CHAPITRE XI

comprises les valeurs possibles de tn. En effet, la plus grande valeur du rayon correspond au cas où le dénominateur de la fraction qui le représente est le plus petit possible. Or cela

arrive quand cosô = + i et la valeur du rayon est — - — •

Il suit de là que m ne pourra descendre au-dessous de la valeur donnée par l’équation

c’est-à-dire au-dessous de

2S fl

S-hd

D’un autre côté la moindre valeur de r s’obtient lorsque le dénominateur (« — d cos 0) est le plus grand possible, c’est-àdire lorsque

cosô = — I.

Dans ce cas r est égal à

de sorte que m ne pourra être au-dessus de la valeur donnée par l’équation

c’est-à-dire au-dessus de

La condition de l’ellipse ne pouvant donc être satisfaite ni . pour un rayon supérieur a — - — » ni pour un rayon inferieur à

il faut, d’après ce que nous avons dit ci-dessus, qu’en

dehors de ces limites nous trouvions pour 6 un cosinus positivement ou négativement plus grand que l’unité.

En effet, de la relation qui lie d à r on déduit

St — d*

2 dr ’

294 DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBI'T, ETC.

or, quand r est égal à — la différence des deux termes qui forme la valeur du cosinus devient l’unité. Cette différence sera donc plus grande pour les valeurs de r supérieures à .

enverrait de même que, pour les valeurs — — de r, la valeur

de cos 6 est — I ; de sorte qu’elle serait négativement plus grande que i, si l’on faisait usage pour r d’une valeur infé-

. s — d rieure a .

Nous n’insisterons pas davantage en ce moment sur ce qui concerne les propriétés de l’ellipse qui sont toutes contenues dans son expression algébrique. 11 sera facile au lecteur de déduire de cette expression telles conséquences qu’il jugera convenable; d’ailleurs nous aurons occasion de revenir sur ce sujet dans les publications qui feront suite à celle-ci. Nous allons maintenant déterminer l’expression de l’hyperbole.

A cet effet, nous nous appuierons sur la propriété dont jouit cette courbe, que la différence des distances qui séparent un quelconque P de ses points de deux points fixes F et F', appelés foyers, est égale à une quantité constante t.

Si l’on désigne par d la longueur FF', si Fon place l’origine en F et si l’on prend la direction de FF' pour ligne de base, il faudra que te chemin dirigé d-+-F'P soit égal au chemin dirigé FP. Or si r est la longueur de FP et 6 l’angle de sa direction, si r' et 6' sont les éléments correspondants de F'P, on devra avoir

d -t- r' (cos 6 -H V— I sin 0') = r (cos e -1- y/— I sin e) ;

mais r — r' étant égal à f, il s’ensuit que r'=r — t; par suite, l’expression ci-dessus devient

d -f- (r — t) (cos ô' -t- v^— I sin 0') = r (cos 6 -f V-^ sin 0) .

Égalant séparément le réel et l’imaginaire, on trouve

d — r cos 0 = — (r — t) cos (F, rsin0 = (r— Osinô',