CHAPITRE X

somme de ces arcs, et cela sans que les arcs soient connus. Si, à l'inverse, les directions étaient inconnues et que les arcs fussent donnés, la direction résultant de leur somme s’obtiendrait de toutes pièces en cherchant directement les cosinus et sinus de cette somme.

Par exemple on donne les deux directions

et

dont les arcs ne sont pas connus; je pourrai afOrmer que la direction qui correspond à la somme de ces deux arcs est

qui étant développée donne

Si, à l’inverse, je saisque la première direction correspond à im angle de 45 degrés et la seconde à un angle de 120 degrés, je pourrai immédiatement connaître la direction résultante en cherchant directement les cosinus et sinus de l’angle de 16a degrés. Ces sortes de questions ne sauraient présenter aucune difficulté.

Mais une direction répondant à un angle quelconque 6 étant donnée, il m’est permis d’admettre que la direction relative à un angle «, moindre que 0, est une des composantes de la première; d’où il suit que le facteur cosa-f-V — isino, quel que soit a, est nécessairement contenu dans cos 6 -f- V-^ sin 6, et que la division de cette dernière expression par la première doit nécessairement donner pour quotient un résultat qui sera l’expression de la direction répondant à l’angle 6 — a.

Rien ne s’oppose, en outre, à ce que je conçoive que l’angle a est la partie de 0, auquel cas l’expression cosO sin 0

pourra être considérée comme égale à la n’^ puissance de cos a -f ^ — I sin a et, par suite, celle-ci sera la racine de la première.

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

On jieut donc en résumé proclamer le principe que le quolient de deux expressions de la forme cos 6 + V — i sin 9 est nécessairement une expression de la même forme et représente, par conséquent, une direction; qu’il en est de même de Tex-

traction d’une racine quelconque n de cosO-i-y^sin 9, et que

cette racine représente la direction correspondant à l’angle -•

U est très-facile, à l’aide de ce dernier principe, de se rendre compte de ce que représentent géométriquement les diverses formes

En effet si, partant de la direction — i, qui correspond à l’arc TT, j’en extrais successivement les racines 2 '^”“, 5*™‘,

niime^ U résulte de ce qui vient d’être établi que les résultats de ces extractions seront les directions répondant successivement aux arcs

d’où l’on voit immédiatement que les expressions ci-dessus représentent les directions des lignes qui divisent la demi-circonférence en 2 , 3, 4) •••> » parties égales.

Supposons maintenant qu’au lieu de la demi-circonférence on s’occupe de la circonférence entière, et qu’on conçoive celle-ci divisée en 2 , 3, 4> ••••« parties égales, le coefûcientde direction de la première ligne divisoire étant p, celui de direction de la dernière n sera p" ; mais cette dernière est précisément la ligne de base, de sorte qu’on devra avoir p"= i d’où

Remarquons en passant que de ceci il résulte qu’on ne sau-

rait indifféremment dans les calculs substituer ^ i à ^ i el

in

a I. En efl'et, yT s’applique à la direction de la ligne qui di-

CnAPITHE

vise en n parties égales la circonférence, et y'i à celle de la ligne qui la divise en m parties, choses essentiellement distinctes Tune de l’autre.

Mais comme, lorsqu’on nous a demandé de diviser la circonférence en n parties égales, le procédé d’investigation que nous avons employé se borne à écrire qu’au bout de n répétitions d’un certain arc a le long de la circonférence nous arrivonsà la ligne de départ; commeaussi, si nousavions pris l’arc 20 au lieu de o, et si nous l’avions répété n fois, nous serions évidemment arrivés à la même ligne de départ; comme encore, si nous avions pris l’arc 3 o et si nous l’avions répété n fois» nous serions également arrivés à la ligne de départ, et ainsi de suite jusqu’à l’arc no : il s’ensuit que ce que nous avons écrit doit également s’appliquer à ces différents cas, d’où nous devons conclure que notre condition de relation convient à n valeurs différentes de p, et qu’il doit par conséquent exister n racines de l’unité.

EnDn, parce que toutes ces valeurs de p répondentaux coefficients de direction des lignes qui sont déterminées par les arcs ot,l2a, 3 a,..., na, cl que dans le cas actuel a est égal à

—, il s’en suit que les valeurs de p, et par conséquent celles

des tt racines de l’unité, seront les représents lions des directions des lignes divisoires de la circonférence en f arties égales , ce qui confirme la légitimité des formes admises en algèbre pour ces racines et la démontrerait au besoin.

Mais ce qu’il convient surtout de remarquer en ceci c’est que ces formes si mystérieuses, irréalisables en abstrait, reçoivent par les considérations concrètes delà géométrie une interprétation des plus simples, puisqu’elles sont représentées par l’image visible des lignes divisoires de la circonférence en parties égales ; de sorte que Pextrêmefévidence vient ainsi pratiquement se substituer à l’une des'plus obscures considérations de la théorie.

Nous n’insisterons pas davantage sur les détails des calculs qu’on pourrait faire sur les expressions représentatives des directions: ces combinaisons ne peuvent qu’être familières à tous ceux qui s’occupent d’algèbre ; l’essentiel était de faire voir

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

le rapprochement intime qui existe entre ces formes algébriques et les directions, parce que c’est en cela surtout que consiste le point de vue nouveau qui doit être introduit dans la science. Une fois cette base bien établie, le reste doit aller de soi et n’est plus qu’un simple jeu de combinaisons analytiques.

Mais ce qui est important, c’est de bien s’expliquer sur lés principes et nous présenterons à cet égard quelques observations.

Pour éviter toute confusion, il ne faut pas perdre de vue que les angles se comptent, comme les arcs, à partir de la direction positive ; en conséquence on suppose toujours qu’un de leurs côtés est appliqué sur cette direction initiale ; leur second côté qui détermine la direction à laquelle ils correspondent tombera donc, savoir : entre la ligne de base et la perpendiculaire s’ils sont aigus, entre la perpendiculaire et la direction négative s’ils sont obtus, entre cette dernière direction et le côté négatif de la perpendiculaire s’ils sont compris entre deux et trois angles droits, euûn entre ce côté négatif de la perpendiculaire et la direction positive s’ils sont compris entre trois et quatre angles droits.

On ne devra donc jamais perdre de vue qu’en partant de la direction positive, c’est en s’élevant au-dessus de cette direction et en allant de droite à gauche que se développe la série des directions; il est vrai qu’une fois qu’en suivant cette marche on aura dépassé la direction négative, on progressera en fait de gauche à droite, mais au point de vue du mouvement circulaire qui engendre les directions; le sens primitif de ce mouvement se trouvera ainsi maintenu, et c’est là l’essentiel.

La seule chose d’ailleurs qu’il y ait d’obligatoire en ceci, c’esi le maintien du sens de la rotation une fois qu’on en a adopté un. Je pourrai donc tout aussi bien procéder en-dessous de la ligne de base, comme je l’ai fait en dessus, mais dès l’instant qu’un choix est fait, il est nécessaire d’en maintenir, pour la supputation des directions, toutes les conséquences. Ces idées seront d’autant plus facilement comprises que ce sont précisé-