CHAPITRE II

fois que, pour résoudre certaines questions, la nature des opérations qu’il faudrait exécuter sur des quantittis très-réelles soit telle que l’algèbre n’a aucun moyen de nous indiquer le résultat de ces opérations, et qu’elle doit se borner à nous en faire connaître les indices. Ce n’est pas au delà decelte impuissance qu’il faut chercher à étendre le sens du mot imaginaire.

Telle est la seule conclusion raisonnable que puisse autoriser l’analyse que nous venons de faire de ce qu’il faut réellement voir dans le signe habituellementemployé pour représenter l’imaginarité. Mais l’usage l’emporte en toutes choses, et si nous avons nous-même recours à l’expression de grandeur ou de quantité imaginaire, il devra toujours être entendu que ces quantités restent réelles, qu’elles sont ce que leur nature leur permet d’èfre, mais qu’alors elles se trouvent soumises à des opérations dont l’algèbre fait connaître la nature, mais dont elle ne saurait, dans son langage, énoncer des conséquences.

Si les choses ne devaient pas être comprises suivant l’ordre d’idées que nous venons de développer, n’est-il pas évident que, dès l’instant que l’imaginarité se manifeste, il faudrait cesser tout calcul? On ne comprendrait pas en effet ce que pourraient produire les procédés du mécanisme algébrique appliqués, quel que fût leur nombre et leur variété, à des choses auxquelles l’esprit refuse toute raison d’exisler.

Mais s’il n’y a pas de grandeurs imaginaires, si l’idée de grandeur doit toujours être subsistante dans l’esprit, s’il y a seulement des opérations impossibles, mais d’ailleurs définies dans leur mode d’impossibilité, on peut espérer que, dans le cours ultérieur des calculs, il se présentera d’autres opérations inverses des premières, anéantissant celle-ci et nous débarrassant désormais de la nécessité de les prendre en considération. I.ÆS recherches pourront donc continuer sur les grandeurs qui n’auront pas dis(>aru, quoique frappées d’un signe d’opération impossible, et conduire à des résultats après lesquels il aurait été certainement déraisonnable de courir si ces grandeurs étaient devenues de fantastiques idéalités.

Qu’on nous permette quelques comparaisons. Parce qu’un

nœud fait à une corde empédie celle-ci de nous rendre certains services, on ne sera certainement pas autorisé à prétendre que cette corde est devenue imaginaire ; parce qu’un engourdissement viendra suspendre l’usage d’un de nos membres, ce membre ne sera pas pour cela réputé imaginaire. Or de même qu’en pratiquant sur le nœud cert.iines opérations, je pourrai parvenir à le faire disparaître, et qu’en agissant sur l’engourdissement, il me sera possible de rendre au membre malade, sinon latoUdité, du moins une partie de ses fonctions, de même il y a telles opérations en algèbre susceptibles de débarrasser les quantités réelles de l’obstacle imaginaire qui momentanément les paralyse, et de nous donner, afirès cette élimination, la connaissance d’utiles rapports qui lient entre elles ces quantités.

En se plaçant à ce point de vue, on conçoit sans peine qu’il n’y a rien d’illosique à ne pas s’arrêter dans les calculs dès que l’imaginarilé se manifeste; et, non-seulement les études théoriques sur les expressions compliquées d’imaginaires se juslifieiil, mais on est conduit à penser que les géomètres qui s’en sont occupés auraient pu les étendre et les compléter avec I)lus de fruit, s’ils n’avaient pas été arrêtés quebpiefois par la pensée que Tutilité de leurs travaux, sans être complètement déniée, pouvait à bon droit être suspectée par les autres ; et qui sait si, dans certains moments, elle ne l’a pas été par euxmêmes ?

Complétant nos idées à cet égard, nous ferons remarquer que quand on a obtenu le nombre, ou, pour mieux dire, l’expression algébri()ue qui satisfait à une question, tout n’est pas fini. 11 faut encore mettre ce résultat en œuvre ; or il peut fort bien arriver, ainsi que nous l’avons déjà dit, (ju’il soit nécessaire pour cela d’exécuter certaines opérations, qui, étant précisément inverses de celles que nous ne pouvons exécuter, font disparaître celles-ci et nous ramènent par conséquent dans l’ordre des choses possibles où nous pourrons trouver quelque utile indication.

Ce que nous disons ici n’esl pas une vaine supposition. Admettons, iKir exemple, qu’on se soit proposé de chercher quel