seront applicables. Seulement, comme la nature de l’impossibilité yj—i est algébrique, comme l’opération qui la représente se combinera, soit avec celles que nous mettrons en œuvre pour résoudre la question, soit avec celles qui représenteront la solution, nous aurons à examiner soigneusement ce qui doit advenir, pour le résultat, du concours des unes et des autres et de leur combinaison avec celle qui se trouve déjà dans les données sous la forme V — i-

Nous devrons, d’un autre côté, nous prémunir contre une tendance à la généralisation par trop familière à certains es-

prits , écueil d’autant plus dangereux qu'il est plus séduisant.

Nous venons de dire que plusieurs des relations admises dans la science seront applicables aux expressions imaginaires ; nous en avons indiqué quelques-unes, par exemple :

-=i a-rü — ia, a — a=o, >

et on pourrait en citer d’autres. Ces rapports doivent exister, en effet, quelle que puisse être la quantité a connue ou inconnue, réalisable ou irréalisable. Mais lorsque les raisonnements qui auront confirmé la vérité d’une relation algébrique reposeront sur la considération que les nombres auxquels ils s’appliquent sont essenliellement réels, il pourrait être fort imprudent de vouloir étendre l’infiuence de ces relations aux nombres imaginaires, d’appliquer immédiatement à ceux-ci les mêmes attributions et les mêmes défenses; une discussion préalable sera dans ce cas indispensable.

Il ressort, par exemple, de la définition du nombre premier (|u’it est impossible qu’un tel nombre soit égal au produit de deux facteurs entiers. Or l’on se tromperait si l’on voulait appliquer la même interdiction à des facteurs binômes imaginaires entiers, car il existe beaucoup de nombres premiers qui sont égaux au produit de deux pareils facteurs.

D’un autre côté, on sait que si L désigne un certain angle, la valeur du cosinus de cet angle en fonction de l’arc est donnée par la formule :

cos L = I ^ — 1-

Or serait-on bien venu à dire, sans examen et sans autre considération que celle de l’analogie, que lorsque L devient imaginaire de la forme L V — 1> on doit avoir

eus

Il II

Outre qu’on ne sait pas ce que peut être un arc imaginaire, cette dernière formule n’est-elle pas de nature à détruire toutes les idées que nous 'avons sur la nature des cosinus? Les pro-

t;HAPITRK II.

priétés essentielles de ces sorles de quantités ne sont-elles pas que les cosinus sont toujours plus petits que l’unité? que leur grandeur diminue à mesure que celle de l’arc augmente de-

puis zéro jusqu'à qu’entre “ et ils deviennent négatifs?

Or ne faudrait-il pas ici d’autres définitions et expliquer au préalable ce que peut être un cosinus qui est toujours plus grand que l'unité, qui n’est jamais négatif, et qui augmente indéGniment avec la grandeur de l’arc? C’est là à coup sûr tout autre chose que ce que nous appelons cosinus. Ainsi, outre que la formule n’est pas jiistiGée, les conséquences auxquelles elle conduit sont tellement contradictoires avec les propriétés ordinaires des cosinus, que ce serait bien le moins, si elle pouvait être vraie, qu’on établît celte vérité autrement que par une simple déduction analogique.

Concluons donc que, pour toutes les relations algébriques dont la démonstration repose sur la considération essentielle que les nombres sont réels, il est nécessaire, il est indispensable, avant de statuer, de procéder à la recherche la plus attentive, la plus scrupuleuse des modiGcalions que la présence de l’imaginaire est susceptible de leur faire subir.

C’est là un travail spécial qu’il n’est pas possible de sous-entendre, ainsi qu’on l’a fait trop souvent; un travail sans lequel on ne pai*viendra pas à dissiper les incertitudes qui régnent dans les esprits, et qui, par lui-même, est très-propre à rendre plus familière, mieux justifiée et par conséquent plus accessible aux intelligences l’intervention de la forme imaginaire.

Nous ne saurions ici donner à ce sujet tous les développements qu’il comporte, mais nous pensons qu’il ne sera pas inutile de présenter quelques indications sommaires sur la manière dont on peut concevoir que les opérations les plus élémentaires de la science du calcul peuvent être appliquées aux expressions imaginaires, tout en se conformant aux règles ordinaires que l’algèbre autorise et prescrit.

En faisant abstraction dans A \fci, ainsi qu’on le pratique en algèbre, de l’espèce particulière de quantité que A pour-

DES FORMES IMAGINAtRES.

rait représenter, s’il se trouvait momentanément dépouillé de l’entrave imaginaire, on concevra que A se réduit alors à une certaine collection d’unités purement numériques, et que A V— ï pourra par conséquent être considéré comme indiquant que l’opération impossible doit être répétée quatre fois. Je pourrai donc rester toujours dans l’ignorance de la signification qu’il faudra attribuer à 7, mais je n’en comprendrai pas moins que l’on |)eiit se proposer de répéter une fois, deux fois, trois fois cette opération, ou, si l’on aime mieux, que celle opération doit être appliquée à l'ensemble des unités au nombre de A ,qui sont la re|)iésenlalion de la quantité dont on s'occupe actu llcment. C’est ainsi que dans une question dont la solution n’est pas connue on elTeclue sur la racine, symbole encore mystérieux de celte solution, les diverses opérations que l’énoncé rend obligatoires.

Cela posé, si je dois ajouter A' avec A V— <> je remarquerai que, malgré tout ce qu’il y a d’irréalisable dans celte impossibilité frappe chaque unité dont se compose A, exactement de la même manière qu’elle frappe chacune des unités dont se compose A^; je comprendrai par conséquent que la somme de toutes ces impossibilités devra se composer de celle des unités cumulées de A et de A': le résultat final sera donc l’imiiossibililé V — • reproduite A -f- A' fois, c’est-à-dire (A+AO V=7.

Un raisonnement tout à fait semblable s’appliquerait à la soustraction.

En résumé, les deux premières opérations de rarilliinétique s’effectueront sur les expressions de la forme A\J—i comme elles se pratiquent sur toutes lesquanlilés, en faisant la somme ou en prenant la dilférence des nombres d’unités qui, dans la science du calcul, sont les re|)résentanls nécessaires de ces quantités, et en appliquant au résultat l’entrave imaginaire.

Quant aux deux opérations suivantes, la mulliplicatiou et la division, lorsque le multiplicateur et le diviseur sont des nombres réels entiers ou fractionnaires, elles sont la conséquence naturelle des principes fondamentaux de l’algèbre, et nous ne pensons pas qu’il suit nécessaire d’insister sur ce point.

Si le multiplicateur et le diviseur sont eux-mémes imaginaires, s’il s’agit par exemple de diviser A \f^ par A'

(. k)ogIe