CHAPITRE XI

équations qui donnent, en faisant la somme de leurs carrés, d* — 2 dr cos9+r'=r* — 2 tr + 1”,

et par suite

2(dCOS0 — t)*

En conséquence l’expression algébrique de l’hyperbole sera

2 (d cos 0 — i)

(cos 0 + sin 9).

Au reste on aurait pu passer de l’expression de l’ellipse à celle de l’hyperbole en remarquant que la condition r-\-r^=s pour la première étant remplacée par r — r' = l pour la seconde, il en résulte entre s, r et < la relation s = zr — t; le rayon vecteur de l’hyperbole s’obtiendra donc en substituant à s cette valeur dans celui de l’ellipse; il viendra ainsi

2 { 2 f — l — d cos 0) ’

d’où l’on déduit

3(dcos0 — <)’

ainsi que nous venons de le trouver. »

Passons enfin à ce qui concerne la parabole.

Nous définirons cette courbe par la propriété qu’elle possède que chacun de ses points P est également distant d’un point fixe F appelé foyer et d’une droite fixe appelée directrice.

Abaissons des points P et F sur la directrice des perpendiculaires dont les pieds respectifs seront M et 0; prenons 0 pour origine, OF prolongé au delà du point F pour ligne de base, et appelons d la distance OF.

11 faudra que le chemin dirigé OM 4- MP soit égal au chemin dirigé OF -i- FP.

Si r est la distance de F au point P et 0 l’angle qui détermine la direction de PF, le chemin dirigé OF-(-FP aura pour représentation algébrique

d-f-r (cos 04 - y/ — I sin 6);

si l’on désigne OM par y et si l’on remarque que la longueur

296 DE LA COMBINAISON DE l’aTTBIBOT, ETC.

MP d’après la définition est égale à r, le chemin dirigé O.Vl-i-PM sera égal à y V— i-t- r; on aura donc

d-i-r (COS0 + sin 6)=y -t-r;

de là on tire

d+rcos0 = r et y = rsinO; ' de sorte qu’on aura

d . dsinO

r = ï et ÿ =

L’expression algébrique de la parabole sera donc

— - — r (cos fl -h sin fl).

Nous limiterons ici ce que nous avons à dire sur la combinaison de l’attribut de continuité avec celui de direction : non que le sujet soit épuisé, mais nous croyonsque les applications dont nous avons présenté le développement, et les observations qui les ont suivies, sont suffisantes pour indiquer la voie à suivre dans ce genre de recherches et faire comprendre l’utilité qu’on peut retirer de ce nouveau mode d’investigations. Ces exercices de calcul sur la mise des problèmes en équation étaient uo préambule nécessaire pour initier le lecteur à l’usage de formes et de procédés qui, une fois bien compris, facilitent singulièrement soit l’intelligence des fonctions diverses de l’algèbre, soit la recherche des propriétés de l’étendue.

Qu’il nous soit permis, en terminant, de rappeler que l’objet essentiel du présent ouvrage est un exposé des principes à l’aide desquels il nous a paru possible d’obtenir et la conception de la forme imaginaire et sa réglementation rationnelle dans les calculs.

Nous avons voulu surtout, en le publiant, combattre les idées de non-sens, de non-existence, de convention, de parasitisme inexpliqué et par conséquent répulsif qu’on attribue si généralement et si volontiers à cette forme.