JJ

Ap ,

— P— zr-

Or, cette valeur de 7 — ; — rm devant être identique avec la

précédente, on en conclura que les coefficients des mêmes puissances de z, dans l’une et dans l’autre, doivent être égaux et de là, par voie de continuité, on déduit les valeurs suivantes des coefficients

Ap^j — —J— PI

Ap=-hm

pj -{- I

Nous allons nous occuper tout à l’heure de ce qui concerne

CBAPTTSE X.

les termes qui viennent après la puissance du degré p — i,et an nombre desquels -figurent ceux qui sont affectés de la fonction F. Mais il importe de remarquer dès à présent que cette fonction est indispensable et que, sans elle, le développement serait nécessairement inexact.

En effet, si, à l’origine, on avait supprimé F(z) dans la valeur de et qu’on eût en conséquence supposé que le

développement s’arrête au terme ApZ'’, on aurait conclu que, dans la nouvelle forme sous laquelle on vient de voir que se

présente la valeur de • le terme en z’’ aurait eu pour

coefficient — P"^' Saurait donc fallu, pour que l’identité complète s’observât, qu’on pût avoir l’égalité

d’où P = — m.

» „ Ap

Or, une pareille condition équivaut à une impossibilité absolue, puisqu’elle indique que le rang auquel il faudrait s’arrêter pour que le développement fût la valeur exacte de ^ ^

devrait être un rang négatif, ce qui ne saurait être ni pratiqué ni compris. La nécessité d’introduire une fonction contenant autre chose que des termes formés par des puissances entières et positives de s est donc rendue manifeste, et nous achèverons de la mettre dans tout son jour en procédant à la détermination de cette fonction.

Il résulte des calculs précédents que la condition à laquelle il faut satisfaire pour obtenir F (z) est la suivante :

# *n ^ tn r * \ y 1

remplaçant, pour abréger F (z] par y, ayant ensuite égard à ce que l doit être considéré comme nul, et adoptant les notations

240 PROPRIÉ1É8 DBS DIRECTIONS.

admises dans le calcul innnitésimal, l’équation, après qu’on a tout (ait passer dans le 4>remicr membre, prend la forme ,

H-7fT»+A,(P + »);^=o.

Ainsi, la détermination de la fonction F dépend de la résolution d’une équation différentielle. Cette détermination nous oblige donc forcément à sortir du cadre ordinaire des éléments, et cela permet de concevoir pourquoi le problème, traité par les seuls procédés usuels de l’algèbre proprement dite, n’a pu recevoir que des solutions incomplètes.

L’équation à résoudre est unè équation linéaire du premier ordre, dont le type général est, comme on le sait,

dans lequel P et Q sont des fonctions delà seule variable indépendante Z, et qui est résolue par la valeur suivante de y :

y=ê-f^^'(—Jdz.Qef^*‘ + cy

c étant une constante à déterminer.

Dans le cas actuel on a

P=7qr=’ Q=A,(p-h»n)yqp-.;

de là résultent les valeurs suivantes :

par conséquent

et par suite ( ■

fdzQe^'''^ =A, (p dz;

introduisant ces diverses expressions dans la valeur générale de y, on trouve

y=F j^c— Ap(p-f ml/p (i s)*"