Voir le Traité d’ Algèbre de M. Laurent, p
PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS
un vice de raisonnement, c’est plus haut qu’il faut^remonter pour découvrir la cause de Terreur, c’est dans le point de départ, dans les principes qu’il faut chercher, comme on le dit vulgairement, le défaut de la cuirasse. Nous dirons donc que ni Euler, ni Leibnitz, ni les autres princes de la science, ne se sont pas donné le ton d’avoir manqué à la logique au sujet des déductions qu’on leur reproche. Plus l’absurdité de la conséquence était manifeste , plus on doit être porté à croire qu’ils sont revenus sur les raisonnements qui les y ont conduits, et que c’est après avoir acquis la conviction que ces raisonnements étaient inattaquables qu’ils se sont cru obligés d’en accepter le dernier mot, quel qu’il fût. Mais ce qu’il nous est permis d’admettre, c’est que sans doute ils ont subi Tintluence de quelque méprise au sujet du fait algébrique qui a servi de base à ces raisonnements. Or nous pensons que cette méprise existe en effet, et elle consiste, selon nous, en ce que Ton a cru, et Ton croit encore trop facilement, qu’on peut en général égaler une série à la fonction qui lui a donné naissance.
Mais avant d’aborder le côté rationnel de la question, il ne sera pas inutile d’en examiner le côté pratique et de montrer, par une suite de faits, les incroyables conséquences qu’on serait forcé d’accepter si l’équivalence de la série à la fonction était généralement vraie.
Supposons, par exemple, avec Leibnitz et Euler, que le développement du binôme pour le cas de Texposant entier et positif continue de* s'appliquer lorsque cet ex|)Osant restant entier devient négatif.
N’insistons pas, pour le moment, sur tout ce qu’il y a de vague dans cet énoncé qui substituerait à un développement composé d’un nombre fini de termes, qui par conséquent n’est pas une série, un autre développement qui, en contenant un nombre infini, devient sériaire, et bornons-nous, quant à présent, à admettre l’exactitude de l’équivalence
(a -f 6 ) -"= a"’“ — tna 6-l-m^^ a*’" 6* — . . . .
CflAPITRË X.
Passons maintenant du général au particulier, en supposant que l’on fait a=b=i, et nous allons arriver à notre tour soit à la conséquence reprochée à Leibnitz et à Euler, soit à une foule d’autres conséquences tout aussi peu admissibles, et que cependant il faudrait bien accepter si le point de départ était exact.
En effet, la formule devient alors.
^=1— m+fn
et de même que la formule générale, elle se compose d’une suite de termes entiers alternativement positifs et négatifs.
Mais si l’on combine entre eux les deuxième et troisième termes, puis les quatrième et cinquième, et ainsi de suite, elle prend la forme
dans laquelle les termes, toujours entiers, sont tous essentiellement positifs.
Enfin, si l’on combine entre eux les premier et deuxième termes, puis les troisième et quatrième, et ainsi de suite, elle devient
et tous les termes y sont négatifs.
Le second membre semble donc en vérité prendre toute es- |)èce de valeurs, excepté celle qu’il devrait avoir pour devenir l’égal du premier.
Si maintenant, dans ces expressions, nous faisons tn=i, nous aurons, savoir :
Par la première formule
iz=i - i-f I — i-l-i — I -f...:
c’est l’équivalence reprochée à Euler et à Leibnitz ;
Par la seconde et par la troisième, respectivement
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Si nous faisons m = 2 , nous aurons, savoir : Par la formule (i)
dont le terme général du rang p est ± p ;
Par la formule ( 2 )
Et pour la formule (3)
Pour le cas où m = 3, il viendra, savoir :
Par la formule (i)
g= I — 3 + 6 — io + i5 —
dont le terme général du rang osl ± - ^
Par la formule ( 2 )
c’est-à-dire la série addilive des nombres impairs; Par la formule (3)
c’est-à-dire la série négative des nombres pairs.
Des contradictions non moins singulières se manifestent lorsque l’on étudie le développement du binôme dans le cas oii l’exposant est fractionnaire. D’après les idées reçues, on devrait avoir dans cette circonstance
