CHAPITRE X

qu’oil veut prendre, peut être l’équivalent d’une fonction, est une grande erreur. Une pareille croyance est si souvent démentie par les faits qu'elle aurait dû depuis longtemps disparaître. L’équivalence, même approchée, d’une fonction et d’une série est un fait qui ne se réalise que très-accidentellement; nous prions le lecteur, que ces affirmations pourraient étonner, d’attendre, avant de former son opinion, les prouves sur lesquelles nous les appuierons.

Sans nier Tutilité de ({uelques rares séries pour obtenir des valeurs numériques approximatives des fonctions, combien n'y en a-t-il pas dont les termes, quoique légitimement dérivés d’une fonction, sont tout-à-fait impropres à en représenter la valeur, et à plus forte raison la forme? et à combien d’erreurs ne serait-on pas exposé si l’on ajoutait une confiance aveugle à l'égalité au moyen de laquelle on unit si souvent une série à la fonction de laquelle elle dérive ?

Quelques auteurs, dont le nombre encore trop restreint augmentera de jour en jour, nous l’espérons (1), s’étonnent que des hommes tels qu’Euler et Leibnitz aient pu, par exemple,

considérer comme exacte l’égalité de la fraction ^ avec la suite

I — i-fi — et ils déplorent avec Abel « que l’on trouve « malheureusement dans d’excellents auteurs, parmi les prin- « ces de la science, des fautes analogues. »

Nous pensons que lorsque de tels faits se présentent, lorsque (le pareils reproches peuvent être adressés à des hommes aussi éminents que ceux que nous venons de citer, c'est que leur esprit doit s’être laissé entraîner à quelque méprise sur des points de doctrine non suffisamment approfondis. Lorsqu’on en vient, en effet, à accepter comme vraies des équivalences aussi évidemment antipathiques à la raison que celle que nous venons de citer, tant pour le fond que pour la forme, ne faut-il pas admettre que ce n’est pas de gaieté de cœur qu'on le fait, mais contraint et enchaîné par les exigences de certaines déductions? Si donc, dans la conclusion, nous constatons une erreur de fait matérielle, ce n’est pas en elle que nous devons chercher