CHAPITRE

lions aux puissances. Alors, par le fait de ces élévations, les résultats obtenus jouissent de la propriété de satisfaire nonseulement aux quantités qui figurent dans la question, mais aux produits de ces quantités par les diverses racines que possède l’unité pour la même puissance.

De ce fait que nous ne discutons pas en ce moment, mais aux conséquences duquel il nous est impossible de nous soustraire, parce que c’est un fait aci]uis à la science, il résulte ijue nous aurons introduit dans l’équation du problème, implicitement sans doute, mais inévitablement, beaucoup de choses tout autres que celles qui se trouvaient dans les données de la question ; et remarquons de suite que, sur ces choses, il y en aura plusieurs imaginaires, puisque, à l’exception de deux au plus, c’est bien la forme imaginaire que revêtent les racines de l’unité de tous les degrés.

N’avions-nous pas raison de dire, en débutant, combien il est important do se bien pénétrer des principes, de bien reconnaître tout ce qu’ils admettent comme tout ce qu’ils interdisent? Ne voila-t-il pas en effet que, dès les premières tentatives que nous faisons dans cette voie, un sommaire examen de ces principes nous avertit que, passé le |)remier degré, quelque simple que paraisse l’énoncé de la ((ueslion, quelque réelles que soient toutes les circonstances qui s’y rattachent, nous aurons à compter avec la racine de 1 unité, c’est-à-dire avec la forme imaginaire. Or si, dès le début, cette forme s’introduit dans la question, qu’y aura-t-il donc d’extraordinaire à ce qu’elle se montre à la tin ?

Comme nous louchons ici à un point très-important, trèsdélicat des doctrines algébriques, nous demandons la permission de rendre manifeste, par un exemple des plus simples, de quelle nature sont les conséquences auxquelles conduit cet ordre de considérations.

Si l’on demande, par exemple, quelle doit être la valeur d'un nombre qui, élevé au cube, donne c pour résultat, en ajipelanl X ce nombre, j’écrirai que la troisième puissance de x est égale à c, et j’aurai l’équation x*r:rc.

Mais il est évident que si l’on désigne pari’ la racine cubique de l’unité, on serait également [larvenu à la même équation, si àx on avait substitué soit £x, soiti'-x. L’équalioudu problème

convient donc à trois expressions, et il ne dépend pas de nous qu’il n’en soit pas ainsi. C’est là une conséquence inévitable de la formation de la troisième puissance réclamée par l’énoncé . 11 faudra donc que nous retrouvions à la fin tout ce qui se trouve, implicitement il est vrai, mais nécessairement dans l’équation du problème; et en eflet lorsque, pour obtenir x, j’extrairai la racine cubique, j’aurai x= v^> ‘-‘t comme toute racine cubique est triple, je serai obligé de reconnaître que x a les trois valeurs \jc, £^ 0 , Seulement, parce que les deux

dernières de ces valeurs contiennent dans leur expression l’obligation d’extraire la racine carrée de — i , opération que l’algèbre ne peut pas exécuter, j’en conclurai qu'au point de vue arithmétique, qui est le seul que j’envisage actuellement, il ne me sera pas possible de réaliser ces valeurs et que la première seule sera susceptible de résoudre la question.

Mais, dira-t-on, au point de vue de la conception des choses, la difficulté ne sera pas résolue, elle ne sera que reculée ; car si je comprends maintenant la nécessité que l’imaginaire paraisse à la fin, je ne m’explique nullement celle en vertu de laquelle elle s’est introduite au commencement.

Nous ferons d’abord observer que c’est déjà quelque chose que de reconnaître qu’il y a concordance entre les prémisses et la conclusion. N'aurions-nous pas le droit d’étre bien plus surpris si l’imaginaire venait se présenter là où nous n’aurions aucun motif de croire qu’il n’a pas été antérieurement introduit, et la constatation de cette introduction faite par l’algèbre elle-même n’est-elle pas déjà pour hotte esprit une première satisfaction logique ? 11 me semble qu’à ce point de vue nous avons déjà gagné du terrain.

Y a-t-il d’ailleurs de quoi s’étonner beaucoup de ce qui se passe ici, lorsque nous trouvons dans la nature tant d’exemples de faits analogues? Si dans les données d’une manipulation chimique vous introduisez de l’eau, vous ne serez pas surpris que, par l’effet de certaines actions décomposantes, vous obteniez non-seulement de l’eau, mais encore de l’oxygène et de l’hydrogène, ces deux principes constitutifs de ce corps ; et, à