CHAPITRE II

sion d’une addition, au lieu de conserver sa complète indépendance, est assujettie à satisfaire à certaines conditions. Reconnaissons au contraire qu’il n’y a rien d’irrationnel à réunir, par voie d’addition, les choses les plus hétérogènes.

C’est d’ailleurs là une opération que nous faisons tous les jours lorsque nous procédons à la formation d’un inventaire, et certainement nous n’exprimons pas une énormité lorsque nous disons que l’avoir d’un individu se compose de l’addition de son argent avec son mobilier, ses propriétés de ville et de campagne, son fonds de commerce, sa bibliothèque, etc.

Que tout cela puisse après coup, et à certains points de vue, être ramené à une commune mesure et à une seule espèce qui sera l’argent, c’est possible, et c’est ce qu’on fera lorsqu’on voudra savoir non pas seulement de quoi se compose la fortune d’un individu, mais encore quelle est sa valeur. Mais il n’en sera pas ainsi dans toutes les circonstances, et si par exemple on voulait connaître cet avoir au point de vue des jouissances morales que donne la possession des choses, il serait fort difficile de rapporter l’appréciation à une commune mesure, parce que les jouissances diverses dont il est ici question ne sont pas de même espèce, les unes dépendant de la vanité, les autres du besoin de bien-être, quelques-unes d’instincts plus ou moins avaricieux, d'autres du sentiment de la famille, de celui de l’étude, etc. Cela n’empêchera pas l’inventaire ci-dessus d’être une véritable addition parfaitement compréhensible.

Revenant maintenant au binôme A -t- B . l’addition qu’il représente, si l’on n’envisageait les choses qu’au simple point de vue de la pluralité et sans tenir aucun compte de ce qui peut distinguer A de B, se réduirait à la réunion des unités de l’état A avec les unités de l’état B; mais si à certains égards il est nécessaire de faire la distinction de la pluralité relative à un groupe avec celle relative à un autre groupe, et d'en conserver la trace dans les spéculations dont cette addition peut être susceptible , il faudra marquer d’un signe particulier chacune des collections A et B. Or, c’est ce qui existe naturellement dans le cas actuel par le fait même du signe d’opération qui affecte B et le distingue de A.

Il n’y a donc rien que de très-concevable, rien d’antipathique à l’idée de pluralité dans l’addition de A avec B , rien qui

s’oppose à soumettre une telle collection aux spéculations ordinaires de la science algébrique. Seulement, puisque nous avons intérêt à distinguer les unités de A de celles de B, il faudra toujours conserver à celles-ci le signe particulier qui leur est affecté, sauf à prendre en considération que ce signe n’étant pas conventionnel mais algébrique, nous aurons à nous enquérir des influences successivement exercées par les opérations ultérieures sur celle que y/ — i représente, et c’est précisément en cela que consiste la recherche des règles de calcul applicables à ces sortes d’expressions.

Terminons ce que nous avons à dire sur ces binômes par l’exposé de quelques propriétés générales qu’il faut toujours avoir présentes à la pensée lorsqu’on procède à la recherche des règles de calcul qui leur sont applicables.

lin binôme de la forme A ± B ne saurait être égal à une quantité réelle, car si l’on avait

' A ± B v/~i = C, on en déduirait

C — A = rt B V^,

c’est-à-dire que le possible serait égal à l’impossible, ce que le bon sens ne saurait admettre. Le même binôme ne peut pas davantage être égal à un monôme imaginaire, par exemple à C V — I, car alors A aurait pour valeur (C + B) résultat tout aussi inadmissible que le précédent.

Il convient de remarquer encore que si l’on prétendait que l’on a entre deux binômes l’égalité suivante :

il en résulterait

condition encore impossible. 11 n’y aurait d’exception que pour le cas où l’on aurait à la fois

Digilized by

CHAPITKU II. 29

auquel cas le second binôme serait identiquement le même que le premier.

Nous sommes donc autorisé à dire que lorsqu’il y aura égalité entre deux binômes imaginairesjl faudra que séparément le réel soit égal au réel, et l’imaginaire égal à l’imaginaire.

Nous remarquerons enfin que si l’on prétendait qu’il y a dans A -f B i un facteur réel T, il serait nécessaire que ce facteur fût contenu et dans A et dans B. En effet , |K)ur que ï, employé comme facteur, pût donner A -i- B y'— i f'our produit, il faudrait qu’il fût multiplié par un autre facteur qui ne pourrait être ni réel ni monôme imaginaire, ainsi que nous venons de le démontrer. Ce second facteur sera donc nécessairement un binôme de la forme A' 4- B' V— i, et l’on devrait avoir

A -I- B = T (V -t- B' v^) ; de là on déduirait, d’après la remarque précédente,