CHAPITRE X
les directions. L'importance de cette observation saisira tous les esprits parce qu’elle devient une application concrète, et pour ainsi dire évidente des propriétés abstraites anlérieuremtmt reconnues pour les expressions de la {orme
COSa + v/— I Sin a.
Nous reviendrons d’ailleurs sur ce sujet lorsque nous procéderons à la recherche des lois qui relient l’angle à la direction.
En introduisant maintenant une troisième direction, séparée de la seconde par un angle f, la représentation de cette direction par rapport à la ligne de base pourrait être faite, soit par
cos (a 4- (i + y) + v/=T sin(a -I- P + y) .
soit par
(cosa + V— isina) (cosfi + y— i sinP)(cos Y+v'~ siny),
et de l’égalité de ces deux expressions on déduirait la valeur des cosinus et sinus de la somme de trois angles.
Pour un nombre quelconque n d’angles a„ a„ ot,,...,a„, on aurait la relation générale ,
cos (a, + a, ... 4- a») +\f^i sin(a,4-o,4-...-l-a„)
= (cos a, + sin a,) (cosa,-+- sino,).. .
x(cosa„-(-^Hlsina,),
à l’aide de laquelle on connaîtra les cosinus et sinus de la somme . de tant d’angles qu’on voudra, au moyeu des rapports trigonométriques de ces angles.
Si au lieu des cosinus et sinus de la somme de plusieurs angles on voulait connaître ce qui concerne les tangentes, il suffirait de remarquer que l’expression de la direction peut être mise sous la forme cosa(i tanga); dès lors, pour deux angles a et p, on aurait la relation
cosacosp(i-)-y— itanga)(i +yj— i tangp)
= COS (a-f- tang(a4- P)],
d'où l’on déduira la double condition
tang(a -f P) (tang a -+- tang P),
cosacosfl , . .
et, par suite,
PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS
tang(a + fi)z=
tang a + tang p I — lang atang p
on appliquerait d’ailleurs ces calculs à tant d’angles qu’on voudrait.
Nous n’insisterons pas sur ces détails, qui n’ont d’autre intérêt que celui de transformations algébriques ordinaires que chacun pourra pratiquer. Mais nous constaterons, au point de vue des principes, que la conséquence immédiate de la représentation algébrique des directions à l’aide des fonctions trigonométriques était et devrait être la constitution générale de la trigonométrie rectiligne, puis(]ue cette théorie est celle des angles et (]ue l’angle, à son tour, est déterminé par la direction. Il suffisait donc que les fonctions trigonométriques qui figurent dans l’expression des directions fussent définies pour que toutes leurs propriétés résultant de la variation des angles et des directions pussent être établies.
Si maintenant on suppose que les divers angles a„ a,,..., a„ au lieu d’être différents deviennent tous égaux, le produit des n binômes cos8,-f y/^sin a sera égal à la puissance de l’un d'eux, de sorte que
(cos a-|-\/^^8ina)"
représentera la direction à laquelle on arrive lorsqu’on a répété n fois l’angle a; mais, parce que le résultat de cette répétition est na, la direction finale aura également pour expression
cosna-f-V^ sinna,
d’où il suit qu’on doit avoir ;
(cosa-f \/^sina)»=cosna-f sinna.
La vérité de cette formule est donc, ainsi que nous l’avons déjà donné à entendre, une conséquence toute naturelle d’une conception géométrique fort simple.
On voit qu’il sera toujours très-aisé, lorsqu’on connaîtra les directions correspondant à ptusieurs arcs, que ceux-ci soient inégaux ou égaux, d’obtenir la direction qui correspond à la
