CHAPITRE X

qui ont été faites depuis quelques années pour trouver les règles de la convergence des séries sont autant de témoignages des méfiances qui se 'sont produites. Il y a des auteurs aujourd’hui qui ont soin de dire dans quels cas on peut utiliser les développements sériaires, dans quels autres cas on ne saurait les employer sans s’exposer à tomber dans l’erreur. C’est sans doute quelque chose, mais ce premier pas n’est pas suffisant; car, s’il est bien d’être averti que pratiquement l’emploi de certaines expressions algébriques doit être interdit, il n’est pas possible, au point de vue rationnel, que l’esprit accepte une situation aussi ambiguë que celle qui lui serait ainsi faite : une situation dans laquelle le vrai conduirait au faux, dans laquelle la théorie des formules serait légitime et leur usage ne le serait pas.

Quant à ce qu’on expose à ce sujet dans le calcul infinitésimal, lorsqu’on s’occupe de la formule de Taylor et qu’on détermine les limites de l’erreur commise en s’arrêtant à un terme quelconque du développement , nous reconnaissons qu’implicitement du moins ces explications sont un avertissement de nous tenir en méfiance contre de tels modes de solution et de n’en faire usage que sous certaines réserves. Mais ces explications, utiles au point de vue pratique pour certains cas, ne sont ni assez complètes, ni assez affirmatives pour d’autres, pour ceux, par exemple, dans lesquels les deux limites de l’erreur seraient très-distantes l’une de l’autre, et dès lors qn ne saurait les considérer comme suffisamment ihéoriques. D’ailleurs elles arrivent bien tard pour quelques-uns, et elles sont comme non avenues pour tous ceux qui, ne poussant pas leurs études au delà de l’algèbre proprement dite, auront subi, sans aucun correctif, l’influence de doctrines vicieusement exposées. Mieux vaudrait à coup sûr ne rien dire, en expliquant pourquoi on s’abstient, que de s'exposer à être inexact en voulant prématurément trop généraliser.

Nous allons maintenant essayer de dénouer les entraves de ces contradictions, de porter quelque lumière sur ce sujet, et nous espérons prouver au lecteur que, conformément aux règles de lalogique,s’il y a erreur dans les résultats, c’est qu’il y en a aussi dans les formules qui les donnent.

Recherchons donc sans parti pris, sans idée préconçue, s’il

PROPBIÈTÉS DES DIBECTIOHS.

est possible, par exemple, ou s’il n’est pas possible que la fonction (i 4 - 2 )“** soit exprimée par un développement procédant suivant les puissances ascendantes de c (t ) ; ne nous préoccupons nullement de la similitude ou du défaut d’analogie qu’un tel développement peut avoir avec celui de laissons à la

seule analyse le soin de décider si ce développement sera posr sibleou impossible, s’il sera un polynôme fini ou une série, et sous quelles conditions il nous sera permis de les accepter l’un ou l’autre comme valeur de (i-f-c)—. Seulement, instruit par l’expérience, et poussé par elle à soupçonner tout au moins qu’une telle équivalence pourrait n’ètre pas possible, tâchons de nous éclairer sur ce premier point, et, à cet effet, voyons ce qui se passe lorsque — m prend la valeur — i , la plus simple de toutes.

Examinons donc ce qu’il faut penser de l’expression

c’est-à-dire d’une égalité dans laquelle le second membre ne contiendrait d’autres termes en z que ceux ([ui renferment des puissances entières et positives de cette quantité.

11 est presque inutile de faire observer que si nous avons immédiatement écrit que 1e terme tout connu est égal à l’unité, c’est que telle est évidemment la valeur qu’il doit prendre pour le cas où Z est nul.

Nous supposerons d’abord que le développement est fini et s’arrête au degré p ; nous apprécierons plus tard, lorsque le moment de conclure sera arrivé, ce qu’il peut y avoir de fondé dans cette hypothèse.

Si l’on multiplie par i-f z les deux membres de cette égalité, le premier membre deviendra l’unité et le second membre prendra la forme

H-(A,-+- i)z-f-(A,-{- A,)z’-f-...-{-(Ap-f-Aj,,)zP -f-A,z'’^' ; , pr,,ce produit devant être égal à i, quel que soit z, il faudra

(i) Nous pourrions prendre tout autre cas de la puissance du binôme que celui de l’exposant négatif ; l’exposé que nous allons faire convaincra facilement le lecteur que des conclusions analogues s’appliqueraient à toutes les circonstances.

GHAPITBE X.

que tous les coefficients des puissances de z soient nuis. Pour réaliser cette condition, il suffira que deux coefficients consécutifs quelconques du développement jirimitif soient égaux et de signe contraire, ce qui conduit aux valeurs suivantes :

A,= — I, A,= — I,..., Ap — L I J

les signes -f et — de la dernière condition s’appliqueront suivant que p sera pair ou impair. Mais si ces valeurs produisent l’anéantissement de tous les termes en z, depuis 2 jusqu’à zf inclusivement, elles échouent complètement vis-à-vis du A,.a'’^‘, puisque d’une part la valeur antérieurement déterminée pour Ap estii, et qu’il faudrait d’autre part que cette valeur fût nulle pour faire disparaître le terme qui contient 2 la contradiction est donc flagrante. Ainsi la supposition que {i-f2)“' peut être développé en une série de termes ne renfermant chacun que des puissances entières de 2 est inadmissible; quelque loin qu’on prolonge un pareil développement, on se trouvera constamment en face d’une difficulté semblable à celle qui vient de se révéler, d’où il suit qu’aux termes qui figurent dans la valeur supposée de ( i -l-)2~', il est indispensable d’en joindre d’autre? d’une nature nécessairement différente, et sur la forme desquels il nous sera facile d’être renseigné.

En effet, représentant par F( 2 ) l’ensemble de ces fermes inconnus quant à leur valeur et à leur forme, nous écrirons (i = I -|-A,2 -[-Aj2*-i-...-i- Ap2>’-J-F(2); multipliant, comme précédemment, les deux membres , par (i-f 2), il viendra

. -t- Ap

+ Ap j

+ ApZP+‘

Or, nous anéantirons dans le second membre tous les termes en Z, jusqu’à zp, à l’aide des valeurs précédentes de A„ Aj... Ap, et il ne restera plus qu’à satisfaire à la condition F (z) -f Ap 2 P"’"' r|-2F(z)=:0,

de laquelle on déduit, après avoir remplacé Ap par sa aleur

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

conclusion fort claire, de laquelle il résulte qu'à la suite des termes contenant les puissances entières de z, il est indispensable, pour que la formule soit une vérité, d’ajouter le terme

final q= qui clôt définitivement la série en égalisant les

deux membres.

Tels sont les principes; les présenter autrement, c’est les méconnaître; la fonction finale est nécessaire, indispensable ; sans elle, rien n’est constitué; sans elle, le développement n’est qu'un vain étalage de termes, qui, non-seulement, n'apprend rien sur la valeur cherchée, mais qui, au contraire, conduit aux résultats les plus inexacts, ainsi que nous l'avons prouvé par de nombreux exemples.

Quelquefois, sans doute, il arrivera que, pour obtenir une valeur approchée de(i -t-z)"‘, il suffira de faire usage des seuls termes développés suivant les puissances de z, et cela se confit aisément. Qui ne Voit, en effet, que la fonction finale est d’autant plus négligeable que, z étant plus petit, p est plus grand; qu'on peut par conséquent, dans les applications, faire abstraction de cette fonction lorsqu’on atteint une valeur de p en rapport avec le degré d’approximation qu’il s’agit de réaliser? Hais ne manquons pas de présenter ces divers cas comme une exception qui n’intéresse d’ailleurs que la pratique, et gardons- nous de les indiquer comme des exemples qui prouveraient d’une manière absolue la vérité et l’alilité de la formule développée suivant le mode ordinaire : se placer en dehors de cette thèse, ou même garder le silence sur ce point, serait fausser la théorie .

Revenons maintenant au cas général, et, mettant à profit les enseignements qui précèdent, ajoutons au développement ordinaire une fonction de z et posons

(i -f z)"” * -f A,z + A,z*-f ,.,-f-ApZi>-|-F (z),

il s’agira donc de déterminer, d’une part, les coefficients A,,A„...,Ap, d’autre part, la fonction F (z) ; les raisonnements ultérieurs seront appelés à constater d’eux-mêmes la nécessité ou l’inutilité de cette fonction.

Si l’on suppose que z reçoit une valeur z-i- 1, différente de

CBAPITIIE X.

la première, parce que les coefficients A,, A,,..., Ap sont indépendants des valeurs de z, et que ces valeurs n’alTectent pas la forme de la fonction F, on devra avoir

, , I y + Ai(z -H) -F A, (z -I- 0*4-. ..

-t-Ap(z-+-0’'+F(z + 0-

Cela posé, en soustrayant l’une de l’autre ces deux égalités, il viendra

(i-i-zrx(i-i-2+fr

A,<-fA,[(z-h<)*-3*] + .-

+ Ap[(z+ 0" — z^l + FCz + O— F( 2 );

mais si, dans le numérateur de la fraction du premier membre, on développe (i -f-z-fO™ comme un binôme formé des deux termes i -F z et 1, et si l’on supprime les deux termes de signe contraire (i -j- z)“, on aura un polynôme ordonné suivant les puissances de t, depuis la première jusqu’à la Divisant dans ce polynôme tous les termes par t, le premier seul ne contiendra plus ce facteur; de sorte que si, après celte division, on suppose que t devient nul, tous les termes, sauf le premier, seront anéantis et le numérateur sera simplement égal à — m(i-|-z)“~'. Quant au dénominateur, la supposition quet est nul lui fait acquérir la valeur (i -fz)'"*. Nous pouvons donc dire que le premier membre, après la division par t et l’anéantissement de celte dernière quantité, devient

m(i -fz)"*”* (i-fz)*’" ’

soit

Tfz (I +Z}’”'

Exécutons les mêmes opérations sur le second membre. Le type général de ses termes est

Ap[(z-t-0’’— Z"].

Or on sait que les expressions de cette forme sont toujours divisibles par t et que le quotient de la division est

Ap[(z-l-f)'’~‘-|-(z-l-t)'’~’z4-...-f (z-f 1) z’’~* -j- z’’“‘] ;

cela posé, lorsque dans ce développement on suppose t nul, on a pour résultat p.ApZ'’"'; par conséquent la série des termes indépendants de la fonction F, après la division par l et l’anéan-

238 PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

tissement de cette dernière quantité, se réduit au polynôme ' A, + 2A,z + 3 A,z*+...+ (p — I) Ap,*»'~’+pAp2'^*.

Quant aux deux derniers termes affectés de la fonction F, nous devons nous contenter pour le moment d’indiquer la division par t et nous rappeler que la seule valeur à admettre pour le quotient sera celle qui résulte de la supposition que t y devient nul. Nous pourrons donc définitivement écrire: m I

— Ai-j-sAjZ -)- 3 AjZ*-j-... -H P ApZr~' F( 3 .-|- t) — F(z)

multipliant alors les deux membres par-

(i-fz)’” m ^ m

, il vient

jt> 0 —