CHAPITRE X

ment celles dont on fait usage, soit en trigonométrie, soit en géométrie analytique ; nous pouvons donc considérer qu’à cet égard l’enseignement de toutes ces choses se trouve déjà constitué.

Ayant pris une première droite pour origine des directions, on peut se proposer d’en changer; il suiira pour cela de connaître l’angle que fait la seconde avec la première. Si 0 est cet angle, la seconde direction, qui était d’abord représentée par cos 6 -f- ^ — I sin 6, le sera désormais par l’unité, résultat auquel on parvient en divisant cos ô-j- v' — i sin 6 par lui-même. Une autre direction quelconque, qui faisait précédemment un angle a avec la première base, en fait un autre égal à a — 0 avec la seconde, angle qui sera compté au-dessus ou au-dessous de celte seconde, suivant que a — 0 sera positif ou négatif; dans l’un et l’autre cas il fera avec la nouvelle ligne de base une direction représentée par

cos (a — 0)-l- \/ — I sin (a — 6), tandis qu’avant sa direction était

cos a-j- v/ — I sin a;

or cos O + V-I sin a est la même chose que

(cOS6-l-y/^ sine) [cOS(a— Oj-f^/CZÎsin (« — 9)1)

de sorte que pour passer de celle-ci à la nouvelle on voit qu’il faut encore diviser par cos 04 - v/ — i sin 0.

On peut donc dire qu’en général, si l’on veut prendre pour nouvelle ligne de base une direction représentée, par rapporta celle-ci, par cos 6 y/ — i sin0, il faudra diviser par cette dernière quantité tous les coefficients de direction précédents.

• Il peut arriver quelquefois que non-seulement on ait besoin de changer la ligne de base, mais qu’il faille encore modifler le sens de la rotation. Voyons comment devra s’exécuter cette double modification.

Par exemple, si aii lieu de la direction positive, je veux prendre pour base la direction négative, celle-ci deviendra -f - 1 et la précédente sera représentée par — i ; cela reviendra, comme

PKOPBIÊTÉS DES DIRECTIONS.

il est feoile de s’en convaincre en vertu du théorème précédentj à changer le signe de toutes les directions précédentes.

Si, ayant fait ce premier changement, je veux changer ensuite le sens de la rotation, voyons ce qui adviendra. Une .direction primitive

.. cos 6 + sin 6, ’

à la suite du nouveau choix de la ligne de base, sera représentée par

— (cos6-f-v — isinô).

Mais si l’on veut compter les directions à rebours , il faudrait, avant le changement de la ligne de base, à 0 substituer 2^—9, ce qui donnerait pour l’expression de la direction

cos ( 21 C — 6)-{- y/^sin ( 2 it — 0);

par suite, après le changement de la ligne de base, la direction en question sera représentée par

— [cOS(2lt — 6)-f-V^ — isin(2ir — 0)]

expression qui devient

cos(ic — 0)-fv^ — I sin (it — 6);

'et en effet, l’angle — 0 est bien celui qu’il faut prendre à partir de la nouvelle ligne de base pour que 1e mouvement rétrograde auquel on veut s’assujettir conduise à la direction primitivement considérée.

Ce sont là de véritables transformations de coordonnées dont il sera toujours facile de connaître les lois. Nous n’avons donc pas besoin d’y insister, mais il était nécessaire, d’appeler l’attention sur cet ordre de considérations.

Dans ce qui précède, nous avons eu occasion de faire remarquer que l’expression algébrique des directions est une fonction de l’arc a qui possède la propriété de satisfaire à la condition

/•(»)x/-(P)=/-(«-fp).