CHAPITRE X

cas particulier tout ce que nous savons déjà des directions positives, négatives et perpendiculaires. Pour la première, l’angle a est nul et l’expression se réduit à-j- i ; remarquons, en outre, que pour un angle égal à un certain nombre de fois la circonférence , on doit retomber sur la direction qui sert de point de départ, et en effet on a toujours

cosaKit-fV—i sin2Kit= i.

Pour la direction négative il faut prendre un angle u, ou plus généralement (2K -}- i] et dans ce cas la valeur de

cos {2K-f i) -f sin(2 K -f- i]

est constamment — i .

Enûn, pour la direction perpendiculaire, c’est à l’angle ou ^2K ± 01T qu’il faut avoir recours, et alors on trouve que l’expression

3^2K±;0 ic -1- V — tsin ^2K±^^’'

cos

est égale à ± ydl suivant le signe adopté pour la fraction^.

La direction opposée à celle de l’angle « sera d’une part le négatif de cos tt + y' — I sin a, d’autre part celle qui correspond à l’augle ol + t :, et l'on a, en effet.

cos (a y'— I sin(a-j-ir)= — (coSa -j- y/— I sin a).

Nous n’insisterons pas davantage sur ces vérifications, conséquences particulières et nécessaires d’un principe généralement établi.

Considérons maintenant deux directions, l’une faisant un angle a avec 1a ligne de base, l’autre faisant un angle ^ avec la première.

Comme la seconde fera un angle a + p avec la ligne de base> sa représentation algébrique sera

cos (a -f- P) -j- sin (a -j- p).

208 PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

D’un autre côté, les deux directions considérées étant séparées entre elles par un angle p, on passera, en vertu du principe général, de la première à la seconde en faisant usage du facteur cos P + — i sin p. Or, comme déjà la première par rapport à la ligne de base est exprimée par le facteur cosa + V — I sin «. il s’en suit que la seconde par rapport à cette même ligne devra être représentée par le produit

(cosa + y/^ sin a) (cosp+^ — I sinp).

On devra donc avoir

(cos a + sin o) (cos P + sin p)

= COS(a + p) + vC:7sin (a + P),

relation de laquelle, en égalant séparément le réel au réel, et l'imaginaire à l'imaginaire, on déduit immédiatement les formules de la Trigonométrie rectiligne qui donnent les cosinus et sinus de la somme de deux angles, au moyen des rapports ^ trigonométriques de ces angles.

11 n'est pas inutile d’insister encore une fois sur la remarquable appropriation de la forme cos a -|- ^ — i sin a à la représentation des directions. Non-seulement cette forme possède le privilège de correspondre exactement à la notion que nous pouvons nous faire de la direction considérée en elle-même ainsi que nous l’avons constaté dans ce qui précède, mais elle possède celui d’être parfaitement appropriée, lorsqu’on l’emploie en qualité de facteur, à l’expression des rapports qui lient les directions les unes aux autres; il fallait en effet, à ce jioint de vue, que la forme de fonction f (a) employée à cet usage fût telle que le produit /‘(a)x/"(p) fût une direction, c’est-à-dire que la partie réelle de ce produit fût le cosinus d’un certain angle dont le sinus serait égal à ce qui multiplie y — i dans la partie imaginaire : sans cela ce produit n’aurait pas représenté une direction, et il était en outre nécessaire que cet angle fût précisément égal à o -|- p. Or, ce n’est que parce qu’il existe en algèbre des formes de fonctions qui jouissent en etfet de la propriété que égal à /"(a -j- P) que cette science est

susceptible de nous donner des rapports algébriques qui sont l’équivalence même des lois naturelles qui relient entre elles